1、章末复习学习目标 1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.提高综合运用知识的能力和空间想象能力，在空间实现平行关系、垂直关系、垂直与平行关系之间的转化1四个公理公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行2直线与直线的位置关系Error!3平行的判定与性质(1)直线与平面平行的判定与性质判定定义 定理性质图形条件 a a，b，ab a a，a， b结论 a b a ab(2)
2、面面平行的判定与性质判定定义 定理性质图形条件 a，b，abP，a，a， b，ab结论 ab a(3)空间中的平行关系的内在联系4垂直的判定与性质(1)直线与平面垂直的判定与性质图形 条件 结论ab，b( b 为 内的任意直线) aam，an，m，n，m nO a判定ab，a ba ，b ab性质a ，b ab(2)平面与平面垂直的判定与性质定理文字语言 图形语言 符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直Error!性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面Error!l(3)空间中的垂直关系的内在联系5空间角(1)异
3、面直线所成的角定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间任一点 O 作直线 aa，bb，把 a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a，b 所成的角(或夹角)范围：设两异面直线所成角为 ，则 090.(2)直线和平面所成的角平面的一条斜线与它在平面内的射影所成的锐角叫做这条直线与这个平面所成的角当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内) 时，规定直线和平面所成的角分别为 90和 0.(3)二面角的有关概念二面角：从一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.类
4、型一 空间中的平行关系例 1 如图所示，四边形 ABCD 是平行四边形，PB平面 ABCD，MAPB，PB 2MA.在线段 PB 上是否存在一点 F，使平面 AFC平面 PMD？若存在，请确定点 F 的位置；若不存在，请说明理由考点 空间中的平行问题题点 空间中的共点、共线、共面问题解 当点 F 是 PB 的中点时，平面 AFC平面 PMD，证明如下：如图连接 AC 和 BD 交于点O，连接 FO，则 PF PB.12四边形 ABCD 是平行四边形，O 是 BD 的中点，OFPD.又 OF平面 PMD，PD平面 PMD，OF平面 PMD.又 MAPB 且 MA PB，12PFMA 且 PFMA
5、，四边形 AFPM 是平行四边形，AFPM.又 AF平面 PMD，PM平面 PMD，AF平面 PMD.又 AFOF F，AF平面 AFC，OF平面 AFC，平面 AFC平面 PMD.反思与感悟 (1)判断线面平行的两种常用方法面面平行判定的落脚点是线面平行，因此掌握 线面平行的判定方法是必要的，判定线面平行的两种方法：利用线面平行的判定定理利用面面平行的性质，即当两平面平行 时，其中一平面内的任一直线平行于另一平面(2)判断面面平行的常用方法利用面面平行的判定定理面面平行的传递性(， )利用线面垂直的性质(l， l ) 跟踪训练 1 如图所示，四棱锥 PABCD 的底面是边长为 8 的正方形，
6、四条侧棱长均为 2.点 G，E，F，H 分别是棱 PB，AB，CD，PC 上共面的四点，平面 GEFH平面17ABCD，BC平面 GEFH.(1)证明：GHEF；(2)若 EB2，求四边形 GEFH 的面积考点 线、面平行、垂直的综合应用题点 平行与垂直的计算与探索性问题(1)证明 因为 BC平面 GEFH，BC平面 PBC，且平面 PBC平面 GEFHGH ，所以 GHBC .同理可证 EFBC，因此 GHEF.(2)解 连接 AC，BD 交于点 O，BD 交 EF 于点 K，连接 OP，GK.因为 PAPC，O 是 AC 的中点，所以 POAC，同理可得 POBD.又 BDACO，且 AC
7、，BD平面 ABCD，所以 PO平面 ABCD.又因为平面 GEFH平面 ABCD，且 PO平面 GEFH，所以 PO平面 GEFH.又因为平面 PBD平面 GEFHGK，PO平面 PBD，所以 POGK，所以 GK平面 ABCD.又 EF平面 ABCD，所以 GKEF，所以 GK 是梯形 GEFH 的高由 AB8，EB 2 得 EBABKBDB 14，从而 KB BD OB，即 K 是 OB 的中点14 12再由 POGK 得 GK PO，12所以 G 是 PB 的中点，且 GH BC4.12由已知可得 OB4 ，PO 6，2 PB2 OB2 68 32所以 GK3，故四边形 GEFH 的面
8、积 S GK 318.GH EF2 4 82类型二 空间中的垂直关系例 2 如图，在四棱锥 PABCD 中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面 PAD底面ABCD，PAAD，E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点，求证：(1)PA底面 ABCD；(2)BE平面 PAD；(3)平面 BEF平面 PCD.考点 空间中的垂直问题题点 空间中的垂直问题证明 (1)因为平面 PAD底面 ABCD，平面 PAD底面 ABCDAD ，PA平面PAD，PAAD，所以 PA底面 ABCD.(2)因为 ABCD，CD 2AB ，E 为 CD 的中点，所以 ABDE ，且 ABDE.所以四边形 ABED 为平
9、行四边形，所以 BEAD.又因为 BE平面 PAD，AD平面 PAD，所以 BE平面 PAD.(3)因为 ABAD，而且四边形 ABED 为平行四边形，所以 BECD，ADCD.由(1)知 PA底面 ABCD，所以 APCD.又因为 APADA，AP，AD平面 PAD，所以 CD平面 PAD，所以 CDPD .因为 E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点，所以 PDEF，所以 CDEF.又因为 CDBE，EF BEE， EF，BE平面 BEF，所以 CD平面 BEF.又 CD平面 PCD，所以平面 BEF平面 PCD.反思与感悟 (1)判定线面垂直的方法线面垂直定义(一般不易验证 任意性)
10、 线面垂直的判定定理(ab ，ac， b，c ，bcMa)平行线垂直平面的传递性质(ab，ba)面面垂直的性质(， l， a，al a)面面平行的性质(a， a) 面面垂直的性质(l，l)(2)判定面面垂直的方法面面垂直的定义面面垂直的判定定理跟踪训练 2 如图所示，在四棱锥 PABCD 中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAAB BC，E 是 PC 的中点证明：(1)CD AE；(2)PD 平面 ABE.考点 空间中的垂直问题题点 空间中的垂直问题证明 (1)在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，CD平面 ABCD，PACD.ACCD， PAACA，PA， AC平
11、面 PAC，CD平面 PAC.而 AE平面 PAC，CDAE.(2)由 PAABBC，ABC60，可得 ACPA.E 是 PC 的中点，AEPC .由(1)知 AECD，且 PCCDC， PC，CD平面 PCD，AE平面 PCD.而 PD平面 PCD，AE PD.PA底面 ABCD，PAAB.又ABAD 且 PAADA，PA， AD平面 PAD，AB平面 PAD，而 PD平面 PAD，ABPD .又ABAEA ，AB，AE平面 ABE，PD平面 ABE.类型三 空间角的求解例 3 如图所示，四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是平行四边形，BABD ，AD 2，PAPD ，E，F 分别是棱
12、AD，PC 的中点2 5(1)证明：EF平面 PAB；(2)若二面角 PADB 为 60.证明：平面 PBC平面 ABCD；求直线 EF 与平面 PBC 所成角的正弦值考点 空间角题点 空间角的综合运用(1)证明 如图所示，取 PB 的中点 M，连接 MF，AM.因为 F 为 PC 的中点，所以 MFBC ，且 MF BC.12由已知得 BCAD，BCAD，又由于 E 为 AD 的中点，因而 MFAE 且 MFAE ，故四边形 AMFE 为平行四边形，所以 EFAM.又 AM平面 PAB，EF平面 PAB，所以 EF平面 PAB.(2)证明 连接 PE，BE.因为 PAPD ，BABD，而 E
13、 为 AD 的中点，所以 PEAD ，BEAD，所以PEB 为二面角 PADB 的平面角在PAD 中，由 PAPD ，AD2，可解得 PE2.5在ABD 中，由 BABD ，AD2，可解得 BE1.2在PEB 中，PE2，BE1， PEB 60 ，故可得PBE90，即 BEPB.又 BCAD，BE AD，从而 BEBC，又 BCPB B，BC，PB平面 PBC，因此 BE平面 PBC.又 BE平面 ABCD，所以平面 PBC平面 ABCD.解 连接 BF，由知，BE 平面 PBC，所以EFB 为直线 EF 与平面 PBC 所成的角由PB 及已知，得ABP 为直角，而 MB PB ，可得 AM
14、，又由(1)可知 EFAM ，312 32 112故 EF .又 BE1，112故在 RtEBF 中，sinEFB .所以直线 EF 与平面 PBC 所成角的正弦值为 .BEEF 21111 21111反思与感悟 (1)求异面直线所成的角常用平移转化法( 转化为相交直线的夹角)(2)求直线与平面所成的角常用射影转化法( 即作垂线、找射影) (3)二面角的平面角的作法常有三种：定义法；垂线法； 垂面法跟踪训练 3 如图，正方体的棱长为 1，BCBC O，求：(1)AO 与 AC所成角的大小；(2)AO 与平面 ABCD 所成角的正切值；(3)平面 AOB 与平面 AOC 所成角的大小考点 空间角
15、题点 求空间角或其三角函数值解 (1)ACAC，AO 与 AC所成的角就是OAC.AB平面 BC，OC平面 BC，OCAB ，又 OCBO，ABBO B， AB，BO平面 ABO，OC平面 ABO.又 OA平面 ABO，OC OA.在 Rt AOC 中，OC ，AC ，sinOAC ，22 2 OCAC 12OAC30.即 AO 与 AC所成角为 30.(2)如图，作 OEBC 于 E，连接 AE.平面 BC平面 ABCD，平面 BC平面 ABCDBC，OE平面 BC，OE平面 ABCD，OAE 为 OA 与平面 ABCD 所成的角在 Rt OAE 中，OE ，AE ，12 12 (12)2
16、52tanOAE .OEAE 55即 AO 与平面 ABCD 所成角的正切 值为 .55(3)由(1)可知 OC平面 AOB.又OC平面 AOC，平面 AOB平面 AOC.即平面 AOB 与平面 AOC 所成的角为 90.1在空间中，下列命题正确的是( )A若平面 内有无数条直线与直线 l 平行，则 lB若平面 内有无数条直线与平面 平行，则 C若平面 内有无数条直线与直线 l 垂直，则 lD若平面 内有无数条直线与平面 垂直，则 考点 线、面平行、垂直的综合应用题点 平行与垂直的判定答案 D解析 对于 A，若平面 内有无数条直线与直线 l 平行，则 l 可能在平面 内，故错；对于 B，若平面
17、 内有无数条直线与平面 平行，则 与 可能相交，故 错；对于 C，若平面 内有无数条直线与直线 l 垂直， 则 l 与 可能斜交，故 错；对于 D，若平面 内有无数条直线与平面 垂直， 则平面 经过平面 的垂线，则 ，故正确故选 D.2在空间四边形 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 上分别取 E，F，G，H 四点，如果EF，HG 交于一点 P，则( )A点 P 一定在直线 BD 上B点 P 一定在直线 AC 上C点 P 一定在直线 AC 或 BD 上D点 P 既不在直线 AC 上，也不在直线 BD 上考点 平面的基本性质题点 点共线、线共点，点在线上问题答案 B解析 如图，PHG，HG平
18、面 ACD，P平面 ACD.同理，P平面 BAC.平面 BAC平面 ACDAC， PAC.故选 B.3在如图所示的正四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 中，E，F 分别是棱 B1B，AD 的中点，直线BF 与平面 AD1E 的位置关系是( )A平行 B相交但不垂直 C垂直 D异面考点 空间中的平行问题题点 空间中的平行问题答案 A解析 取 AD1 的中点 O，连接 OE，OF，则 OF 平行且等于 BE，四边形 BFOE 是平行四边形，BFOE，BF平面 AD1E，OE平面 AD1E，BF平面 AD1E，故选 A.4空间四边形 ABCD 中，平面 ABD平面 BCD，BAD90，BCD90 ，
19、且ABAD ，则 AC 与平面 BCD 所成的角是_考点 空间角题点 求空间角或其三角函数值答案 45解析 如图所示，取 BD 的中点 O，连接 AO，CO.因为 ABAD ，所以 AOBD ，又平面 ABD平面 BCD，平面 ABD平面 BCDBD，AO平面 ABD，所以 AO平面BCD.因此，ACO 即为 AC 与平面 BCD 所成的角由于BAD90BCD，所以 AOOC BD，12又 AOOC，所以ACO45.5如图，在棱锥 PABC 中，D，E，F 分别为棱 PC，AC，AB 的中点已知PAAC，PA 6，BC8，DF5.求证：(1)直线 PA平面 DEF；(2)平面 BDE平面 AB
20、C.考点 线、面平行、垂直的综合应用题点 平行、垂直综合问题的证明证明 (1)因为 D，E 分别为棱 PC，AC 的中点，所以 DEPA.又因为 PA平面 DEF，DE平面 DEF，所以直线 PA平面 DEF.(2)因为 D，E，F 分别为棱 PC，AC，AB 的中点，PA6， BC8，所以 DEPA， DE PA3， EF BC4.12 12又因为 DF5，故 DF2DE 2EF 2，所以DEF90，即 DEEF.又 PAAC，DEPA，所以 DEAC.因为 ACEF E，AC平面 ABC，EF平面 ABC，所以 DE平面 ABC.又 DE平面 BDE，所以平面 BDE平面 ABC.1平行关
21、系(1)平行问题的转化关系(2)直线与平面平行的主要判定方法定义法；判定定理；面与面平行的性质(3)平面与平面平行的主要判定方法定义法；判定定理；推论；a，a .2垂直关系(1)空间中垂直关系的相互转化(2)判定线面垂直的常用方法利用线面垂直的判定定理利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直” 利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个也垂直” 利用面面垂直的性质(3)判定线线垂直的方法平面几何中证明线线垂直的方法线面垂直的性质：a，bab.线面垂直的性质：a，bab.(4)判断面面垂直的方法利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角判定定理：a，a .3空间角的
22、求法(1)找异面直线所成角的三种方法利用图中已有的平行线平移利用特殊点(线段的端点或中点 )作平行线平移补形平移(2)线面角：求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，即确定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足通常是解由斜线段、垂线段、斜线在平面内的射影所组成的直角三角形一、选择题1下列说法正确的是( )A经过空间内的三个点有且只有一个平面B如果直线 l 上有一个点不在平面 内，那么直线上所有点都不在平面 内C四棱锥的四个侧面可能都是直角三角形D用一个平面截棱锥，得到的几何体一定是一个棱锥和一个棱台考点 空间几何体题点 空间几何体结构判断答案 C解析 在 A 中，经过空间内的不共线的三个点
23、有且只有一个平面，故 A 错误；在 B 中，如果直线 l 上有一个点不在平面 内，那么直线与平面相交或平行，则直线上最多有一个点在平面 内，故 B 错误；在 C 中，如图的四棱锥，底面是矩形，一条侧棱垂直底面，那么它的四个侧面都是直角三角形，故 C 正确；在 D 中，用一个平行于底面的平面去截棱锥，得到两个几何体，一个是棱锥，一个是棱台，故 D 错误故选 C.2 是一个平面，m，n 是两条直线，A 是一个点，若 m，n，且 Am，A，则m，n 的位置关系不可能是( )A垂直 B相交C异面 D平行考点 空间中直线与直线的位置关系题点 空间中直线与直线的位置关系判定答案 D解析 是一个平面，m，n
24、 是两条直线，A 是一个点，m， n，n 在平面 内，m 与平面 相交，Am，A ，A 是 m 和平面 相交的点，m 和 n 异面或相交，一定不平行3在空间中， 表示平面，m，n 表示两条直线，则下列命题中错误的是( )A若 m ，m，n 不平行，则 n 与 不平行B若 m，m，n 不垂直，则 n 与 不垂直C若 m，m，n 不平行，则 n 与 不垂直D若 m ，m，n 不垂直，则 n 与 不平行考点 空间中直线与平面之间的位置关系题点 空间中直线与平面之间的位置关系的判定答案 A解析 对于 A，若 m，m，n 不平行， 则 n 与 可能平行、相交或 n ，故不正确故选 A.4(2018 届温
25、州“十五校联合体 ”期中联考) 已知 m，n 是互不垂直的异面直线，平面， 分别经过直线 m，n，则下列关系中不可能成立的是( )Am BCm D考点 线、面平行、垂直的综合应用题点 平行与垂直的判定答案 C解析 若 m， 则 m 垂直于平面 内的任意一条直线，则 mn，与已知条件矛盾，故选 C.5在正四面体 ABCD 中，E，F 分别为棱 AD，BC 的中点，则异面直线 EF 与 CD 所成的角为( )A. B. C. D.6 4 3 2答案 B解析 取 CD 的中点 P，连接 AP，BP，可证得 CD平面 PAB，从而可得 CDAB.取 AC 的中点 M，连接 ME，MF，则 MECD ，
26、ME CD，12MFAB，MF AB，12MEF 即为 异面直线 EF 与 CD 所成的角(或其补角)在MEF 中，EMF ，MEMF.2MEF .4异面直线 EF 与 CD 所成的角为 .46如图，四边形 ABCD 是圆柱的轴截面，E 是底面圆周上异于 A，B 的一点，则下面结论中错误的是( )AAECE BBEDECDE平面 CEB D平面 ADE平面 BCE考点 垂直问题的综合应用题点 线线、线面、面面垂直的相互转化答案 C解析 由 AB 是底面圆的直径，则AEB 90 ，即 AEEB.四边形 ABCD 是圆柱的轴截面，AD底面 AEB，BC底面 AEB.BEAD ，又 ADAEA， A
27、D，AE平面 ADE，BE平面 ADE.同理可得：AECE，平面 BCE平面 ADE.可得 A，B，D 正确而 DE平面 CEB 不正确故选 C.7如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为菱形，DAB60，侧面 PAD 为正三角形，且平面 PAD平面 ABCD，则下列说法错误的是( )A在棱 AD 上存在点 M，使 AD平面 PMBB异面直线 AD 与 PB 所成的角为 90C二面角 PBCA 的大小为 45DBD平面 PAC考点 垂直问题的综合应用题点 线线、线面、面面垂直的相互转化答案 D解析 对于 A，取 AD 的中点 M，连 PM，BM，侧面 PAD 为正三角形，PMAD ，
28、又底面 ABCD 是菱形，DAB60，ABD 是等边三角形，ADBM，又 PMBMM ，PM，BM平面 PMB，AD平面 PBM，故 A 正确对于 B，AD平面 PBM， ADPB，即异面直线 AD 与 PB 所成的角为 90，故 B 正确对于 C，平面 PBC平面 ABCDBC， BCAD，BC平面 PBM，BCPB，BCBM，PBM 是二面角 PBCA 的平面角，设 AB1，则 BM ，PM ，32 32在 Rt PBM 中，tan PBM 1，PMBM即PBM 45，故二面角 PBCA 的大小为 45，故 C 正确故 选 D.二、填空题8已知 ， 是三个不同的平面，命题“若 ，且 ，则
29、”是真命题若把， 中的任意两个平面换成直线，另一个保持不变，则在所得到的所有新命题中，真命题的个数是_考点 线、面平行、垂直的综合应用题点 平行与垂直的判定答案 2解析 若 ，换为直线 a，b，则命题化为“若 ab，且 a ”，则 b，此命题为真命题；若，换为 直线 a，b，则命题化为“若 a，且 ab，则 b” ，此命题为假命题；若 ，换为直线 a，b，则命题化为“若 a，且 b，则 ab” ，此命题为真命题故真命题有 2 个9如图，若边长为 4 和 3 与边长为 4 和 2 的两个矩形所在平面互相垂直，则 cos cos _.考点 平面与平面垂直的性质题点 有关面面垂直性质的计算答案 25
30、解析 由题意，两个矩形的对 角线长分别为 5,2 ，5所以 cos ，cos ，525 4 529 2529所以 cos cos 2.510如图所示，在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，底面是ABC 为直角的等腰直角三角形，AC2a，BB 1 3a，D 是 A1C1 的中点，点 F 在线段 AA1 上，当 AF_时，CF平面B1DF.考点 线、面平行、垂直的综合应用题点 平行与垂直的计算与探索性问题答案 a 或 2a解析 由已知得 B1D平面 AC1，又 CF平面 AC1，B 1DCF，故若 CF平面 B1DF，则必有 CFDF.设 AFx(0x 3a)，则 CF2x 24 a2，DF2a
31、2(3 ax )2，又 CD2a 29a 210a 2，10a 2x 24a 2a 2(3 ax) 2，解得 xa 或 2a.故答案为 a 或 2a.11如图，在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，有下面结论：AC平面 CB1D1；AC 1平面 CB1D1；AC 1 与底面 ABCD 所成角的正切值是 ；22AD 1 与 BD 为异面直线其中正确的结论的序号是_考点 线、面平行、垂直的综合应用题点 平行与垂直的判定答案 解析 因为 AC平面 CB1D1C ，所以 AC平面 CB1D1错误，所以错误连接 BC1，A1C1，则 AC1B 1D1，AC1B 1C，因为 B1D1B 1CB 1，所
32、以 AC1平面 CB1D1，所以正确因为 AC1 在底面 ABCD 的射影为 AC，所以 C 1AC 是 AC1 与底面 ABCD 所成的角，所以tanC 1AC ，所以 正确C1CAC 12 22由异面直线的定义可知，AD 1 与 BD 为异面直线，所以正确故答案为.三、解答题12一个空间几何体的直观图如图(1)所示，三视图及部分数据如图 (2)所示(1)求它的体积；(2)证明：A 1C平面 AB1C1；(3)若 D 是棱 CC1 的中点，在棱 AB 上取中点 E，判断 DE 是否平行于平面 AB1C1，并证明你的结论考点 线、面平行、垂直的综合应用题点 平行、垂直综合问题的证明(1)解 由
33、三视图可知，四边形 BCC1B1 是矩形， BB1CC 1 ，BC1，且 AA1C1C 是边长为3的正方形，垂直于底面 BB1C1C，3所以该几何体的体积为 V 1 .12 3 3 32(2)证明 因为ACB 90 ，所以 BCAC ，又因为三棱柱 ABCA 1B1C1为直三棱柱，所以 BCCC 1，又因为 ACCC 1C，AC，CC 1平面 ACC1A1，所以 BC平面 ACC1A1，所以 BCA 1C.又因为 B1C1BC，所以 B1C1A 1C，又因为四边形 ACC1A1为正方形，所以 A1CAC 1，又 B1C1AC 1C 1，B1C1，AC1平面 AB1C1，所以 A1C平面 AB1
34、C1.(3)解 当 E 为棱 AB 的中点时 ，DE平面 AB1C1，证明：如图所示，取 BB1 的中点 F，连接 EF，FD，DE.因为 D，E，F 分 别是棱 CC1，AB 和 BB1 的中点，所以 EFAB 1，又 AB1平面 AB1C1，EF平面 AB1C1，所以 EF平面 AB1C1.又 FDB 1C1，B1C1平面 AB1C1，FD平面 AB1C1，所以 FD平面 AB1C1，又 EFFD F，EF，FD平面 DEF，所以平面 DEF平面 AB1C1，而 DE平面 DEF，所以 DE平面 AB1C1.13如图，在三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，AB AC2，BC 2 ，M，
35、N 分别为3BC，AB 的中点(1)求证：MN平面 PAC；(2)求证：平面 PBC平面 PAM；(3)在 AC 上是否存在点 E，使得 ME平面 PAC？若存在，求出 ME 的长，若不存在，请说明理由考点 线、面平行、垂直的综合应用题点 平行与垂直的计算与探索性问题(1)证明 因为 M，N 分别为 BC，AB 的中点，所以 MNAC.因为 MN平面 PAC，AC平面 PAC，所以 MN平面 PAC.(2)证明 因为 PA平面 ABC，BC平面 ABC，所以 PABC，因为 ABAC 2，M 为 BC 的中点，所以 AMBC.因为 AMPAA，AM，PA 平面 PAM，所以 BC平面 PAM.
36、因为 BC平面 PBC，所以平面 PBC平面 PAM.(3)解 存在过点 M 作 MEAC 交 AC 于点 E，因 为 PA平面 ABC，ME平面 ABC，所以 PAME.因为 MEAC，ACPA A，AC，PA 平面 PAC，所以 ME平面 PAC.因为在ABC 中，ABAC 2，BC2 ，M 为 BC 的中点，所以 ME .332四、探究与拓展14如图所示，在直角梯形 BCEF 中，CBF BCE 90，A，D 分别是 BF，CE 上的点，ADBC，且 ABDE2BC2AF (如图)将四边形 ADEF 沿 AD 折起，连接BE，BF，CE (如图)在折起的过程中，下列说法中错误的个数是 (
37、 )AC平面 BEF；B，C，E，F 四点不可能共面；若 EFCF，则平面 ADEF平面 ABCD；平面 BCE 与平面 BEF 可能垂直A0 B1 C2 D3考点 垂直问题的综合应用题点 翻折与旋转中的垂直问题答案 B解析 对于，在图中记 AC 与 BD 交点( 中点)为 O，取 BE 的中点为 M，连接 MO，MF，易证得四边形 AOMF 为平行四边形，即 ACFM，又FM平面 BEF，AC平面 BEF，AC平面 BEF，故正确；假设中 B，C，E，F 四点共面，因为 BCAD，BC 平面 ADEF，所以 BC平面 ADEF，可推出 BCEF，所以 ADEF，这与已知相矛盾，故 B，C，E
38、，F 四点不可能共面，所以正确；在梯形 ADEF 中，易得 FDEF ，又 EFCF，FDCF F，所以 EF平面 CDF，即 CDEF，又 CDAD，AD，EF 为平面 ADEF 内的相交直线，所以 CD平面 ADEF，则平面 ADEF 平面 ABCD，所以正确；延长 AF 至 G 使得 AFFG，连接 BG，EG，易得平面 BCE平面 ABF，过 F 作 FNBG于 N，又平面 BCE平面 ABFBG，FN 平面 ABF，则 FN平面 BCE，若平面 BCE平面 BEF，则过 F 作直线与平面 BCE 垂直，其垂足在 BE 上，前后矛盾，故错误故选 B.15如图，在ABC 中，O 是 BC
39、 的中点，ABAC ，AO2OC2.将BAO 沿 AO 折起，使 B 点与图中 B点重合(1)求证：AO 平面 BOC；(2)当三棱锥 BAOC 的体积取最大时，求二面角 ABC O 的余弦值；(3)在(2)的条件下，试问在线段 BA 是否存在一点 P，使 CP 与平面 BOA 所成的角的正弦值为 ？证明你的结论，并求 AP 的长53考点 空间角题点 空间角的综合运用(1)证明 ABAC 且 O 是 BC 的中点，AOBC，即 AOOB ，AOOC，又OBOCO，OB，OC平面 BOC ，AO平面 BOC.(2)解 在平面 BOC 内，作 BDOC 于点 D，则由(1)可知 BDOA，又 OC
40、OAO，OC，OA平面 OAC，BD平面 OAC，即 BD 是三棱锥 BAOC 的高，又 BDB O，当 D 与 O 重合时，三棱 锥 BAOC 的体积最大，过 O 作 OHBC 于点 H，连接 AH，如 图由(1)知 AO平面 BOC，又 BC平面 BOC，BCAO， AO OHO ，AO，OH平面 AOH，BC平面 AOH，BCAH，AHO 即为二面角 ABC O 的平面角在 Rt AOH 中，AO2，OH ，22AH ，322cosAHO ，OHAH 13故二面角 ABCO 的余弦值为 .13(3)解 如图，连 接 OP，在(2) 的条件下，易证 OC平面 BOA，CP 与平面 BOA 所成的角为CPO，sinCPO ，CP .OCCP 53 35又在ACB中，S ACB BCAH ，12 32又 ABCP ，12 32CP 为边 AB 上的高CPAB，BP ， 22 CP255AP .455
