1、12.3.2 平面与平面垂直的判定课后篇巩固探究1.下列说法: 两个相交平面所组成的图形叫做二面角; 二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个平面内作射线所成的角; 二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置有关系.其中正确的个数是( )A.0 B.1 C.2 D.3答案 A2.如图所示,在三棱锥 P-ABC 中,PA平面 ABC,BAC= 90,则二面角 B-PA-C 的大小为( )A.90 B.60 C.45 D.30解析 PA平面 ABC,BA,CA平面 ABC, BAPA,CA PA,因此BAC 即为二面角 B-PA-C 的平面角.又BAC=90,故选 A.答案 A3.在正四面体 PA
2、BC 中,D,E ,F 分别是 AB,BC,CA 的中点,则下面四个结论中不成立的是( )A.BC平面 PDF B.DF平面 PAEC.平面 PDF 平面 ABC D.平面 PAE平面 ABC解析 可画出对应图形(图略),则 BCDF,又 DF平面 PDF,BC平面 PDF, BC平面 PDF,故 A 成立;由 AEBC,BCDF ,知 DFAE ,DFPE, DF平面 PAE,故 B 成立;又 DF平面 ABC, 平面 ABC平面 PAE,故 D 成立.答案 C4.已知 PA矩形 ABCD 所在的平面(如图),图中互相垂直的平面有( )2A.1 对 B.2 对 C.3 对 D.5 对解析 D
3、AAB ,DAPA,AB PA=A, DA平面 PAB,同样 BC平面 PAB,又易知 AB平面 PAD, DC平面 PAD. 平面 PAD平面 ABCD,平面 PAD平面 PAB,平面 PBC平面 PAB,平面 PAB平面 ABCD,平面 PDC平面 PAD,共 5 对.答案 D5.若以等腰直角三角形斜边上的高为棱,把它折成直二面角,则折后两条直角边的夹角为( )A.30 B.45 C.60 D.90解析 如图 ,ADDC,ADDB, CDB=90,设 AB=AC=a,则 CD=BD= a, CB=a,22 图 中ABC 是正三角形. CAB= 60.答案 C6.如图,已知 AB平面 BCD
4、,BCCD,则图中互相垂直的平面共有 对. 解析 AB平面 BCD, 平面 ABC平面 BCD,平面 ABD平面 BCD. BCCD, DC平面 ABC. 平面 ADC平面 ABC. 共有 3 对互相垂直的平面.答案 37.3如图,二面角 -l- 的大小是 60,线段 AB,Bl ,AB 与 l 所成的角为 30,则 AB 与平面 所成的角的正弦值是 . 解析 如图作 AO 于点 O,ACl 于点 C,连接 OB,OC,则 OCl.设 AB 与 所成的角为 ,则ABO= ,由图得 sin = =sin 30sin 60= .= 34答案348.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA 底面 AB
5、CD,且底面各边都相等 ,M 是 PC 上的一动点,当点 M 满足 时,平面 MBD平面 PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可) 解析 连接 AC,则 ACBD. PA底面 ABCD,BD平面 ABCD, PABD. PAAC=A, BD平面 PAC, BDPC. 当 DMPC(或 BMPC)时,即有 PC平面 MBD,而 PC平面 PCD, 平面 MBD平面 PCD.答案 DMPC( 或: BMPC,答案不唯一)9.如图,ABC 是等腰直角三角形,BAC= 90,AB=AC=1,将ABC 沿斜边 BC 上的高 AD 折叠,使平面 ABD平面 ACD,则折叠后 BC= . 解析 因为
6、ADBC,所以 AD BD,ADCD,4所以BDC 是二面角 B-AD-C 的平面角.因为平面 ABD平面 ACD,所以BDC=90.在BCD 中,BDC=90,BD=CD= ,22所以 BC= =1.(22)2+(22)2答案 110.在四面体 ABCD 中,AB=BC=CD=AD,BAD=BCD=90,二面角 A-BD-C 为直二面角,E 是 CD的中点,则AED 的大小为 . 解析 取 BD 中点 O,连接 AO,CO,由 AB=BC=CD=AD, AOBD ,COBD, AOC 为二面角 A-BD-C 的平面角. AOC=90.又BAD= BCD= 90, BAD 与BCD 均为直角三
7、角形. OC=OD, AODAOC, AD=AC, ACD 为等边三角形. E 为 CD 中点, AECD, AED= 90.答案 9011.如图,菱形 ABCD 的边长为 6,BAD=60,对角线 AC,BD 相交于点 O,将菱形 ABCD 沿对角线 AC折起,得到三棱锥 B-ACD,点 M 是棱 BC 的中点,DM= 3 .2求证:(1)OM平面 ABD;(2)平面 ABC 平面 MDO.证明 (1)由题意知,O 为 AC 的中点, M 为 BC 的中点, OMAB.又 OM平面 ABD,BC平面 ABD, OM平面 ABD.(2)由题意知,OM=OD=3,DM=3 ,2 OM2+OD2=
8、DM2, DOM=90,即 ODOM. 四边形 ABCD 是菱形, ODAC.5又 OMAC=O,OM,AC平面 ABC, OD平面 ABC. OD平面 MDO, 平面 ABC平面 MDO.12.导学号 57084047 如图所示,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形,BCD=60,E 是 CD 的中点 ,PA底面 ABCD,PA= .3(1)求证:平面 PBE平面 PAB;(2)求二面角 A-BE-P 的大小.(1)证明 如图所示,连接 BD,由 ABCD 是菱形且BCD=60知,BCD 是等边三角形.因为 E 是 CD 的中点,所以 BECD.又 ABCD,所以 BEAB.又因为 PA平面 ABCD,BE平面 ABCD,所以 PABE.而 PAAB=A,因此 BE平面 PAB.又 BE平面 PBE,所以平面 PBE平面 PAB.(2)解 由(1)知,BE平面 PAB,PB平面 PAB,所以 PBBE.又 ABBE,所以PBA 是二面角 A-BE-P 的平面角.在 RtPAB 中,tanPBA= ,PBA=60,=3故二面角 A-BE-P 的大小是 60.
