1、1/112.3.2 平面与平面垂直的判定学习目标：1.理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角平面角的大小( 难点、易错点)2.了解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理，初步学会用定理证明垂直关系(重点)3. 熟悉线线垂直、线面垂直的转化 (重点)自 主 预 习探 新 知1二面角概念平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面图示定义在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的角叫做这个二面角的平面角图示符号OA，OB，
2、l，Ol，OA l，OBlAOB 是二面角的平面角范围0，平面角规定二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度平面角是直角的二面角叫做直二面角记法棱为 l，面分别为 ， 的二面角记为 l，如图所示，也可在 ， 内(棱以外的半平面部分)2/11分别取点 P，Q，将这个二面角记作二面角 PlQ2.平面与平面垂直(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直平面 与平面 垂直，记作 .(2)画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直如图 2318 所示图 2318(3)判定定理：文字语言 一个平面过另
3、一个平面的垂线，则这两个平面垂直图形语言符号语言 l，l基础自测1思考辨析(1)若 l，则过 l 有无数个平面与 垂直( )(2)两垂直的平面的二面角的平面角大小为 90.( )提示 (1) (2) 2如图 2319，三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，BAC90，则二面角 BPAC 的大小等于_图 231990 PA平面 ABC，PAAB，PA AC，BAC 为二面角 BPAC 的平面角，又BAC90.3/11所以所求二面角的大小为 90.3对于直线 m，n 和平面 ，能得出 的一个条件是 ( )Amn，m，n Bmn， m，nCmn，n ，m Dmn，m，nC Error!Error!
4、 ，故 选 C.合 作 探 究攻 重 难二面角的概念及求法(1) 下列命题中：两个相交平面组成的图形叫做二面角；异面直线 a，b 分别和一个二面角的两个面垂直，则 a，b 组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角的最小角；二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系其中正确的是 ( )A BC DB 由二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所 组成的图形叫做二面角所以不对，实质上它共有四个二面角；由 a，b 分别垂直于两个面，则 a，b都垂直于二面角的棱，故 正确；中所作的射线不一定垂直于二面角的棱，故不对；由定义知正确故 选
5、B.(2)如图 2320 所示，在 ABC 中，ABBC，SA平面 ABC，DE 垂直平分 SC，且分别交 AC，SC 于点 D，E，又 SAAB，SBBC，求二面角EBDC 的大小. 【导学号： 07742152】 图 2320解 因为 E 为 SC 的中点，且 SBBC，所以 BESC.又 DESC，4/11BEDEE，所以 SC平面 BDE，所以 BDSC.又 SA平面 ABC，可得 SABD ，SCSA S，所以 BD平面 SAC，从而 BDAC，BD DE，所以EDC 为二面角 EBDC 的平面角设 SAAB 1，在ABC 中，因为 ABBC，所以 SBBC ，AC ，所以 SC2.
6、2 3在 Rt SAC 中，DCS30，所以EDC60 ，即二面角 EBDC 为 60.规律方法 1求二面角大小的步骤简称为“一作二证三求” 2作二面角平面角的方法(1)定义法：在二面角的棱上找一点，在两个半平面内过该点分别作垂直于棱的射线(2)垂面法：过 棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面形成交线， 这两条射线( 交线)所成的角，即为二面角的平面角(3)垂线法：利用 线面垂直的性质来寻找二面角的平面角，这是最常用也是最有效的一种方法跟踪训练1如图 2321，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，求二面角 BA1C1B1 的正切值5/11图 2321解 取 A1C1 的中点
7、 O，连接 B1O，BO.由题意知B1OA 1C1，又 BA1BC 1，O 为 A1C1 的中点，所以 BOA 1C1，所以BOB 1 是二面角 BA1C1B1 的平面角因为 BB1平面 A1B1C1D1，OB1平面 A1B1C1D1，所以 BB1OB 1.设正方体的棱长为 a，则 OB1 a，22在 Rt BB1O 中，tan BOB 1 ，BB1OB1 a22a 2所以二面角 BA1C1B1 的正切值为 .2平面与平面垂直的判定如图 2322，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是菱 形，PAPB，且侧面 PAB平面 ABCD，点 E 是 AB 的中点(1)求证：PEAD；(2)若
8、CACB，求证：平面 PEC平面 PAB.【导学号：07742153】图 2322证明 (1)因为 PAPB，点 E 是棱 AB 的中点，所以 PEAB，6/11因为平面 PAB平面 ABCD，PE平面 PAB，所以 PE平面 ABCD，因为 AD平面 ABCD，所以 PEAD.(2)因为 CA CB，点 E 是 AB 的中点，所以 CEAB.由(1)可得 PEAB，又因为 CEPEE ，所以 AB平面 PEC，又因为 AB平面 PAB，所以平面 PAB平面 PEC.规律方法 1证明平面与平面垂直的方法(1)利用定义： 证明二面角的平面角为直角；(2)利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另
9、一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直2根据面面垂直的定义判定两平面垂直，实质上是把问题转化成了求二面角的平面角，通常情况下利用判定定理要比定义简单些，这也是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只要转证线面垂直，其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直跟踪训练2如图 2323，四边形 ABCD 是边长为 a 的菱形， PC平面 ABCD，E是 PA 的中点，求证：平面 BDE平面 ABCD.7/11图 2323证明 连接 AC，设 ACBDO，连接 OE.因为 O 为 AC 中点，E 为 PA 的中点，所以 EO 是PAC 的中位线，所以 EOPC.因为 PC平面 ABCD
10、，所以 EO平面 ABCD.又因为 EO平面 BDE，所以平面 BDE平面 ABCD.线面、面面垂直的综合应用探究问题1如图 2324，如何作出二面角 PABQ 的平面角？图 2324提示 过点 P 作平面 ABQ 的垂线，垂足 为 H.过 H 作 HO棱 AB 于点 O，连 OP，则POH 即为二面角 PABQ 的平面角 2线面、面面垂直关系是如何转化的？提示 欲证 面面垂直只需 寻求使其成立的充分条件，即面面垂直 线面垂直线线垂直如图 2325，已知正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E 为棱 CC1 上的动点(1)求证：A 1EBD；(2)当 E 恰为棱 CC1 的中点时，求证：平面
11、A1BD平面 EBD. 【导学号：07742154】 8/11图 2325思路探究：(1)欲证 A1EBD，只需 证明 BD 垂直 A1E 所在平面即可；(2)要证平面 A1BD平面 EBD，只需求出二面角为直二面角即可，或证明一个平面内的某一直线垂直于另一个面证明 连接 AC，设 ACDBO，连接 A1O，OE，(1)因为 AA1底面 ABCD，所以 BDA 1A，又 BDAC，A 1AACA，所以 BD平面 ACEA1，因为 A1E平面 ACEA1，所以 A1EBD.(2)在等边三角形 A1BD 中，BDA 1O，因为 BD平面 ACEA1，OE平面 ACEA1，所以 BDOE，所以A 1
12、OE 为二面角 A1 BDE 的平面角在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，设棱长为 2a，因为 E 为棱 CC1 的中点，由平面几何知识，得 EO a，A1O a，A1E3a，满 足 A1E2A 1O2EO 2，所以3 6A 1OE90，即平面 A1BD平面 EBD.母题探究：1本例中，条件不变，试求二面角 EBDC 的正切值解 连接 AC 交 BD 于 O，连接 OE(图略)由例题中(2)知，BDOE，BDOC.EOC 为二面角 EBDC 的平面角设正方体棱长为 a，则 CE ，OC a.a2 22在 Rt OCE 中，tan EOC .CEOCa222a 229/11所以二面角 EBD
13、C 的正切 值为 .222本例条件不变，试求 A1E 与平面 ABB1A1 所成线面角的正切值解 取 BB1 中点为 H，连接 A1H，EH(图略)，则 EHBC，EH 平面 ABB1A1，EA 1H 即为直线 A1E 与平面 ABB1A1 所成的线面角设正方体棱长为 a，则易知 A1H a，EHa.52在 RtA 1HE 中，tanEA 1H .EHA1H a52a 25 255规律方法 线面、面面垂直的综合问题的解题策略1重视转化涉及线面垂直、面面垂直的综合问题的解题关键是转化，即证面面垂直， 转化为证线面垂直；证线面垂直转化为证线线垂直. 2充分挖掘线 面垂直关系解答线面垂直、面面垂直的
14、综合问题时，通常要先 证出一个关键的线面垂直关系，由此出发才能证出其他 线线垂直、 线面垂直关系，因此要注意线面垂直在解题过程中的枢纽作用.当 堂 达 标固 双 基1自二面角棱 l 上任选一点 O，若AOB 是二面角 l 的平面角，则必须具有条件( )AAO BO，AO，BOBAOl，BOlCABl，AO，BODAO l，BOl，且 AO，BOD 由二面角平面角的定义知，选 D.2空间四边形 ABCD 中，若 ADBC，ADBD ，那么有 ( ) 【导学号：07742155】A平面 ABC平面 ACD10/11B平面 ABC平面 ABDC平面 ABC平面 BCDD平面 ADC平面 BCDD A
15、DBC ，ADBD，BCBDB，AD 平面 BCD.又AD 平面 ACD，平面 ADC平面 BCD.选 D.3如图 2326，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，图 2326(1)二面角 D1ABD 的大小是_；(2)二面角 A1ABD 的大小是_(1)45 (2)90 (1)在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB平面 AD1，则ABAD 1.又 ABAD ，所以D 1AD 即为二面角 D1ABD 的平面角，在 RtD 1AD 中，D 1AD45.所以二面角 D1ABD 的平面角为 45.(2)与(1)同理，A 1AD 为二面角 A1ABD 的平面角，所以二面角 A1ABD 的大小为
16、 90.4已知 PA矩形 ABCD 所在的平面( 如图 2327 所示)，图中互相垂直的平面有( )图 2327A1 对 B2 对C3 对 D5 对D PA平面 ABCD，11/11PADA，PAAB ，PABC，PADC.DA AB，DAPA ，DA平面 PAB，同理可得 BC平面 PAB.ABDA，ABPA ，AB平面 PAD，同理 DC平面 PAD.平面 PAD 平面 ABCD，平面 PAB平面 ABCD，平面 PBC平面 PAB，平面 PAB平面 PAD，平面 PDC平面 PAD，共 5 对选 D.5如图 2328 所示，在四面体 ABCD 中，CBCD ，ADBD，且 E、F分别是 AB、 BD 的中点求证：平面 EFC平面 BCD. 【导学号：07742156】图 2328证明 ADBD，EF AD ，EFBD.CBCD ，F 是 BD 的中点，CFBD.又 EFCFF ，BD 平面 EFC，BD 平面 BCD，平面 EFC平面 BCD.
