1、一、考点突破1. 理解集合的概念及其性质；会用集合的表示方法表示集合。2. 了解全集与空集的含义，理解两个集合的并集与交集、已知集合的补集的含义及其运算。能使用 Venn 图表达集合的关系及运算。3. 了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。4. 会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数，了解简单的分段函数及应用。5. 理解函数的单调性、奇偶性、最大（小）值及其几何意义；学会运用函数图象理解和研究函数的性质。6. 理解基本初等函数的概念和意义，能借助函数的图象探索并理解函数的性质。 学 7. 会研究简单复合函数与基本初等函数的单调性和最值的
2、求法。8. 掌握函数的零点的概念以及求零点的技巧。9. 了解函数模型的广泛应用。高考要求：主要考查 集合的概念与运算；函数的概念和基本初等函数。常见题型 选择题、填空题、解答题。数学思想 函数与方程的思想、数形结合的思想、分类讨论思想。二、重难点提示：重点：1. 集合的运算。2. 函数的概念和性质。难点：1. 基本初等函数性质的应用。2. 函数与方程的应用。集合及其应用【考点精讲】一、正确理解集合的概念集合的概念：一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集） 。构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）。集合通常用英语大写字母 A，B，C
3、，来表示，它们的元素通常用英语小写字母a，b，c，来表示。如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于 A，记作 ，读作“a 属于A”。如果 a 不是集合 A 的元素，就说 a 不属于 A，记作 ，读作“a 不属于 A”。二、集合内元素的三个基本特征确定性：对任意对象都能确定它是不是某一集合的元素，就是说：对于某一个元素，要么它属于这个集合，要么它不属于这个集合，不会出现可能属于也可能不属于这种情况。例如：对于集合x1，2 就属于这个集合，而 0 就不属于这个集合。再如：非常大的数就不是集合，因为 1000000 到底属于不属于这个集合，这很难说。互异性：集合中的任何两个元素都不相同，即在同一
4、集合里不能出现相同的元素。例如：把两个集合1，2，3， 4，3，4，5，6，7 的元素合并在一起构成一个新集合，那么这个新集合只能写成1， 2，3，4，5，6，7 。无序性：在同一集合里，通常不考虑元素之间的顺序。例如：集合a，b，c，d与b，d，c，a表示相同集合。三、注意空集的特殊性空集是不含任何元素的集合，记作。空集是任意一个集合的子集，即 A（A 是任意一个集合），空集是任意一个非空集合的真子集，即 A（A 是任意一个非空集合）。在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性。例如：Ax Rx 21 ，因为这个方程没有实数根，所以集合 A 中没有元素，是一个空集。再如，A
5、B，则需考虑 A 和 A 两种可能的情况。四、集合的运算1. 并集的概念（1）自然语言表示：由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，称为集合 A 与 B 的并集。（2）符号语言表示：ABx|xA，或 xB。（3）图形语言（Venn 图）表示：2. 交集的概念（1）自然语言表示：由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素所组成的集合，称为集合 A 与 B 的交集。（2）符号语言表示：ABx|xA，且 xB。（3）图形语言表示（Venn 图）：3. 补集的概念（1）自然语言表示：对于集合 A，由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素所组成的集合，称为集合 A 相对于全集 U 的补集
6、，简称为集合 A 的补集。（2）符号语言表示： Ax|x U，且 x A。（3）图形语言表示（Venn 图）： ，阴影部分表示 A。【典例精析】例题 1 已知 Aa2， （a 1） 2，a 23a3 ，且 1A，求实数 2013a的值；思路导航：加强对集合中元素特征的理解，互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意。答案：（1）当 a21，即 a1 时，（a1） 20，a 23a 31 与 a2 相同，不符合题意。（2）当（a1） 21，即 a0 或 a2 时，a0 时符合要求。a2 时，a 23a 31 与（a 1） 2 相同，不符合题意。（3）当 a23a31，即 a 2 或 a1 时，a2
7、 时，a 23a 3（a 1） 21，不符合题意。a1 时，a 23a 3a 21，不符合题意。综上所述，a0。2013a 1。例题 2 x，x 2x ，x 33x 能表示一个有三个元素的集合吗？如果能表示一个集合，说明理由；如果不能表示，则需要添加什么条件才能使它表示一个有三个元素的集合。思路导航：分类讨论的思想方法常用于解决集合问题。答案：因为当 x0 时，xx 2xx 33x0。所以它不一定能表示一个有三个元素的集合。 学, , ,X,X, 要使它表示一个有三个元素的集合，则应有Error!x 0 且 x2 且 x1 且 x2 时，x ，x 2x，x 3 3x能表示一个有三个元素的集合。
8、 学 例题 3 已知集合 Ax|00，则 A 。x| 1a0 时，若 AB，如图，则Error! ，Error!。又 a0， a2。综上可知，当 AB 时，a0 时，若 BA，如图，则Error! ，Error!。又 a0， 0a2。综上可知，当 B A 时， a2。12（3）当且仅当 A、B 两个集合互相包含时，AB。由（1） 、 （2）知，a2。【总结提升】1. 正确区分 ，0 ， 是不含任何元素的集合，即空集。0是含有一个元素 0 的集合，它不是空集，因为它有一个元素，这个元素是 0。 是含有一个元素 的集合。 0， ， ，0 。2. 分类讨论的思想（1）集合 Ax|2x5，Bx|m 1
9、x2m 1。若 B A，求实数 m 的取值范围？ ，即 m12m1 ，需要满足52（2）集合 Ax|xa|1，x R，B x|1x5，xR。若 AB ，则实数 a 的取值范围是_。可以分两种情况来讨论，一种是集合 A 在集合 B 的左边，一种是集合 A 在集合 B 的右边。3. 数形结合思想某班举行数理化竞赛，每人至少参加一 ，已知参加数学竞赛的有 27 人，参加物理竞赛的有 25 人，参加化学竞赛的有 27 人，其中参加数学、物理两 的有 10 人，参加物理、化学两 的有 7 人，参加数学、化学两 的有 11 人，而参加数、理、化三 的有 4 人，画出集合关系图，并求出全班人数。全班人数为 55 人。
