1、简 介 微 积 分数 学 就 像 一 种 奇 妙 的 幻 想 ， 但 这 种 奇 妙 幻 想 最 终 还 是 会 真 实 的 体 现 在 现 实中 。 做 数 学 运 算 有 一 种 在 做 一 个 想 象 的 发 明 的 感 觉 ， 但 它 确 定 是 强 化 我 们 的 洞 察力 的 过 程 ， 所 以 我 们 在 周 围 任 何 地 方 都 可 以 发 现 那 样 的 情 景 模 式 ， 我 们 数 学 教 育的 目 标 是 为 了 飞 跃 到 现 实 的 脚 步 之 前 并 分 享 数 学 运 算 带 来 的 理 智 愉 悦 的 体 验 。微 积 分 的 发 展 史 是 数 学 的 重
2、 要 做 成 部 分 。 极 限 、 函 数 、 导 数 、 积 分 和 无 穷 级数 等 内 容 在 微 积 分 中 所 体 现 。 微 积 分 这 门 学 科 依 然 在 现 代 数 学 教 育 史 中 占 据 一 席之 地 。 微 分 学 和 积 分 学 统 称 为 微 积 分 学 。 这 两 大 部 分 间 起 桥 梁 作 用 的 是 著 名 的 微积 分 学 基 本 定 理 。 微 积 分 研 究 的 主 要 内 容 是 丰 富 、 变 化 的 。 微 积 分 课 程 是 先 进 思想 的 传 播 课 程 ， 后 来 人 们 也 将 微 积 分 称 为 数 学 分 析 。 微 积 分
3、 作 为 工 具 广 泛 用 于 在科 学 ， 经 济 学 ， 工 程 等 领 域 ， 用 于 解 决 许 多 问 题 ， 这 是 代 数 这 门 学 科 独 自 解 决 是不 能 满 足 的 。一 、 微 积 分希 腊 数 学 家 阿 基 米 德 是 第 一 个 找 到 切 线 方 向 的 曲 线 ， 除 了 一 个 圆 圈 ， 在 一 个 方 法类 似 于 微 积 分 。 当 研 究 螺 旋 时 ， 他 一 个 点 的 运 动 分 开 成 两 个 部 分 ， 一 个 径 向 运 动部 件 和 一 个 圆 周 运 动 部 件 ， 然 后 继 续 增 加 双 组 分 在 一 起 从 而 找 到
4、 切 线 运 动 的 曲线 。 印 度 数 学 家 及 天 文 学 家 阿 雅 巴 塔 在 499年 为 解 决 无 穷 小 天 文 问 题 ， 采 用 了 新的 观 念 和 表 达 方 式 ， 创 造 性 的 利 用 了 一 种 基 本 微 分 方 程 形 式 。 Manjula， 在 世 纪十 周 年 开 个 玩 会 ， 详 细 阐 述 了 该 微 分 方 程 一 个 评 论 。 该 方 程 skara最 终 导 致 Bha二 世 时 12世 纪 发 展 一 种 衍 生 为 代 表 无 穷 小 观 念 的 改 变 ， 而 他 描 述 早 期 版 本 的 “ 罗尔 定 理 ” 。 在 15世
5、 纪 ， 一 个 早 期 版 本 中 值 定 理 parameshvara 是 在 天 文 学 的 喀 拉拉 学 校 里 他 的 评 定 中 和 数 学 登 顶 ， 巴 卡 拉 II被 首 次 描 述 （ 1370-1460） 。在 17世 纪 ， 欧 洲 数 学 家 撒 向 后 拉 线 ， 皮 埃 尔 、 德 、 费 ， 布 莱 斯 帕 斯 科 ， 约翰 沃 利 斯 和 其 他 学 者 讨 论 了 概 念 的 衍 生 体 系 ， 特 别 是 ， 在 Methodus 广 告disquirendam maximan最 小 风 险 ， 在 tangentibus等 linearum curvar
6、um， 开 发出 一 种 方 法 测 定 费 最 大 值 、 最 小 值 ， 并 对 各 种 曲 线 的 切 线 相 当 于 分 化 。 艾 萨 克 、牛 顿 后 来 写 他 自 己 的 想 法 微 分 早 期 直 接 来 自 “ 费 马 研 究 极 值 的 问 题 ” 。二 、 积 分 学计 算 面 积 和 体 积 是 微 积 分 的 基 本 功 能 。 这 可 以 追 溯 到 莫 斯 科 纸 莎 的 手 写 稿（ 约 1820年 ） ， 其 中 一 名 埃 及 数 学 家 成 功 的 运 用 微 积 分 知 识 计 算 金 字 塔 形 锥 体 的体 积 。 希 腊 geometers被 人
7、 认 为 是 利 用 无 穷 小 解 决 问 题 的 显 著 体 现 者 。 德 谟 克 利特 是 称 自 己 是 第 一 个 经 过 慎 密 ， 严 肃 考 虑 后 ， 将 对 象 划 分 成 无 数 的 横 切 面 。 但 他不 能 把 其 合 理 化 ， 如 果 想 把 光 滑 的 斜 坡 构 思 成 数 学 中 的 一 个 离 散 的 锥 形 截 面 ， 这个 问 题 是 他 走 入 到 了 思 想 紧 闭 区 ， 所 以 他 必 须 创 造 出 新 的 理 论 。 大 约 在 相 同 的 时间 点 上 ， 季 诺 也 急 于 这 方 面 的 思 考 ， 使 得 他 焦 头 烂 额 后
8、 ， 给 出 了 无 穷 小 理 论 的 悖论 。 安 提 和 欧 多 克 斯 把 它 们 进 行 分 割 成 若 干 的 部 分 ， 能 过 计 算 出 地 区 和 固 体 的 面积 和 体 积 ， 这 个 过 程 穷 尽 了 他 们 所 熟 悉 的 一 般 方 法 ， 阿 基 米 德 进 一 步 创 造 了 这 一方 法 ， 利 用 启 发 式 思 想 ， 最 后 得 出 结 论 是 有 点 类 似 于 现 代 的 概 念 。 （ 阿 基 米 德 将方 形 上 的 抛 物 线 的 研 究 方 法 应 用 于 球 体 和 圆 柱 体 。 ） 到 了 牛 顿 时 代 ， 这 些 方 法 都过
9、时 了 ， 它 不 应 该 被 认 为 是 无 穷 理 论 的 基 础 ， 这 一 说 法 在 此 期 间 流 传 ， 然 而 ， 希腊 数 学 家 说 恰 是 它 的 这 种 方 法 被 应 用 于 几 何 证 明 是 可 以 被 确 定 为 一 个 正 确 的 理论 。 11 世 纪 积 分 学 走 上 了 一 个 新 的 层 次 ， 一 位 在 埃 及 工 作 的 伊 拉 克 籍 数 学 家 实在 欧 洲 挺 有 盛 誉 的 ， 他 提 出 的 问 题 推 动 了 对 四 次 方 程 求 根 问 题 的 思 考 。 在 他 所 学的 书 中 ， 有 效 解 决 了 上 述 问 题 。 其
10、 中 ， 采 用 了 一 种 方 法 很 容 易 的 确 定 出 整 数 求 和的 问 题 。 他 在 抛 物 面 上 求 体 积 ， 而 且 能 够 将 其 进 行 推 广 ， 最 终 得 到 多 项 式 的 积 分 ，并 以 此 获 得 新 的 荣 誉 ， 他 的 这 种 方 式 接 近 于 一 般 多 项 式 的 积 分 ， 但 是 还 有 限 制 因素 就 是 四 次 多 项 式 。三 、 现 代 微 积 分詹 姆 斯 、 格 雷 戈 里 能 证 明 17世 纪 中 叶 微 积 分 一 个 版 本 第 二 基 本 定 理 是 受 限制 的 。 牛 顿 和 莱 布 尼 兹 判 别 法 通
11、 常 被 人 为 是 现 代 的 发 明 ， 微 积 分 理 论 日 渐 成 熟 与17 世 纪 后 期 。 他 们 最 重 要 的 贡 献 是 发 展 发 展 微 积 分 基 本 定 理 。 同 时 ， 大 量 利 用莱 布 尼 兹 判 别 法 做 出 一 致 的 工 作 和 有 用 的 符 号 以 及 概 念 ， 牛 顿 是 第 一 个 在 该 领 域组 织 成 为 一 个 一 致 的 主 题 ， 并 提 供 了 一 些 方 法 ， 也 是 最 重 要 的 应 用 ， 尤 其 是 积 分学 的 理 论 基 础 。 巴 德 费 惠 更 斯 ， 沃 利 斯 以 及 其 他 许 多 人 也 做
12、出 了 重 要 贡 献 。四 、 应 用微 积 分 作 为 工 具 解 决 了 物 理 学 以 及 天 文 学 的 问 题 ， 这 是 当 代 科 学 的 起 源 。 18 世纪 这 些 应 用 不 断 增 多 ， 直 接 接 近 拉 普 拉 斯 和 拉 格 朗 日 整 体 研 究 的 分 析 领 域 ， 拉 格朗 日 （ 1773年 ） 称 我 们 应 该 引 入 动 态 的 潜 力 理 论 ， 虽 然 名 称 是 “ 潜 在 功 能 ” ， 但科 学 基 本 的 回 忆 录 必 须 是 绿 色 的 （ 1827年 ， 1828年 印 ） 。 进 入 分 析 物 理 问 题 的 其他 应 用
13、 程 序 种 类 繁 多 ， 在 这 个 地 方 是 不 可 能 的 ， 赫 姆 霍 兹 用 自 己 的 劳 动 特 别 声 明 ，因 为 在 他 的 动 力 ， 电 力 等 理 论 所 做 出 的 贡 献 ， 并 带 来 了 他 伟 大 的 分 析 能 力 ， 并 用来 承 担 力 学 的 基 本 公 理 ， 以 及 对 于 那 些 纯 粹 的 数 学 。 此 外 ， 微 积 分 被 引 入 到 社 会科 学 ， 新 古 典 经 济 学 。 今 天 它 成 为 主 流 经 济 学 的 有 价 值 得 工 具 。博 耶 ， 卡 尔 、 数 学 史 、 纽 约 ： 约 .威 利 父 子 ， 19
14、91年 。威 廉 .瑟 斯 顿 ， 通 告 阿 米 尔 数 学 SOC.1990年Introduction to the calculusMathematics is like a flight of fancy,but one in which the fanciful turns out to bereal and to have been present all long.Doing mathematics has the feel of fancifulinvention,but it is really a process for sharpening for sharpening
15、our perception so thatwe discover patterns that are everywhere around.To share in the delight and theintellectual experience of mathematics-to fly where before we walked-that is the goalmathematical education.History of Calculus is part of the history of mathematics focused onlimits,functions,deriva
16、tives,integrals,and infinte series.the subject,known historicall asinfinitesimal calculus,constitutes a major part of modern mathematics education.It hastwo major-branches,differential calculus and integral calculus,which are related by thefundamental theorem of calculus.calculus is the study of cha
17、nge,in the same way thatgeometry is the study of shape and algebra is the study of operations and theirapplication to solving equations.A course in calculus is a gateway to other,moreadvanced courses in mathematics devoted to the study of functions and functions andlimits,broadly called mathematical
18、 analysis.Calculus has widespread applications inscience,economics,and engineering and can solve many problems for which algebraalone is insufficientDifferential calculusThe Greek mathematician Archimedes was the first to find the tangent to acurve,other than a circle,in a method akin to differentia
19、l calculus.while studying thespiral,he separated a points motion into two components,one radial motioncomponent and one circular motion component,and then continued to add the twocomponent motions together thereby finding the tangent to the curve.The Indian mathematician astronomer Aryabhata in 499
20、used notion ofinfinitesimals and expressed an astronomical problem in the from of a basicdifferential equation.Manjula,in the 10th century,elaborated on this differentialequation in a commentary.this equation eventually led Bh a skara II in the 12thcentury to develop the concept of a derivative repr
21、esenting infinitesimal change,andhe described an early from of “Rolles theorem”.In the 15th century,an early version ofthe mean value theorem was first described by parameshvara(1370-1460)from theKerala school of astronomy and mathematics in his commentaries on.Govindasv miand and Bhaskara II.In the
22、 17th century,European mathematicians Isaac Barrow,Pierre deFermat,Blaise pascal,John Wallis and others discussed the idea of a derivative.Inparticular,in Methodused disquirendam maximamet minima and in De tangentibuslinearum curvarum,Fermat developed a method for detemining maxima ,minima andtangen
23、ts to various curves that was equivalent to differentiationIsaac Newton wouldlater write that his own early ideas about calculus came directly from“Fermats way ofdrawing tangents”.Integral calculusCalculating volumes and areas,the basic function of integral calculus,can betraced back to the Moscow p
24、apyrus(c.1820 BC),in which an Egyptian mathematiciansuccessfully calculated the volume of a pyramidal frustum.Greek geometers arecredited with a significant use of infinitesimals.Democritus is the first person recordedto consider seriously the division of objects into an infinite number of crosssect
25、ions,but his inability to rationalize discrete cross sections with a cones smoothprevented him from accepting the idea.At approximately the same time,zeno of Eleadiscredited infinitesimals further by his articulation of the paradoxes which theycreate.The next major step in integral calculus came in
26、the 11th century,when Ibal-haytham(known as Alhacen in Europe),an Iraqi mathematician working inEgypt,devised what is now known as “Alhazens problem”,which leads to an equationof the fourth degree,in his Book of Optics.while solving this problem,he his the firstmathematician to derive the formula fo
27、r the sum of the fourth powers,using a methodthat is readily generalizable for determining the general formula for the sum of anyintegral powers.He performed integration in order to find the volume of aparabolic ,and was able to generalize his result for the integrals of polynomials up tothe fourth
28、degree.He thus came close to finding a general formula for the integrals ofpolynomials,but he was not concerned with any polynomials higher than the fourthdegree.Antiphon and later Emulous are generally credited with implementing the methodof exhaustion,which made it possible to compute the area and
29、 volume of regions andsolids by breaking them up into an infinite number of recognizableshapes.Archimedes developed this meth further,while also inventing heuristicmethods which resemble modern day concepts somewhat.(See ArchimedesQuadrateof the Parabla,The Method,Archimedes on spheres Cylinders .)I
30、t was not until thetime of Newton that these methods were made obsolete.It should not be thought thatinfinitesimals were put on rigorous footing during this time,however.only when it wassupplemented by a proper geomeyric proof would Greek mathematicians accept aproposition as true.Modern calculusJam
31、es Gregory was able to prove a restricted version of the second fundamentaltheorem of calculus in the mid-17thcentury.Newton and Leibniz are usually creditedwith the invention of modern infinitesimal calculus in the late 17th century.their mostimportant contributions were the development of the fund
32、amental theorem ofcalculus.Also,Leibniz did a great deal of work with developing consistent and usefulnotation and concepts.Newton was the first to organize the field into one consistentsubject,and also provided some of the first and most important applications,especiallyof integral calculus.Importa
33、nt contributions were also made by barrow,defermat,Huygens,Wallis and many others.ApplicationsThe application of the infinitesimal calculus to problems in physics andastronomy was contemporary with the origin of the science.All throught theeighteenth century these applications were multiplied until
34、at its close Laplace andLagrange had brought the whole range of the study of forces into the realm ofanalysis.To Lagrange(1773)we owe the introduction of the theory of the potential intodynamics,although the name“potential function”and the fundamental memoir of thesubject are due to Green(1872,prite
35、d in 1828).The labors of Helmholtz should beespecially mentioned,since he contributed to the theories ofdynamics,electricity,etc,and brought his great analytical powers to bear on thefundamental axioms of mechanics as well as on those of puremathematics.Furthermore,infinitesimal calculus was introduced into the socialsciences,starting with Neo classical economics.Today,iit is a valuable tool inmainstream economics.Boyer,car.a History of Mathematies .New York:John Wiley Sons,1991.William Thurston,NoticesAmir.Math.Soc.1990.
