1、一元二次不等式及其解法1知识网络1.一元二次不等式的解法：（1）一元二次不等式：含有一个未知数，且未知数的最高次数为 的整式不等式，叫做一元二次不等式.一2般形式： .)0(022 acbxacbxa或（2）解法：一元二次不等式的解集，一元二次方程的根及二次函数图象之间的关系如下表（以 为0a例）：一元高次不等式的解法：变形，转化为 )0()()()(321 或naxax的形式.然后在数轴上依次标出各根， “奇穿偶回” ，轴上面大于零，轴下面小于零，根据图象写出解集.2.一元二次不等式的应用（一）恒成立问题（1）判别式法：一般地，对二次函数 .),0()(2Rxacbxxf 对 恒成立 对 恒
2、成立0)(xfR0a)f 0a（2）分离参数法 恒成立 ； 恒成立 .af)(min)(xf axf)(max)(f（3）数形结合 恒成立 函数 的图象恒在 图象上方；)(xgf)(f)(g 恒成立 函数 的图象恒在 图象下方.xx（二）三个“二次”问题二次方程的两根是二次函数的零点，是二次不等式的端点值.例题讲解判别式 24bac00二次函数 2yx的图象(0)ax2x1Oyxx1=x2OyxO xy一元二次方程的根20axbc()a有两相异实根 12,x24bac()有两相等实根 12bxa没有实根20xc()或1x2x且|R实数集 R一元二次不等式的解集2ab()12一元二次不等式及其解
3、法2【例 1】解关于 的不等式 .x)1(2)(ax变式 1：（1）解关于 的不等式 ；x223()0()axaR（2）已知集合 ，若 ，求实数 的取值范围.2 2|30,|4ABABa变式 2：（1） ，求关于 的不等式 的解；1ax1()0ax（2）不等式组 的解集不是空集，求实数 的取值范围.2304()x a变式 3：（08 海南宁夏理）已知 ，求使得 都成立的 取值范围.1230a21iax1,3ix变式 4：（09 年天津文）若关于 的不等式 的解集中整数恰好有 个，实数 的取值范x2)1(ax3a围.变式 5：（09 年天津理） ,若关于 的不等式 的解集中的整数恰有 个，ab1
4、0x22()(xba3求实数 的取值范围.a一元二次不等式及其解法3【例 2】已知关于 的不等式 的解集为 ，求关于 的不等式x20axbc1|2x或 x的解集.20axbc变式 1：已知 ，求关于 的不等式 的解集.21|0(,2)3xabcx20cbxa变式 2：已知二次函数分二次项系数为 ，且不等式 的解集为 .a()2fx(1,3)（1）若方程 有两个相等的实根，求 的解析式；()60fxa（2）若 无极值，求实数 的取值范围.g一元二次不等式及其解法4【例 3】解不等式 .1325x变式 1：解下列不等式（1） （2） （3）()()0xx2(1)()0xx2(1)()0xx变式 2
5、：（2010 年全国理）解不等式 .2601x变式 3：（2007 年全国理）解不等式 .2104x变式 4：解不等式（1） （2010 年上海理） （2） （2007 年湖南理）042x 201x变式 5：（2008 年北京文）解不等式 .12x变式 6：（2008 年山东文）解不等式 .251x一元二次不等式及其解法5【例 4】 （2010 年江西理）解不等式 .2|x变式 1：（2008 年山东理）不等式 解中整数有且仅有 ，求 的范围.|3|4xb1,23b变式 2：（1）不等式 对一切实数 恒成立，求 的范围.|4|3|xaxa（2）不等式 的解集在 上不是空集，求 的取值范围.|R
6、变式 3：（1）不等式 对一切实数 恒成立，求 的取值范围.|4|3|xaxa（2）不等式 对一切实数 恒成立，求 的取值范围.|一元二次不等式及其解法6【例 5】已知 的定义域为 ,求实数 的取值范围.)1(lg22axyRa【例 6】设 ，当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.2)(2mxxf ),1mxf)(【例 7】设 ，若恒有 恒成立，求实数 的取值范围.axgxf 134)(,)(2 )(xgfa【例 8】已知函数 时 恒成立，求实数 的取值范围.4,0(,4)(2xaxf 0)(xf a一元二次不等式及其解法7【例 9】已知二次函数 和一次函数 ，其中 满足 ，cbxaf2)(
7、bxg)(,acbc.0abc(,aR（1）求证：两函数的图象交于不同的两点 ；,AB（2）求线段 在 轴上的射影 的长的取值范围.ABx1变式 1.已知 ，解不等式0,a2log(43)log(1)log2aaaxx变式 2.设函数 ，解不等式2()log1,01axf att()0fx变式 3.已知函数 满足 ，其中 且 .xf12logafxx0a1对于函数 ，当 时， ，求 的取值范围；1,2fmfm当 时， 的值恒为负数，求 的取值范围.,2x4fx一元二次不等式及其解法8巩固提高1.不等式 的解集为（ ）032xA. B. C. D.(1,3)(1,)(3,1)2.把长为 的细铁丝
8、截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值cm是（ ）A. B. C. D.23423323.已知方程 有解，则实数 的取值范围是（ ）01sini2axaA. B. C. D.3,6,63,22,4.当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）12x2xA. B. C. D.aa0aa5.不等式 的解集是（ ）042xA. B. C. D.)1,(R),21(),(6.若不等式 |ax+2|6 的解集为 ，则实数 等于（ ）|2|6ax(1,2)aA. B. C. D.8 487.已知函数 是 上的增函数， 是图像上的两点，那么 的解集是（ ()fR(0,)3
9、,AB|(1)|fx）A. B. C. D.(1,4)(1,2),41,(),2,(8.不等式 的解集是（ ）2xA. B. C. D.),()0,),0(,( ),0(, ),1(,(9.若关于 的不等式 的解集为 ，则实数 的取值范围是 ；若关于 的不x2axRax等式 的解集不是空集，则实数 的取值范围是 .32a10.对于 ，不等式 恒成立，则 的取值范围是 .40m342mxxx11.设 ，若 在区间 上变动时， 恒为正值， 的取值范围是 .1log)()(log22ttpt2,px12.设不等式 的解集为 ,如果 ，实数 的取值范围是 .0axM41a13.不等式 的解集为 ,则不等式 的解集为 .2cb|3x02cbx一元二次不等式及其解法914.已知函数 .)0(21)(xaxf（1）判断 在 上的单调性，并证明；,0（2）解关于 的不等式 .x)(xf（3）若 在 上恒成立，求 的取值范围.2)(f,a15.已知不等式 的解集为 .求当 时，函数 的03log7)(l25.025.0xxMx)4(log2l)(xxf最大值和最小值.
