1、第二章 极限和连续一、极限的定义1 如果当 无限地趋于 时，函数 无限地趋于一个确定的常数 ，则称当 时，函数 的极限(值)为 ，记作x 0x0xx A)(xf)(xf AAxfxx)(lim0例： )1(lim1xx 11lim 21 xxx111)1)(1(lim1 xxxx)1(lim1xx2222limxx 42 如果当 无限地趋于 时，函数 无限地趋于一个确定的常数 ，则称当 时，函数 的极限(值)为 ，记作x xA)(xf)(xf AAxfx)(lim例： xx1lim 0)1(lim xx 一、极限的定义 xx 1, xx 1,00 ,)( xf ,0)( xf0)(1 xf无穷
2、大量无穷小量)(1xf 有限个无穷小量之积仍为无穷小量.二、无穷小量和无穷大量0)(lim)( 0xfxxx1. 若 ，则称 为无穷小量.)(xf)(lim)( 0xfxxx2. 若 ，则称 为无穷大量.)(xf无穷小量和无穷大量的关系：无穷小量的倒数是无穷大量；无穷大量的倒数是无穷小量.无穷小量的基本性质： 有限个无穷小量之和仍为无穷小量. 有界变量与无穷小量之积仍为无穷小量.注意：以上性质都不能推广到无穷大量，但性质和通常大大的情况下是成立的.)sin(lim)2 xxx 11lim)121 xx )111lim)32 nx xxx （ 如果 ，则称 是与 同阶的无穷小量.无穷小量的比较：
3、 如果 ，则称 是比 较高阶的无穷小量，记为 . 如果 ，则称 与 是等价无穷小量，记为 . 如果 ，则称 是比 低阶的无穷小量.0lim 0lim C 1lim )( lim 定义 设 和 是同一过程中的无穷小量，即 . 0lim,0lim 例：因为 ，所以称：当 时， 与 是等价无到底穷小量.1lim20 xxxx0x 2xx x当 时， 是 的_.0x xx 32 2 x 同阶无穷小量三、两个重要极限重要极限1)( )(sinlim0)( xfxfxf它可以拓展为1sinlim0 xxx20cos1limxxxxxx 22sinlim例： 1442sin2lim220 xxx 2022s
4、in21lim xxx 211sinlim xxx判 ：断重要极限exf xfxf)(10)()(1lim它可以拓展为ex xx10)1(limaaxfxfexf )(10)()(1limxx x)11(lim xxx cot0)tan1(lim 例： xxx tan10)tan1(lim exxx)11lim01exx xx 10)11(lim xxx xx110 )1()1(lim21 eee )1(110 )(1)1(lim xxx xx)()(122110122110 nmbxbxbxbxbaxaxaxaxaxfnnnnnmmmmm 若一类特殊极限00)(limbaxfnmx，时则当n
5、mx baxfnm )(lim，时当121lim22 xxxx例： 21722154lim3523 xxxxxx 71求下列函数极限：xxx 2coslim)22xxx 3sin2sinlim)1015lim)422 xxx421lim)5243 xxxx 902070)15()58()63(lim)6 xxxxxx x )21(lim)3四、分段函数的极限及其连续性例：设函数 ，则 ，. 1,1,13)(xexxxfx )(lim0 xfx)(lim3xfx13e练习：设函数 ，则 .1,log10,10,)(22xxxxxxf )(lim(2xffx11. 分段函数的极限例：设函数 在点 处连续，则常数 0,0,3)(xexaxxfx例：设函数 在 处的极限存在，则 1,log1,2)(2 xxxxaxf2. 分段函数的连续性0x .a 11x .a 2
