1、课时作业A 组基础对点练1一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点 A 测得水柱顶端的仰角为 45，沿点 A 向北偏东 30前进 100 m 到达点B，在 B 点测得水柱顶端的仰角为 30，则水柱的高度是( )A50 m B100 mC120 m D150 m解析：设水柱高度是 h m，水柱底端 为 C，则在 ABC 中，BAC60，ACh，AB100，BC h，根据余弦定理得，( h)2h 2100 22 h100cos 60，3 3即 h250h5 0000，即(h50)(h100) 0，即 h50，故水柱的高度是 50 m.答案：A2
2、.如图，两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在观察站南偏西 40，灯塔 B 在观察站南偏东 60，则灯塔 A 在灯塔 B 的( )A北偏东 10 B北偏西 10C南偏东 80 D南偏西 80解析：由条件及图可知，A CBA40，又BCD60，所以 CBD30，所以DBA10，因此灯塔 A 在灯塔 B 南偏西 80.答案：D3.如图，设 A，B 两点在河的两岸，一测量者在 A 的同侧，在所在的河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离为 50 m，ACB45，CAB105后，就可以计算出 A，B 两点的距离为( )A50 m B50 m2 3C25 m D. m22522解
3、析：由正弦定理得 ，ABsinACB ACsin BAB 50 ，故 A，B 两点的距离 为 50 m.ACsinACBsin B502212 2 2答案：A4(2018昆明市检测)在ABC 中，已知 AB ，AC ，tanBAC3，则 BC 边上2 5的高等于( )A1 B. 2C. D23解析：因为 tanBAC3，所以 sinBAC ，cosBAC .由余弦定理，得310 110BC2AC 2AB 22AC ABcosBAC522 ( )9，所以 BC3，所以 S5 2110ABC ABACsinBAC ，所以 BC 边上的高 h 1，12 12 2 5 310 32 2SABCBC 2
4、323故选 A.答案：A5.(2018西安模拟)游客从某旅游景区的景点 A 处至景点 C 处有两条线路线路 1 是从 A 沿直线步行到 C，线路 2 是先从 A 沿直线步行到景点 B 处，然后从 B 沿直线步行到 C.现有甲、乙两位游客从 A 处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的 倍，甲走线路 2，乙走线路 1，最后他们同时到达119C 处经测量，AB1 040 m，BC 500 m，则 sinBAC 等于_解析：依题意，设乙的速度为 x m/s，则甲的速度为 x m/s，119因为 AB1 040，BC500，所以 ，解得：AC1 260，ACx 1 040 500119x在ABC 中由
5、余弦定理可知 cosBACAB2 AC2 BC22ABAC ，1 0402 1 2602 500221 0401 260 8491 1213所以 sinBAC .1 cos2BAC1 (1213)2 513答案：5136如图所示，在一个坡度一定的山坡 AC 的顶上有一高度为 25 m 的建筑物 CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角 ，在山坡的 A 处测得DAC15，沿山坡前进 50 m 到达 B 处，又测得 DBC45，根据以上数据可得 cos _.解析：由DAC 15，DBC45 可得 BDA30 ，DBA135，BDC90(15 )30 45，由内角和定理可得 DCB180(45) 4
6、590，根据正弦定理可得 ，即 DB100sin 15100sin(45 30) 25 ( 1)，又 50sin 30 DBsin 15 2 3 25sin 45，即 ，得到 cos 1.252 3 1sin90 25sin 45 252 3 1cos 3答案： 137.已知在岛 A 南偏西 38方向，距岛 A 3 海里的 B 处有一艘缉私艇岛 A处的一艘走私船正以 10 海里/时的速度向岛北偏西 22方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用 0.5 小时能截住该走私船？(参 考 数 据 ：sin 38 5314，sin 22 3314)解：如图，设缉私艇在 C 处截住走私船，D 为岛
7、 A 正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时 x 海里，则 BC0.5x， AC5 海里，依题意，BAC18038 22120，由余弦定理可得 BC2AB 2AC 22ABACcos 120，所以 BC249，BC0.5x 7，解得 x14.又由正弦定理得 sinABCACsinBACBC ，5327 5314所以ABC 38，又 BAD38，所以 BCAD，故缉私艇以每小时 14 海里的速度向正北方向行驶，恰好用 0.5 小时截住该走私船8.如图，在ABC 中，ABC90 ，AB ，BC1，P 为ABC3内一点，BPC90.(1)若 PB ，求 PA；12(2)若APB150，求 tanPBA
8、.解析：(1)由已知得PBC60，所以 PBA30.在PBA 中，由余弦定理得 PA23 2 cos 30 .故 PA .14 3 12 74 72(2)设PBA ，由已知得 PBsin .在PBA 中，由正弦定理得， ，3sin 150 sin sin30 化简得 cos 4sin .3所以 tan ，即 tanPBA .34 34B 组能力提升练1一艘海轮从 A 处出发，以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40的方向直线航行，30 分钟后到达 B 处，在 C 处有一座灯塔，海轮在 A 处观察灯塔，其方向是南偏东 70，在 B 处观察灯塔，其方向是北偏东 65，那么 B，C 两点间的距离是(
9、 )A10 海里 B10 海里2 3C20 海里 D20 海里3 2解析：如图所示，易知，在ABC 中， AB20 海里， CAB30 ，ACB45，根据正弦定理得 ，BCsin 30 ABsin 45解得 BC10 (海里)2答案：A2.如图，在山脚 A 测得山顶 P 的仰角为 30 ，沿倾斜角 15的斜坡向上走 a 米到 B，在 B 处测得山顶 P 的仰角 60，则山高h( )A. a 米 B. 米22 a2C. a 米 Da 米32解析：在PAB 中，PAB 15，BPA(90)(90 )30，所以 ，所以 PB a，asin 30 PBsin 15 6 22所以 PQPCCQPBsin
10、 asin asin 60asin 15 a(米) 6 22 22答案：A3如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔 18 km，速度为 1 000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为 30，经过 1 min 后又看到山顶的俯角为 75，则山顶的海拔高度为(精确到 0.1 km，参考数据： 1.732)( )3A8.4 km B6.6 kmC6.5 km D5.6 km解析：因为 AB1 000 km，160 503所以 BC sin 30 (km)ABsin 45 5032所以航线离山顶的高度 h sin 75 sin (4530)11.4 km.所以山高为5032 503
11、21811.46.6(km)答案：B4.如图所示，为了测量某湖泊两侧 A，B 间的距离，李宁同学首先选定了与 A，B 不共线的一点 C，然后给出了三种测量方案：( ABC 的角A，B，C 所对的边分别记为 a，b，c)测量 A，C，b测量 a，b，C测量 A，B ，a则一定能确定 A，B 间距离的所有方案的个数为( )A3 B2C1 D0解析：对于，利用内角和定理先求出 BAC，再利用正弦定理 解出 c，bsin B csin C对于 ，直接利用余弦定理 cos C 即可解出 c，a2 b2 c22ab对于 ，先利用内角和定理求出 C AB，再利用正弦定理 解出 c.asin A csin C
12、答案：A5(2018福州市质检)在距离塔底分别为 80 m,160 m,240 m 的同一水平面上的 A，B，C 处，依次测得塔顶的仰角分别为 ，.若 90，则塔高为_解析：设塔高为 h m依 题意得，tan ，tan ，tan .因为 90 ，所以h80 h160 h240tan()tan tan(90)tan 1，所以 tan sin90 sin cos90 cos cos sin sin cos tan tan 1 tan tan 1 ，所以 1，解得 h80，所以塔高 为 80 m.h80 h1601 h80h160 h240答案：80 m6(2018遂宁模拟)海轮“和谐号 ”从 A
13、处以每小时 21 海里的速度出发，海轮“奋斗号”在 A 处北偏东 45的方向，且与 A 相距 10 海里的 C 处，沿北偏东 105的方向以每小时 9海里的速度行驶，则海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为_小时解析：设海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为 x 小时，如图 ，则由已知得 ABC 中，AC10，AB21x ，BC9x ，ACB120 ，由余弦定理得：(21x) 2100 (9x)22109xcos 120，整理，得 36x2 9x100，解得 x 或 x (舍)23 512所以海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为 小时23答案：237如图，
14、现要在一块半径为 1 m，圆心角为 的扇形白铁片 AOB 上3剪出一个平行四边形 MNPQ，使点 P 在弧 AB 上，点 Q 在 OA 上，点M，N 在 OB 上，设BOP，平行四边形 MNPQ 的面积为 S.(1)求 S 关于 的函数关系式(2)求 S 的最大值及相应的 角解析：(1)分别过 P，Q 作 PDOB 于点 D，QEOB 于点 E，则四边形QEDP 为矩形由扇形半径为 1 m，得 PDsin ， ODcos .在 RtOEQ 中，OE QE PD，33 33MNQPDEODOE cos sin ，33SMNPD sin (cos 33sin )sin cos sin2， .33
15、(0，3)(2)S sin 2 (1cos 2)12 36 sin 2 cos 2 sin ，12 36 36 33 (2 6) 36因为 ，(0，3)所以 2 ，sin .6 (6，56) (2 6) (12，1当 时，S max (m2)6 368(2018宜宾模拟)一艘海轮从 A 出发，沿北偏东 75的方向航行(2 2)n 3mile 到达海岛 B，然后从 B 出发，沿北偏东 15的方向航行 4 n mile 到达海岛 C.(1)求 AC 的长；(2)如果下次航行直接从 A 出发到达 C，求CAB 的大小解析：(1)由题意，在 ABC 中，ABC1807515120，AB2 2，BC 4，3根据余弦定理得AC2AB 2BC 22AB BCcosABC(2 2) 24 2(2 2) 424，3 3所以 AC2 .6(2)根据正弦定理得，sin BAC ，43226 22所以CAB 45.
