1、课时规范练A 组 基础对点练1直线 y x3 与双曲线 1(a0，b0)的交点个数是 ( )ba x2a2 y2b2A1 B2C1 或 2 D0解析：因为直线 y x3 与双曲线的渐近线 y x 平行，所以它与双曲线只有 1 个交点ba ba答案：A2(2018西安模拟)抛物线 y24x 的焦点为 F，准线为 l，经过 F 且斜率为 的直线与抛物3线在 x 轴上方的部分相交于点 A，AKl，垂足为 K，则AKF 的面积是( )A4 B3 3C4 D83解析：y 24x，F(1,0)，l：x1，过焦点 F 且斜率为 的直线 l1：y (x1)，与3 3y24x 联立，解得 x3 或 x (舍)
2、，故 A(3,2 )，AK 4，13 3SAKF 42 4 .故选 C.12 3 3答案：C3已知直线 l：y 2x3 被椭圆 C： 1(ab0)截得的弦长为 7，则下列直线中被x2a2 y2b2椭圆 C 截得的弦长一定为 7 的有 ( )y2x3；y 2x1；y2x3；y2x3.A1 条 B2 条C3 条 D4 条解析：直线 y2x 3 与直线 l 关于原点对称，直线 y2x3 与直线 l 关于 x 轴对称，直线 y2x3 与直线 l 关于 y 轴对称，故有 3 条直线被椭圆 C 截得的弦长一定为 7.答案：C4(2018郴州模拟)过点 P( ，0)作直线 l 与圆 O：x 2 y21 交于
3、 A、B 两点，O 为坐标3原点，设AOB，且 ，当AOB 的面积为 时，直线 l 的斜率为( )(0，2) 34A. B33 33C. D3 3解析：AOB 的面积为 ，34 11sin ，12 34sin .32 ， ，(0，2) 3圆心到直线 l 的距离为 .32设直线 l 的方程为 yk(x )，3即 kxy k0，3 ，32 | 3k|1 k2k .33答案：B5已知过定点(1,0)的直线与抛物线 x2y 相交于不同的 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)两点，则(x11)(x 21)_.解析：设过定点(1,0)的直线的方程为 yk(x1)，代入抛物线方程 x2y 得 x2kxk
4、0，故 x1x 2k， x1x2k ，因此 (x11)(x 21)x 1x2(x 1x 2)11.答案：16已知双曲线 1(a0，b0)的焦距为 2c，右顶点为 A，抛物线 x22py (p0)的焦点x2a2 y2b2为 F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为 2c，且| FA| c，则双曲线的渐近线方程为_解析：抛物线 x22py 的准线方程为 y ，与双曲线的方程联立得 x2a 2(1 )，根据p2 p24b2已知得 a2(1 )c 2 .由|AF|c ，得 a 2c 2 .由可得 a2b 2，即 ab，所以所p24b2 p24求双曲线的渐近线方程是 yx .答案：yx7过双曲线 x2 1
5、 的右焦点作直线 l 交双曲线于 A、B 两点，若使得|AB| 的直线 ly22恰有 3 条，则 _.解析：使得|AB| 的直线 l 恰有 3 条根据对称性，其中有一条直线与实轴垂直此时 A，B 的横坐标为 ，代入双曲线方程，可得 y2 ，故|AB|4.3双曲线的两个顶点之间的距离是 2，小于 4，过双曲线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于 4，综上可知|AB|4 时，有三条直线满足题意4.答案：48设椭圆 E 的方程为 1(ab0) ，点 O 为坐标原点，点 A 的坐标为(a,0)，点 B 的x2a2 y2b2坐标为(0，b) ，点 M 在线段 AB 上，满足|BM |2|MA| ，
6、直线 OM 的斜率为 .510(1)求 E 的离心率 e；(2)设点 C 的坐标为(0 ，b)， N 为线段 AC 的中点，点 N 关于直线 AB 的对称点的纵坐标为 ，求 E 的方程72解析：(1)由题设条件知，点 M 的坐标为 ，又 kO M ，从而 ，(23a，13b) 510 b2a 510进而得 a b，c 2b，故 e .5 a2 b2ca 255(2)由题设条件和(1) 的计算结果可得，直线 AB 的方程为 1，点 N 的坐标为x5b yb.(52b， 12b)设点 N 关于直线 AB 的对称点 S 的坐标为 ，则线段 NS 的中点 T 的坐标为(x1，72).又点 T 在直线
7、AB 上，且 kNSkAB1，(54b x12， 14b 74)从而有Error!解得 b3.所以 a3 ，故椭圆 E 的方程为 1.5x245 y299.已知中心在坐标原点，焦点在 x 轴上的椭圆过点 P(2， )，且它的3离心率 e .12(1)求椭圆的标准方程；(2)与圆(x1) 2y 21 相切的直线 l：ykxt 交椭圆于 M，N 两点，若椭圆上一点 C 满足 ，求实数 的取值范围OM ON OC 解析：(1)设椭圆的标准方程为 1( ab0)，x2a2 y2b2由已知得：Error!解得Error!所以椭圆的标准方程为 1.x28 y26(2)因为直线 l：y kxt 与圆(x1)
8、 2y 21 相切，所以 12k (t0)，|t k|1 k2 1 t2t把 ykxt 代入 1 并整理得：x28 y26(34k 2)x28ktx(4t 224) 0，设 M(x1，y 1)， N(x2，y 2)，则有 x1x 2 ，8kt3 4k2y1y 2kx 1tkx 2tk (x1x 2)2t ，6t3 4k2因为 (x 1x 2，y 1y 2)，OC 所以 C ，( 8kt3 4k2， 6t3 4k2)又因为点 C 在椭圆上，所以， 18k2t23 4k222 6t23 4k222 2 ，2t23 4k2 2(1t2)2 1t2 1因为 t20，所以 2 11，(1t2) 1t2所
9、以 00 ，b0，b0)的实轴长为 4 ，虚轴的一个端点与抛物线x2a2 y2b2 2x22py(p0)的焦点重合，直线 ykx1 与抛物线相切且与双曲线的一条渐近线平行，则p( )A4 B3C2 D1解析：由抛物线 x22py (p0)可知其焦点为 ，所以 b ，又 a2 ，因此双曲线的方(0，p2) p2 2程为 1，渐近线方程为 y x.直线 ykx1 与双曲线的一条渐近线平行，不x28 4y2p2 p42妨设 k ，由 Error!可得 x22p x2p，得 x2 x2p0，则 p42 ( p42x 1) p222 p22228p 0，解得 p4. 故选 A.( p222)答案：A3设
10、直线 l 与抛物线 y24x 相交于 A，B 两点，与圆(x5) 2y 2r 2(r0)相切于点 M，且M 为线段 AB 的中点若这样的直线 l 恰有 4 条，则 r 的取值范围是( )A(1,3) B(1,4)C(2,3) D(2,4)解析：当直线 l 的斜率不存在时，这样的直线 l 恰有 2 条，即 x5r，所以 02，又 y 2，所以 20，b .14设 M(x1，y 1)， N(x2，y 2)，则 x1x 21， b b，y1 y22 x1 x22 12由 在直线 yx3 上，( 12，12 b)即 b 3，解得 b2，12 12联立得Error!解得Error!Error!答案：(2
11、,4) ，(1,1)6过抛物线 y24x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A，B 两点若|AF|3，则|BF|_.解析：抛物线 y24x 的准线为 x1，焦点为 F(1,0)，设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)由抛物线的定义可知|AF|x 113，所以 x12，所以 y12 ，由抛物线关于 x 轴对称，假设2A(2,2 )，由 A，F，B 三点共线可知直线 AB 的方程为 y02 (x1)，代入抛物线方程2 2消去 y 得 2x25x 20，求得 x2 或 ，所以 x2 ，故| BF| .12 12 32答案：327定义：在平面内，点 P 到曲线 上的点的距离的最小值称为点 P 到曲
12、线 的距离在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 M：(x )2y 212 及点 A( ，0)，动点 P 到圆 M 的2 2距离与到点 A 的距离相等，记 P 点的轨迹为曲线 W.(1)求曲线 W 的方程；(2)过原点的直线 l(l 不与坐标轴重合)与曲线 W 交于不同的两点 C，D ，点 E 在曲线 W 上，且 CECD，直线 DE 与 x 轴交于点 F，设直线 DE、CF 的斜率分别为 k1、k 2，求 .k1k2解析：(1)由题意知：点 P 在圆内且不为圆心，易知|PA| |PM| 2 2 | AM|，所以 P 点3 2的轨迹为以 A、M 为焦点的椭圆，设椭圆方程为 1( ab0)，则Er
13、ror!Error!x2a2 y2b2所以 b21，故曲线 W 的方程为 y 21.x23(2)设 C(x1，y 1)(x1y10)，E( x2，y 2)，则 D(x 1，y 1)，则直线 CD 的斜率为 kCD ，又y1x1CECD，所以直线 CE 的斜率是 kCE ，记 k，设直线 CE 的方程为 ykx m，x1y1 x1y1由题意知 k0，m 0，由Error!得(1 3k 2)x26mkx3m 230，x1 x2 ，6mk1 3k2y1 y2k(x 1x 2)2m ，2m1 3k2由题意知 x1x 2，k1 kDE ，y2 y1x2 x1 13k y13x1直线 DE 的方程为 yy
14、 1 (xx 1)，y13x1令 y0，得 x2x 1，即 F(2x1,0)可得 k2 .y1x1 .k1k2 138已知点 A(x1，y 1)，B(x 2， y2)是抛物线 y24x 上相异两点，且满足 x1x 22.(1)若 AB 的中垂线经过点 P(0,2)，求直线 AB 的方程；(2)若 AB 的中垂线交 x 轴于点 M，求AMB 的面积的最大值及此时直线 AB 的方程解析：(1)当 AB 垂直于 x 轴时，显然不符合题意，所以可设直线 AB 的方程为 ykxb，代入方程 y24x，得：k 2x2(2kb 4)xb 20，x1 x2 2，得 b k，4 2kbk2 2k直线 AB 的方
15、程为 yk(x1) ，2kAB 中点的横坐标为 1，AB 中点的坐标为 ，(1，2k)AB 的中垂线方程为 y (x1) x .1k 2k 1k 3kAB 的中垂线经过点 P(0,2)，故 2，得 k ，3k 32直线 AB 的方程为 y x .32 16(2)由(1)可知 AB 的中垂线方程为 y x ，1k 3k点 M 的坐标为(3,0)，直线 AB 的方程为 k2xky2k 20，M 到直线 AB 的距离 d ，|3k2 2 k2|k4 k2 2k2 1|k|由Error!得 y2ky2k 20，k24y1y 2 ，y 1y2 ，4k 8 4k2k2|AB| |y1y 2| .1 1k2 41 k2k2 1k2SMAB4 ，(1 1k2) 1 1k2设 t ，则 0t1，1 1k2S4t(2t 2)4t 38t，S12t 28，由 S0，得 t ，63即 k 时， Smax ，31669此时直线 AB 的方程为 3x y10.3
