1、正保考研教育网一、选择题（每小题 4 分，共 32 分）（1 ）若函数 在 处连续，则（ ） 。21cos,0(),xfxabA. 2abB. 1C. 0D. 2ab【答案】A【解析】由连续的定义可知： 其中 ，-00lim()li(),xxff-0()lim()xffb，从而 ，也即 ，故选 A.200011coslim()lilixxxfaa 12ba12【试题点评】本题考查函数的连续性。此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分高等数学有重点讲解，在强化阶段数学强化班高等数学第一章函数、极限、连续和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。（2 ）设二阶可导函数 满足 ，且 ，则（ ） 。
2、()fx(1),(0)1ff()0fxA. 1()0fxdB. 2C. 0110()()fxfxD. d【答案】B【解析】由于 可知其中 的图像在其任意两点连线的曲线下方，也即()0fx ， ()fx， ，因此()121fxf(0,)1100()(2)=0fxdfxd ，同理 ，因此()(),fxx，从而 ，故选 B.011(=0fxdxd ， 1()fd正保考研教育网【试题点评】本题考查二阶导数与拐点的关系。此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分高等数学有重点讲解，在强化阶段数学强化班高等数学第二章导数与微分和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。（3 ）设数列 收敛，则（ ） 。mx
3、A.当 时，lisn0xli0mxB.当 时，mxlixC.当 时，2limD.当 时，sin0mxxli0x【答案】D【解析】 ，而要使 ，只有 a=0，故 D 正确。lisi)sinnnxa（ sin0a【试题点评】本题考查级数收敛性。此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分高等数学有重点讲解，在强化阶段数学强化班高等数学第九章级数和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。（4 ）微分方程 的特解可设为 （ ） 。 2481cosxyekyA. 2cosinxAeBCB. 2xC. 2csixeD. 2onxABCx【答案】C【解析】齐次方程的特征根为 ，原方程可分解为两个非齐次方程：2
4、ri和 ，可知第一个方程的特解为 ，第二个248xye48cosxye 2xAe方程的特解为 ，故选 C.(cosin)BC【试题点评】本题考查微分方程的解。此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分正保考研教育网高等数学有重点讲解，在强化阶段数学强化班高等数学第五章微分方程和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。（5 ）设 具有一阶偏导数，且在任意的 ，都有 ， 则（ (,)fxy,xy(,)0fxy(,)fxy） 。A. (0,)(1,ffB. C. (,)(,)ffD. 01【答案】D【解析】易知 分别关于 单调递增和单调递减，所以选 D.(,)fxy,xy【试题点评】本题考查函数的导
5、数。此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分高等数学有重点讲解，在强化阶段数学强化班高等数学第二章导数与微分和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。（6 ）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10（单位：m）处，图中，实线表示甲的速度曲线 （单位：m/s） ，虚线表示乙的速度曲线 ，三块阴影部分面积的1()vt 2()vt数值依次为 10，20 ，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为 （单位：s ） ，则（ ） 。0A. 01tB. 52正保考研教育网C. 025tD. 【答案】C【解析】 时，乙比甲多跑 10m，而最开始的时候甲在乙前方 10m 处。025t【试题点评】本题考查函数的导数。
6、此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分高等数学有重点讲解，在强化阶段数学强化班高等数学第二章导数与微分和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。（7 ）设 为三阶矩阵， 为可逆矩阵，使得 ，则A123,P102PA（ ） 。123A. B. 23C. D. 12【答案】B【解析】由相似矩阵的特征值与特征向量的定义，可知 .1230,2AA【试题点评】本题考查可逆矩阵。此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第二部分线性代数有重点讲解，在强化阶段数学强化班线性代数第二章矩阵和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。（8 ）已知矩阵 ，则（ ） 。202100,2ABCA.A 与 C 相似，B 与
7、C 相似B. A 与 C 相似，B 与 C 不相似C. A 与 C 不相似，B 与 C 相似D. A 与 C 不相似，B 与 C 不相似正保考研教育网【答案】B【解析】A，B 的特征值为 2,2,1，但 A 有三个线性无关的特征向量，而 B 只有两个，所以A 可对角化，B 则不行.【试题点评】本题考查相似矩阵。此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第二部分线性代数有重点讲解，在强化阶段数学强化班线性代数第五章特征值与特征向量和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。二、填空题（每小题 4 分，共 24 分）（9 ）曲线 的斜渐近线方程为_ 。2(1arcsin)yx【答案】【解析】 ，则斜渐近线方
8、程为(arcsi)2lim1,lim(arcsin)x xkbx.2y【试题点评】本题考查导数的应用。此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分高等数学有重点讲解，在强化阶段数学强化班高等数学第三章中值定理与导数应用和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。（10 ）设函数 由参数方程 确定，则 =_。()yxsintxey20|tdyx【答案】 18【解析】 2 2 302()cos1in()cos() insicos(1)1|8ttt ttt ttdytxeeedyx【试题点评】本题考查二阶导数。此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分高等数学有重点讲解，在强化阶段数学强化班高等数学第
9、二章导数与微分和强化阶段数学重点正保考研教育网题型精讲班也均有涉及。（11 ） =_。102ln()xd【答案】1【解析】 20000ln()1ln()1l|xdxd【试题点评】本题考查定积分的性质。此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分高等数学有重点讲解，在强化阶段数学强化班高等数学第四章不定积分和定积分和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。（12 ）设函数 具有一阶连续偏导数，且 ，(,)fxy(,)(1)yydfxedxed，则 =_。(0,)f【答案】 yxe【解析】由题意可知， ，,(1),()()yyyyxfefxefxedxc即 即 故 c=0, ()yfxec0cc0,
10、f.(,)y即【试题点评】本题考查函数的导数。此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分高等数学有重点讲解，在强化阶段数学强化班高等数学第二章导数与微分和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。（13 ） =_。10tanyxd【答案】 l(cos)【解析】 11110000tantantaln|cos|lcosllcosyyxxddxdx【试题点评】本题考查定积分的性质。此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分正保考研教育网高等数学有重点讲解，在强化阶段数学强化班高等数学第四章不定积分和定积分和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。（14 ）设矩阵 的一个特征向量为 ，则 =_。4123
11、Aa12a【答案】-1【解析】132,=11.Aaa即 ， 可 得【试题点评】本题考查矩阵。此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第二部分线性代数有重点讲解，在强化阶段数学强化班线性代数第五章特征值与特征向量和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。三、解答题（共 94 分）（15 ） （本题满分 10 分）求 03limxted【答案】 2【解析】令 ,xtutxdtu则+ + +0033220 03 310 02 22()=limlimlili li3xxx xu uxxx xeeddee原 式【试题点评】本题考查函数的极限。此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分高等数学有重点讲解，在强
12、化阶段数学强化班高等数学第一章函数、极限、连续和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。（16 ） （本题满分 10 分）正保考研教育网设函数 具有 2 阶连续性偏导数， ，求 。(,)fuv(,cos)xyfe200|,|xxdy【答案】 ；01|(,)xdyf20112|(,)(,)(,)xdfff【解析】 120211212122022(,cos)in|(,)sin(sin)cos|(,)(,),)xxxxxyfedfdyfefefefxf【试题点评】本题考查切线方程与导数的关系。此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分高等数学有重点讲解，在强化阶段数学强化班高等数学第三章中值定理与导
13、数的应用和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。（17 ） （本题满分 10 分）求 。21limln()nk【答案】 4【解析】正保考研教育网22210212020110=limln()(1).(1)l.lnl()nl()|nl()xdxxxdxdxn2ln214【试题点评】本题考查级数。此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分高等数学有重点讲解，在强化阶段数学强化班高等数学第九章级数和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。（18 ） （本题满分 10 分）已知函数 由方程 确定，求 的极值。()yx320yx()yx【答案】当 x=1 时函数有极大值，极大值为 1，当 x=-1 时函数
14、有极小值，极小值为 0.【解析】 320xy方程两边对 x 求导得： 2330xy令 2=01y， 得 ，当 1,0xxy时 当 时方程两边再对 x 求导: 26()30y令 20,6(31)yy正保考研教育网当 x=1，y=1 时， ，当 x=-1 时，32y6y所以当 x=1 时函数有极大值，极大值为 1，当 x=-1 时函数有极小值，极小值为 0.【试题点评】本题考查多元函数极值。此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分高等数学有重点讲解，在强化阶段数学强化班高等数学第六章空间解析几何与多元微分学和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。（19 ） （本题满分 10 分）设函数 在区间
15、 上具有 2 阶导数，且 ， ，证明：()fx0,1(1)0f()lim0xf（）方程 在区间 内至少存在一个实根；(,)（）方程 在区间 内至少存在两个不同实根。2()0fxfx(,)【答案】略【解析】（）证：因为 ，由极限的局部保号性知，存在 ，使得 ，0()limxf(0,)c()0fc而 ，由零点存在定理可知，存在 ，使得 。(1)f(,1)cf（）构造函数 ，因此 ，()()Ffx0(),()()FFf因为 ，所以 ，由拉格朗日中值定理知，存在 ，使得0()limxf(0)f(0,1)，所以 ，因此根据零点定理可知存在 ，1)ff()0f(,)使得 ，所以 ，所以原方程至少有两个不同
16、实根。1(f11()F【试题点评】本题考查二阶导数。此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分高等数学有重点讲解，在强化阶段数学强化班高等数学第二章导数与微分和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。（20 ） （本题满分 11 分）已知平面区域 ，计算二重积分 。2,|Dxyy21Dxdy正保考研教育网【答案】 54【解析】 22sin20(1)co54DDxdyxdrd【试题点评】本题考查二重积分。此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分高等数学有重点讲解，在强化阶段数学强化班高等数学第七章重积分和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。（21 ） （本题满分 11 分）设 是区间 内的
17、可导函数，且 ，点 是曲线 上的任意一yx30,210yP:Lyx点， 在点 处的切线与 轴相交于点 ，法线与 轴相交于点 ，若LPy,PYx,0PX，求 上点的坐标 满足的方程。XY,x【答案】 2 3ln()arctn0,()2xy，【解析】设曲线 L 在（x,y）处的切线方程为 ，所以()()YyxXx()PYyx对应的法线方程为 ，所以1()()Yyxx()Pxy因此 ，即()()yx1dyyxx这是一个齐次方程，可令 ，最终求得方程的通解为()ux2ln(1)arctn2l|uC正保考研教育网再由 得(1)0y2 3ln()arctn0,()2yxyx，【试题点评】本题考查切线方程与
18、导数的关系。此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分高等数学有重点讲解，在强化阶段数学强化班高等数学第三章中值定理与导数的应用和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。（22 ） （本题满分 11 分）设 3 阶矩阵 有 3 个不同的特征值，且 ，12(,)A312（）证明 ；)r（）如果 ，求方程组 的通解。123Ax【答案】 （）略；（） 。(,1)(,)TTkkR【解析】 （）证：因为 有三个不同的特征值，所以 不是零矩阵，因此 ，若()1rA，那么特征根 0 是二重根，这与假设矛盾，因此 ，又根据 ，()1rA ()2rA32所以 ，因此 。2()2rA（）因为 ，所以 的基础解系中
19、只有一个解向量，又 ，即()x 312，因此基础解系的一个解向量为 。因为 ，故1230(1,2)T3的特解为 ，因此 的通解为 。Ax(1,)TAx(,)TkkR【试题点评】本题考查线性方程组的解。此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第二部分线性代数有重点讲解，在强化阶段数学强化班线性代数第四章线性方程组和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。（23 ） （本题满分 11 分）设二次型 在正交变换 下的标2212313132(,)8fxxaxxxQy准型为 ，求 的值及一个正交矩阵 。yQ正保考研教育网【答案】 ，正交矩阵2a11326011326Q【解析】二次型的矩阵41Aa因为二次型在正
20、交换下的标准形为 ，故 A 有特征值 0,2y|A|=0 ，故 a=2由 得特征值为214|42EA(3)60123,6,0解齐次方程组 ，求特征向量()ix对 ，得 ;1514013,2EA1对 得26,1701,420;1对 得 ;320, ,10EA3因为 属于不同特征值，已经正交，只需规范化：123.,令 321 11(,1),(,0)(,2)| | |6正保考研教育网所求正交矩阵为 ，对应标准形为 .11326011326Q2136fy【试题点评】本题考查二次型。此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第二部分线性代数有重点讲解，在强化阶段数学强化班线性代数第六章二次型和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。
