1、复旦大学2004 2005 学年第二学期期末考试试卷 课程名称： 数学分析II 课程代码： 218.121.2.01 开课院系： 数学科学学院 学生姓名： 学号： 专业： 题 目 1 2 3 4 5 6 7 8 总 分 得 分 填充题 1 （每空格 5 分，共 30 分） （1 ） = 2 0 sin ) ( x dt t x f ， 则当 时， 是关于 0 x+ ) (x f x 的 阶 无穷小量。 （2 ） 2 1 ln x dx x + = 。 （3 ）幂级数 1 (2 ) (1 ) n n n x n = 的和函数与收敛范围为 。 （4 ） 的幂级数展开中 的系数为 ) 2 1 ln(
2、 2 x x + n x 。 （5 ）反常积分 dx x x x + + 0 sin ) 1 ln( 收敛，则 的取值范围为 。 （6 ） 函 数项序列 2 () nx n Sxnxe = 在区间 1 , 0 上一致收敛， 则 的取 值范围为 。 1解答题（每题 10 分） 2 计算积分 2 0 1 n n x dx x + + + 。 3. ， 收敛， 问是否有 0 n x =1 n n x 0 lim = n n nx ？是的话证明之， 不一定的 话举出反例。 4 求曲线 2 x yx e = (0 x ) 绕x 轴旋转所得旋转体的体积。 25. 求 x x x f 2 1 2 1 arc
3、tan ) ( + = 在 0 = x 的幂级数展开，并求 = + 0 4 ) 1 2 ( ) 1 ( n n n n 的值。 6 设底面直径为 2 米，高为 5 米的圆柱体形状的浮桶横躺在 100 米 深的海底， 打 捞作业时需要将桶内的水 “ 抽” 到海面上， 问 将桶内的 水全部抽干要做多少功？（答案可保留水的比重 与重力加速度 ） 。 g37 判断 与 在 = 1 2 ) 1 ( n n x x = 1 2 ) 1 ( n n x nx 1 , 0 上的一致收敛性，并证明你 的断言。 8 设函数 在, 上一致连续， ) (x f ) a + () a f xdx + 收敛， 证明 。
4、lim ( ) 0 x fx + =4复旦大学2005 2006 学年第一学期期末考试试卷 课程名称： 数学分析III 课程代码： 318.157.3.01 开课院系： 数学科学学院 学生姓名： 学号： 专业： 题 目 1 2 3 4 5 6 7 8 总 分 得 分 填充题 1 （每空格 6 分，共 30 分）（1 ） 333 3 x yzx y z += ，则 dz =。 （2 ）曲线 222 0 6 xyz 2 x yza += += 在 (,2) aa a 处的切线方程为 。 （3 ） 22 rxyz =+ 2 ，则 divgradr = 。 （4 ） 2 sin () x x xt I
5、x d t t = ，则 dI dx =。（5 ） 4 42 00 xx 4 xed x xed x + + = 。 解答题（每题 10 分，共 70 分） 2 通过变量代换 y xz w x v y x u = = = , , ，变换方程 x y z y z y 2 2 2 2 = + 。 1 3 设四边形的边长分别为 ，利用 Lagrange 乘数法求出当四边 形面积最大时四边形的顶角所满足的 条件（不必求出最大面积） 。 a,b,c,d4 计算闭曲面 5 22222 2 () 2 x yz zxy + = 所围体积。 25 在平面上单位质点 受力 P F 作用， 力F 的方向与OP u
6、uu r 垂直 （ 逆时 针转 90 度为 OP uuu r F 的方向） ，大 小 与 OP u uu r 成反比， 比例系数为 ， 求质点 从点 沿位于第一象限的曲线移动到点 ，力 k P (0,1) A (1, 0 ) B F 所作的功。 6计 算 积 分 ，其 中 是曲面 介于 的部分，积分沿曲面下侧。 dxdy z dzdx y dydz x S 3 3 3 + + S 2 2 y x z + = 1 0 z37 积分 + + 0 2 2 x dx 关于 在下述范围是否一致收敛? 证明你的断言 。 （1 ） + A 0 0 ; （2 ） + 0 。 8 将周期为 2 的函数 ， 2
7、) ( x x f = , x 展开成 Fourier 级数，并 计算 = + 1 2 1 ) 1 ( n n n的值。 4复旦大学20052006学年第一学期期末考试试卷 答案 1 （本题满分 40分，每小题 8分） （1） 0 2 2 2 = + y x 。 （2） 2 1 。 （3） e e x e y 1 = = 为极大值。 （4）曲线在 上为上凸，在 1 , 0 ( ) , 1 + 上为下凸， ) 7 , 1 ( 为拐点。 （5） C x x x + 1 ln 1 。 2 （本题满分 15 分） 在 点连续且可微， f 0 = x 0 ) 0 ( = f ， 1 ) 0 ( = f
8、。在其它点 不连续，因此也不可微。 3 （本题满分 10分）不一致连续。 4 （本题满分 10分） 。 2 e 5 （本题满分 15分） 。 C e e x x x + + + ) 1 ln( ) 1 ( 6 （本题满分 10分）证明：要证的不等式 1 ) 1 ln( 1 1 = x x g （ 0 + = x x x x f （ 0 x ） 。 因为 ，因此当 时成立 0 ) ( lim 0 = x f x 0 x + = 1 ) 1 ln( ) 1 ln( ) ( x x x x f 0 ) ( lim 0 = x f x 。 复旦大学20052006学年第一学期期末考试试卷 课程名称：
9、数学分析（I） 课程代码： 开课院系： 数学科学学院 学生姓名： 学号： 专业： 题 目 1 2 3 4 5 6 7 8 总 分 得 分 1计算下列各题： （1）求曲线 在 = = t y t x 2 cos , sin 4 = t 所对应的点处的切线方程。 （2）求极限 。 x x x 2 cot lim 0 （3）求函数 x x y 1 = （ ）的极值。 0 x（4）求曲线 的凸性与拐点。 ) 7 ln 12 ( 4 = x x y（5）计算不定积分 ) 1 ( 2 x x dx 。 2讨论函数 + = 为无理数 为有理数， x x x x x x x f ), 1 ( ), 1 ( )
10、 ( 的连续性与可微性。 3问函数 x x x x f 1 sin 1 2 ) ( + + = 在 上是否一致连续？请对你的结论说明理由。 ) 1 , 0 (4设函数 在 点可导，且 ) (x f 1 = x 1 ) 1 ( = f ， 2 ) 1 ( = f ，求 n n f n f + ) 1 ( 1 1 lim 。 5设函数 满足 ) (x f x x x f ) 1 ln( ) (ln + = ，求 dx x f ) ( 。 6证明：当 时成立 0 x 1 ) 1 ln( 1 1 + x x 。 数学分析（III ） 试题答案 2005.1 一 （本题满分 10 分） 3 3 0 0
11、0 = = = z y x 。 二 （本题满分 10 分） 2 2 a 。 三 （本题满分 10 分） 2 15 。 四 （本题满分 10 分） 作球面坐标变换 cos , sin sin , cos sin r z r y r x = = = 得 = 0 | cos | 2 0 1 0 2 | | sin d e d dr r dxdydz e r z 。 由于 ) 1 ( 2 sin sin sin 2 cos 2 0 cos 0 | cos | = + = r r r r e d e r d e r d e r ，所以 2 ) 1 ( 4 1 0 | | = = dr e r dxdyd
12、z e r z 。 五 （本题满分 10 分） 2 2 a 六 （本题满分 10 分） 4 2 h 。 七 （本题满分 10 分） 1 = ； C x y y x u + = 2 arctan ) , ( 。 八 （本题满分 15 分） = = 1 2 1 4 2 cos 4 2 ) ( n n nx x f ， x ； 2 1 1 4 1 1 2 = = n n ； () 2 1 16 1 4 1 2 1 2 2 = = n n 。 九 （本题满分 15 分） （1）因 为 ) 1 ( 1 ) 1 ( cos 2 2 t t t t xt + + ， ) , ( + x ， ， 而 ) ,
13、1 + t + + 1 2 ) 1 ( 1 dt t t 收敛，所以 + + 1 2 ) 1 ( cos dt t t xt 关于x 在 ) , ( + 上一致收敛。 （2 ）对于任意给定的 0 。因为 + + 1 2 ) 1 ( cos dt t t xt 一致收敛，所以存在 1 A ，使 得 2 ) 1 ( cos 2 + + A dt t t xt （ ) , ( + x ） 。由 Riemann 引理知 0 ) 1 ( cos lim 1 2 = + + A x dt t t xt ，所以存在 ，当 时成立 0 X X x 2 ) 1 ( cos 1 2 = + + + + + + +
14、 2 2 ) 1 ( cos ) 1 ( cos ) 1 ( cos 2 1 2 1 2 A A dt t t xt dt t t xt dt t t xt 。 即 0 ) 1 ( cos lim 1 2 = + + + dt t t xt x 。 （3）因为对于任意 ) , ( , 2 1 + x x ，成立 , | | 4 1 1 | | ) 1 ( 2 2 ) 1 ( 2 sin 2 sin 2 ) 1 ( 2 sin 2 sin 2 ) 1 ( ) cos (cos ) ( ) ( 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1
15、2 1 x x dt t x x dt t t t x x dt t t t x x t x x dt t t t x x t x x dt t t t x t x x f x f = + = + + + + + = + = + + + + + 这可直接推出 在 上一致连续。 ) (x f ) , ( + 数学分析（III ） 试题 2005.1 一在球面 上找点 ，满足 ， ， ， 使得该球面在点 处的切平面与三个坐标平面围成的四面体的体积最小。 1 2 2 2 = + + z y x ) , , ( 0 0 0 0 z y x P 0 0 x 0 0 y 0 0 z 0 P二求球面 （ ）
16、被平面 2 2 2 2 a z y x = + + 0 a 4 a z = 与 2 a z = 所夹部分的面积。 三计算二重积分 () + D dxdy x y x 2 4 ，其中 是由 D x 轴，直线 x y = 以及曲线 1 = + y x ， 2 = + y x 所围成的平面闭区域。 四计算三重积分 ，其中 。 dxdydz e z| | 1 | ) , , ( 2 2 2 + + = z y x z y x五 计算曲线积分 + L ds z y 2 2 2 ， 其中L 是球面 （ ）与平面 2 2 2 2 a z y x = + + 0 a y x = 相交而成的圆周。 六计算曲面积
17、分 ，其中 + + dxdy z dzdx y dydz x 2 2 2 为锥面 在平面 与 （ ）之间的部分，定向为下侧。 2 2 2 z y x = + 0 = z h z = 0 h七设 是右半平面 j i ) ( ) ( 2 ) , ( 2 4 2 2 4 y x x y x xy y x A + + = 0 | ) , ( = x y x D 上 的向量场，试确定常数 ，使得 为 上函数 的梯度场，并求出 。 ) , ( y x A D ) , ( y x u ) , ( y x u八 将 | （ sin | ) ( x x f = x ） 展开为 Fourier 级数， 并分别求级
18、数 = 1 2 1 4 1 n n ， () = 1 2 2 1 4 1 n n 的和。 九设 + + = 1 2 ) 1 ( cos ) ( dt t t xt x f ， ) , ( + x 。 （1）证明积分 + + 1 2 ) 1 ( cos dt t t xt 关于x 在 ) , ( + 上一致收敛； （2）证明 ； 0 ) ( lim = + x f x（3）证明 在 上一致连续。 ) (x f ) , ( + 复旦大学2005 2006 学年第一学期期末考试试卷 课程名称： 数学分析I 课程代码： 318.157.1.01 开课院系： 数学科学学院 学生姓名： 学号： 专业： 题
19、 目 1 2 3 4 5 6 7 8 总 分 得 分 填充题 1 （每空格 5 分，共 40 分）（1 ） 111 lim 3 n nnn n abc + = 。 （2 ） 2 1 0 arctan lim x x x x = 。（3 ）设 1 sin 0 () 00 xx fx x x = ， 当 在 范围时， ) (x f 在 连续； 0 = x 当 在 范围时， ) 0 ( f 存在。（4 ） 222 1 (a r c s i n 2 ) x yx ， 则 axa a = + y =。 （5 ） 2 1 x y x + = ， 则2 dy =。 （6）曲 线 在 (0 点处的切线方程为
20、2 34 x ye y x += ,1) 。 （7 ） 不定积分 2 cos dx x = 。 2 求不定积分： 1 1 x x e dx e + （10 分） 。 1 3 设 证明： 0 x ，使 过 ( ) 0 0 ,y x 点的切线 与x 轴， 轴所围的三角形面积最小？并求出最小的面积（10 分） 。 y2 5. 设 ， 问 是否存在 0 ( ) 0 fx 0 ，使 () f x 在 00 (, xx) + 上单调增加 ？ 是的话，证明你的断言，不一定的话，举出反例（10 分） 。 6设 23 ()1 2! 3! ! n n xxx Px x n =+ + + + L ， 1 () () () nn Fx PxP x + = ， 证明 有唯 一的实根（10 分） 。 () 0 Fx =3 7. 讨论函数 3 2 (1 ) x y x = 的单调性、凹凸性、极值与拐点、渐近线，并 作出它的图象（10 分） 。 4
