1、1.3 空间几何体的表面积与体积1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积学习目标 1.了解柱体、锥体、台体的表面积与体积的计算公式.2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积知识点一 棱柱、棱锥、棱台的表面积图形 表面积多面体多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积特别提醒 棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开，其侧面展开图分别是由若干个平行四边形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形，侧面展开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的底面积的和知识点二 圆柱、圆
2、锥、圆台的表面积图形 表面积公式圆柱底面积：S 底 2r 2侧面积：S 侧 2rl表面积：S2r(rl)圆锥底面积：S 底 r 2侧面积：S 侧 rl表面积：Sr(rl)旋转体圆台上底面面积：S 上底 r 2下底面面积：S 下底 r 2侧面积：S 侧 ( rlrl) 表面积：S( r 2r 2rlrl )知识点三 柱体、锥体与台体的体积公式几何体 体积 说明柱体 V 柱体 Sh S 为柱体的底面积，h 为柱体的高锥体 V锥体 Sh13S 为锥体的底面积，h 为锥体的高台体 V台体 (S S)h13 S S S，S 分别为台体的上、下底面面积，h 为台体的高1锥体的体积等于底面面积与高之积 ()
3、2台体的体积可转化为两个锥 体的体积之差 ()3斜三棱柱的侧面积也可以用 cl 来求解，其中 l 为侧棱长 ，c 为底面周长()类型一 柱体、锥体、台体的侧面积例 1 现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为 9 和 15，高是 5，求该直四棱柱的侧面积考点 柱体、锥体、台体的表面积题点 柱体的表面积解 如图，设底面对角线 ACa，BDb，交点 为 O，对角线 A1C15，B 1D9，a 25 215 2，b25 29 2，a 2200，b 256.该直四棱柱的底面是菱形，AB 2 2 2 64，(AC2) (BD2) a2 b24 200 564AB8.直四棱柱的侧面积 S485160
4、.反思与感悟 空间几何体的表面 积的求法技巧：(1)多面体的表面积是各个面的面积之和(2)组合体的表面积应注意重合部分的处理(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和跟 踪 训 练 1 (1)如 图 是 由 圆 柱 与 圆 锥 组 合 而 成 的 几 何 体 的 三 视 图 ， 则 该 几 何 体 的 表 面 积 为( )A20 B24 C28 D32考点 组合几何体的表面积与体积题点 柱、锥、台组合的几何体的表面积答案 C解析 由三视图可知，组合体的底面 圆的面积和周长均为 4，圆锥的母线长l 4，所以圆锥的侧面积为 S
5、 锥侧 448，圆柱的侧面积 S 柱侧232 22124 416 ，所以组合体的表面积 S8 16428，故 选 C.(2)圆台的上、下底面半径分别是 10 cm 和 20 cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是 180，求圆台的表面积考点 柱体、锥体、台体的表面积题点 台体的表面积解 如图所示，设圆台的上底面周长为 c cm，由于扇环的圆心角是 180，则 cSA210，解得 SA20 cm.同理可得 SB40 cm.所以 ABSB SA20 cm.所以 S 表 S 侧 S 上 S 下 (10 20)2010 220 21 100(cm 2)类型二 柱体、锥体、台体的体积例 2 (1)一空间几
6、何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A2 2 B4 23 3C2 D4233 233考点 组合几何体的表面积与体积题点 柱、锥、台组合的几何体的表面积与体积答案 C解析 该空间几何体由一圆柱和一正四棱锥组成， 圆柱的底面半径 为 1，高 为 2，体积为 2，四棱锥的底面边长为 ，高为 ，所以体积为 ( )2 ，所以该几何体的体积为2 313 2 3 2332 .233(2)一 个 直 棱 柱 被 一 个 平 面 截 去 一 部 分 后 所 剩 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 则 该 几 何 体 的 体积 为 ( )A9 B10 C11 D.232考点 组合几何体的表面
7、积与体积题点 柱、锥、台切割的几何体的表面积与体积答案 C解析 由三视图可知该几何体是在底面为边长是 2 的正方形、高是 3 的直四棱柱的基础上，截去一个底面积为 211，高 为 3 的三棱锥形成的， V 三棱锥 131，所以12 13V43111.反思与感悟 (1)求简单几何体的体积若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解(2)求以三视图为背景的几何体的体积应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解跟踪训练 2 已知某圆台的上、下底面面积分别是 ，4，侧面积是 6，则这个圆台的体积是_考点 柱体、锥体、台体的体积题点 台体的体积答案 733解析 设圆台的上、下底面半径分
8、 别为 r 和 R，母 线长为 l，高为 h，则 S 上 r 2，S 下 R24.r1， R2，S 侧 (rR) l6.l2，h ，3V (122 212) .13 3 733类型三 几何体体积的求法命 题 角 度 1 等 体 积 变 换 法例 3 如图，已知 ABCDA 1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体，E 为 AA1 的中点，F 为 CC1 上一点，求三棱锥 A1D 1EF 的体积考点 柱体、锥体、台体的体积题点 锥体的体积解 由 ，11ADEFADEV三三锥 锥 EA1A1D1 a2，1S12 14又三棱锥 FA 1D1E 的高为 CDa， a a2 a3，1V三三锥13 14 1
9、12 a3.1ADEFV三三锥112引申探究例 3 中条件改为点 F 为 CC1 的中点，其他条件不 变，如图，求四棱锥 A1EBFD 1 的体积解 因为 EBBF FD 1D 1E a，D1FEB ，a2 (a2)2 52所以四边形 EBFD1 是菱形连接 EF，则 EFBFED 1.因为三棱锥 A1EFB 与三棱锥 A1FED 1 的高相等，所以 .11 122EBFDEFBFEBAVV三三锥 锥 锥又因为 EA1AB a2，1AS12 14所以 a3，1FEBV三三锥112所以 a3.1 1ADFEBA三三锥 锥16反思与感悟 四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的
10、形式即可跟 踪 训 练 3 如 图 ， 在 棱 长 为 a 的 正 方 体 ABCD A1B1C1D1 中 ， 求 点 A 到 平 面 A1BD 的 距 离 d.考点 柱体、锥体、台体的体积题点 锥体的体积解 在三棱锥 A1ABD 中，AA 1平面 ABD，ABADAA 1a，A1BBD A 1D a，2 ，11ABDABDV三三锥 锥 a2a a ad.13 12 13 12 2 32 2d a.点 A 到平面 A1BD 的距离为 a.33 33命 题 角 度 2 割 补 法 求 体 积例 4 如图，在多面体 ABCDEF 中，已知平面 ABCD 是边长为 4 的正方形，EFAB，EF 2，
11、EF 上任意一点到平面 ABCD 的距离均为 3，求该多面体的体积考点 组合几何体的表面积与体积题点 柱、锥、台切割的几何体的表面积与体积解 如图，连接 EB，EC，AC.V 四棱锥 EABCD 42316.13AB2EF， EFAB，S EAB 2S BEF .V 三棱锥 FEBC V 三棱锥 CEFB V 三棱锥 CABE V 三棱锥 EABC12 12 V 四棱锥 EABCD 4.12 12多面体的体积 VV 四棱锥 EABCD V 三棱锥 FEBC 164 20.反思与感悟 割补法是求不规则几何体体积的常用求法，解此类题时，分割与 补形的原则是分割或补形后的几何体是简单几何体，且体 积
12、易求跟踪训练 4 如图，一个底面半径为 2 的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为 2 和 3，则该几何体的体积为( )A5 B6C20 D10考点 组合几何体的表面积与体积题点 柱、锥、台切割的几何体的表面积与体积答案 D解析 用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图， 则圆柱的体积为22520，故所求几何体的体积为 10.1已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是( )A. B. C. D.1 22 1 44 1 2 1 42考点 柱体、锥体、台体的表面积题点 柱体的表面积答案 A解析 设圆柱底面半径、母线长 分别为 r，l，由题意
13、知 l2 r，S 侧 l 24 2r2.S 表 S 侧 2r 24 2r22 r22 r2(21) ， .S表S侧 2r22 142r2 1 222圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是 16 ，则圆锥的体积是( )2A. B. C64 D128 1283 643 2考点 柱体、锥体、台体的体积题点 锥体的体积答案 B解析 设圆锥的底面半径为 r，母 线长为 l，由题意知 2r ，即 l r，l2 l2 2S 侧 rl r216 ，2 2解得 r4.l4 ，圆锥的高 h 4，2 l2 r2圆锥的体积为V Sh 424 .13 13 6433已知某正三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为(
14、 )A9 B9 3 2934C12 D122 3考点 柱体、锥体、台体的表面积题点 锥体的表面积答案 D解析 由侧视图可知三棱锥的高为 2 ，2底面三角形的高为 3，设底面正三角形的 边长为 a，由 a3，解得 a2 .32 3所以侧棱长为 2 ，222 22 3所以正三棱锥是正四面体，所以该三棱锥的表面积为 4 (2 )212 .34 3 34若圆台的高是 12，母线长为 13，两底面半径之比为 83，则该圆台的表面积为_考点 柱体、锥体、台体的表面积题点 台体的表面积答案 216解析 设圆台上底与下底的半径分别为 r，R，由勾股定理可得 Rr 5.132 122rR38，r3， R8.S
15、侧 (Rr) l (38)13143，则表面积为 143 328 2216.5如 图 所 示 ， 正 方 体 ABCD A1B1C1D1 的 棱 长 为 1， E 为 线 段 B1C 上 的 一 点 ， 则 三 棱 锥ADED 1 的体积为_考点 柱体、锥体、台体的体积题点 锥体的体积答案 16解析 111 .11ADEEDAV三三锥 锥13 12 161多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和2有关旋转体的表面积的计算要充分利用其 轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解而对于圆台有时需要将它 还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解3S 圆柱表 2r(rl)；S 圆锥表 r(rl)；
16、S 圆台表 (r 2rlRl R 2)4对柱体、锥体、台体的体积公式的四点说明(1)等底、等高的两个柱体的体积相同(2)等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的 3 倍(3)柱体、锥体、台体的体 积公式之间的关系(4)求台体的体积转化为求锥体的体积根据台体的定义进行“补形” ，还原为锥体，采用“大锥体”减去“小锥体”的方法求台体的体积一、选择题1正方体的的表面积为 96，则正方体的体积为( )A48 B 64 C16 D966考点 柱体、锥体、台体的体积题点 柱体的体积答案 B解析 设正方体的棱长为 a，则 6a296，a4，故 Va 34
17、364.2如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是 4，那么圆柱的体积等于( )A2 B3 C4 D8考点 柱体、锥体、台体的体积题点 柱体的体积答案 A解析 设圆柱母线长为 l，底面半径为 r，由题意得Error!解得Error!V 圆柱 r 2l2.3一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是 32，则母线长为( )A2 B2 C4 D82考点 柱体、锥体、台体的表面积题点 台体的表面积答案 C解析 圆台的轴截面如图所示，设母线长为 l，由题意知，l (rR)，12S 圆台侧 (rR)l2ll32，l4.4如图是一个几何体的三视图，其中正视图是腰长为 2 的等腰三角形，俯视图是半径为
18、 1的半圆，则该几何体的体积是( )A. B. C. D. 433 36 12 33考点 组合几何体的表面积与体积题点 柱、锥、台切割的几何体的表面积与体积答案 B解析 由三视图，可知给定的几何体是一个 圆锥的一半，故所求的体积为 12 .12 13 3 365如图，ABCAB C 是体积为 1 的三棱柱，则四棱锥 CAABB 的体积是( )A. B.13 12C. D.23 34考点 柱体、锥体、台体的体积题点 锥体的体积答案 C解析 V 三棱锥 CABC V 三棱柱 ABCABC ，13 13V CAA BB 1 .13 236如图是一个几何体的三视图，若该几何体的表面积为 9，则该几何体
19、的正视图中实数a 的值为( )A1 B2 C3 D4考点 组合几何体的表面积与体积题点 柱、锥、台组合的几何体的表面积与体积答案 C解析 设几何体是一个圆柱上面叠加一个 圆锥，其表面积为 S21a1 1 22a39， 32 12a3.7一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A372 B360 C292 D280考点 组合几何体的表面积与体积题点 柱、锥、台组合的几何体的表面积与体积答案 B解析 由三视图可知该几何体是由下面一个长方体，上面一个长方体组合而成的几何体下面长方体的表面积为 81022821022232，上面长方体的表面积为862282262152，又长方体表面积重叠
20、一部分，几何体的表面积为 232152262360.8将若干毫升水倒入底面半径为 2 cm 的圆柱形器皿中，量得水面高度为 6 cm，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面高度为( )A6 cm B6 cm3C2 cm D3 cm318 312考点 柱体、锥体、台体的体积题点 锥体的体积答案 B解析 设圆锥中水的底面半径为 r cm，由题意知r2 r2 26，13 3得 r2 ，3水面的高度是 2 6(cm)3 3二、填空题9棱长都是 3 的三棱锥的表面积 S 为_考点 柱体、锥体、台体的表面积题点 锥体的表面积答案 9 3解析 因为三棱锥的四个面是全等的正三角形，所以 S4
21、329 .34 310若圆锥的侧面展开图为一个半径为 2 的半圆，则圆锥的体积是_考点 柱体、锥体、台体的体积题点 锥体的体积答案 33解析 圆锥的母线长 l2，设圆锥的底面半径为 r，则 2r 22，12r1，圆锥的高 h ，l2 r2 3则圆锥的体积 V r2h .13 3311现有橡皮泥制作的底面半径为 5，高为 4 的圆锥和底面半径为 2，高为 8 的圆柱各一个若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为_考点 柱体、锥体、台体的表面积与体积题点 其他求体积、表面积问题答案 7解析 设新的底面半径为 r，则有 r24r 28 5242
22、28，解得 r .13 13 712如图所示，在棱长为 4 的正方体上底面中心位置打一个直径为 2、深为 4 的圆柱形孔，则打孔后的几何体的表面积为_考点 组合几何体的表面积与体积题点 柱、锥、台切割的几何体的表面积与体积答案 966解析 由题意知，所打圆柱形孔穿透正方体，因此打孔后所得几何体的表面积等于正方体的表面积，再加上一个圆柱的侧 面积，同 时减去两个圆的面积 ，即S64 2422 1296 6.三、解答题13已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为 8、高为 4 的等腰三角形，侧视图是一个底边长为 6、高为 4 的等腰三角形(1)求该几何体的体积 V；(2)求该几何
23、体的侧面积 S.考点 柱体、锥体、台体的体积题点 锥体的体积解 由已知可得该几何体是一个底面为矩形、高 为 4、顶点在底面的投影是矩形中心的四棱锥 VABCD.(1)V (86)464.13(2)该四棱锥的两个侧面 VAD，VBC 是全等的等腰三角形，且 BC 边上的高为 h1 4 ，42 (82)2 2另两个侧面 VAB，VCD 也是全等的等腰三角形，AB 边上的高为 h2 5.42 (62)2因此侧面积 S2 4024 .(12642 1285) 2四、探究与拓展14在长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，截下一个三棱锥 CA 1DD1，求三棱锥 CA 1DD1 的体积与剩余部分的体积之
24、比考点 组合几何体的表面积与体积题点 柱、锥、台切割的几何体的表面积与体积解 设矩形 ADD1A1 的面积为 S，ABh，所以 Sh.1BCDV三长 三 11ADBCV三长 三而三棱锥 CA 1DD1 的底面积为 S，高为 h，12故三棱锥 CA 1DD1 的体积为 Sh Sh，1DV三锥三13 12 16余下部分体积为 Sh Sh Sh.16 56所以三棱锥 CA 1DD1 的体积 与剩余部分的体积之比为 15.15如图，一个圆锥的底面半径为 1，高为 3，在圆锥中有一个半径为 x 的内接圆柱(1)试用 x 表示圆柱的高；(2)当 x 为何值时，圆柱的侧面积最大，最大侧面积是多少？考点 柱体、锥体、台体的表面积与体积题点 其他求体积、表面积问题解 (1)设所求的圆柱的底面半径为 x，它的轴截面如图，BO1，PO 3 ，圆柱的高为 h，由图，得 ，即 h33x.x1 3 h3(2)S 圆柱侧 2hx 2(33x)x6(x x 2)，当 x 时，圆柱的 侧面积取得最大值 .12 32当圆柱的底面半径为 时，它的 侧面积取得最大值 .12 32
