1、1/84.1.2 圆的一般方程学习目标：1.了解圆的一般方程的特点，会由一般方程求圆心和半径(重点)2.会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题(重点)3.初步掌握求动点的轨迹方程的方法(难点、易错点) 自 主 预 习探 新 知1圆的一般方程的定义(1)当 D2E 24F0 时，方程 x2y 2DxEy F0 叫做圆的一般方程，其圆心为 ，半径为 .( D2， F2) D2 E2 4F2(2)当 D2E 24F0 时，方程 x2y 2DxEy F0 表示点 .( D2， F2)(3)当 D2E 24F0 时，方程 x2y 2DxEy F0 不表示任何图形思考：若二元二次方
2、程 Ax2BxyCy 2DxEy F 0 表示圆，需满足什么条件？ 提示 应满 足三个条件：AC0；B0；D 2E 24AF0.2由圆的一般方程判断点与圆的位置关系已知点 M(x0，y 0)和圆的方程 x2y 2Dx EyF 0(D2E 24F 0)则其位置关系如下表：位置关系 代数关系点 M 在圆 外 x y Dx 0Ey 0F020 20点 M 在圆 上 x y Dx 0Ey 0F020 20点 M 在圆 内 x y Dx 0Ey 0F020 20合 作 探 究攻 重 难圆的一般方程的辨析若方程 x2y 22mx2ym 25m0 表示圆，求：(1)实数 m 的取值范围；(2)圆心坐标和半径
3、. 【导学号：07742281】解 (1)据题意知2/8D2E 24F (2m)2(2) 24(m 25m)0，即 4m244m 220m 0，解得 m ，15故 m 的取值范围为 .( ，15)(2)将方程 x2y 22mx 2ym 25m0 写成标准方程为(xm )2( y1)215m，故圆心坐标为(m,1) ，半径 r .1 5m规律方法 方程 x2y 2DxEyF 0 表示圆的两种判断方法1配方法.对 形如 x2y 2DxEyF 0 的二元二次方程可以通过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示圆.2运用圆的一般方程的判断方法求解.即通过判断 D2E 24F 是否为正，确定它是否表示圆.
4、提醒：在利用 D2E 24F0 来判断二元二次方程是否表示圆时， 务必注意x2 及 y2 的系数.跟踪训练1方程 x2 y2ax2ay a2a10 表示圆，则 a 的取值范围是( )54Aa1 Ba1C 2a D2a023A 当 a24a 24 0 时，表示圆的方程，(54a2 a 1)化简得a10，解得 a1， 选 A.2已知 aR，方程 a2x2(a2) y24x8y5a0 表示圆，则圆心坐标是_，半径是_(2， 4) 5 由二元二次方程表示 圆的条件可得 a2a2，解得 a2 或1.当 a2 时，方程为 4x24y 24x8y 100，即 x2y 2x2y 0，配方52得 (y1) 2
5、0，不表示 圆；(x 12)2 543/8当 a1 时，方程为 x2y 24x8y 50，配方得(x2) 2(y4) 225，则圆心坐标为( 2， 4)，半径是 5.求圆的一般方程已知ABC 的三个顶点为 A(1,4)，B(2,3) ，C(4，5) ，求ABC 的外接圆方程、圆心坐标和外接圆半径. 【导学号：07742282】思路探究：设出圆的一般方程，用待定系数法求解解 设ABC 的外接圆方程为x2y 2DxEy F 0，A，B ，C 在 圆上，Error!Error!ABC 的外接圆方程为 x2y 22x2y230，即(x1) 2(y1) 225.圆心坐标为(1， 1)，外接圆半径为 5.
6、规律方法 利用待定系数法求圆的方程的解题策略1如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出 a，b，r.2如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数 D，E，F.跟踪训练3已知一圆过 P(4，2) ，Q( 1,3)两点，且在 y 轴上截得的线段长为4 ，求圆的方程3解 法一：(待定系数法)设圆的方程为 x2y 2DxEyF0，将 P，Q 的坐标分别代入上式，得Error!令 x0，得 y2EyF0， 4/8由已知|y 1y 2|4 ，3其中 y1，y2 是方程的两根(y 1y 2)2(y 1
7、y 2)24y 1y2E 24F48. 联立解得，Error!或Error!故所求方程为 x2y 22x120 或 x2y 210x 8y 40.法二：(几何法)由题意得线段 PQ 的中垂线方程为 xy 10.所求圆的圆心 C 在直线 xy10 上，设其坐标为(a，a1)又圆 C 的半径长r|CP| . a 42 a 12由已知圆 C 截 y 轴所得的线段长为 4 ，而圆心 C 到 y 轴的距离为|a|.3r 2a 2 ，代入 并将两端平方得 a26a 50，解得(432)2a11， a25，r 1 ，r2 .13 37故所求圆的方程为(x 1) 2y 213 或(x5) 2( y4) 237
8、.求动点的轨迹方程探究问题1已知动点 M 到点(8,0)的距离等于点 M 到点(2,0) 的距离的 2 倍，你能求出点 M 的轨迹方程吗？提示 设 M(x，y)，则 2 ，整理可得点 M 的轨迹x 82 y2 x 22 y2方程为 x2y 216.2已知直角ABC 的斜边为 AB，且 A(1,0)，B(3,0)，请求出直角顶点 C 的轨迹方程提示 设 AB 的中点为 D，由中点坐标公式得 D(1,0)，由直角三角形的性质知，| CD| |AB|2，由圆 的定义知，动点 C 的轨迹是以 D(1,0)为圆心，以 2 为半125/8径长的圆(由于 A，B，C 三点不共 线，所以应除去与 x 轴的交点
9、)设 C(x，y)，则直角顶点 C 的轨迹方程为(x1) 2y 24(x3 且 x1)已知圆心为 C 的圆经过点 A(1,1)和 B(2，2)，且圆心 C 在直线l：xy10 上(1)求圆 C 的方程；(2)线段 PQ 的端点 P 的坐标是(5,0)，端点 Q 在圆 C 上运动，求线段 PQ 的中点 M 的轨迹方程【导学号：07742283】思路探究：(1)利用圆的有关几何性质，确定圆心坐标与半径可求得圆 C 的方程(2)点 M 随点 Q 运动而运 动，将 Q 点坐标用 P、M 两点坐 标表示，再将 Q 点坐标代入(1)中的 圆的方程，即得 M 点的轨迹方程解 (1)设点 D 为线段 AB 的
10、中点，直 线 m 为线段 AB 的垂直平分线，则 D.(32， 12)又 kAB3，所以 km ，13所以直线 m 的方程为 x3y 30.由Error!得圆 心 C(3，2)，则半径 r|CA| 5， 3 12 2 12所以圆 C 的方程为(x 3) 2( y2) 225.(2)设点 M(x，y)，Q(x0，y0)因为点 P 的坐标为(5,0) ，所以Error!即 Error!又点 Q(x0，y0)在圆 C：(x 3)2(y2) 225 上运动，所以(x 03) 2(y 02) 225，即(2x53) 2(2y2) 225.整理得(x1) 2(y1) 2 .2546/8即所求线段 PQ 的
11、中点 M 的轨迹方程为(x 1)2(y1) 2 .254母题探究：1.若本例(2)中条件不变，增加条件“且动点 M 满足2 ，试求动点 M 的轨迹方程QM MP 解 设动点 M(x，y)，Q(x0，y0)，又 P(5,0)所以 ( xx 0，yy 0)， (5x，y)，QM MP 又 2 ，(x x 0，yy 0)2(5x，y)，QM MP Error!Error!代入圆 C 的方程可得：(3x 7)2(3 y2) 225，即 .(x 73)2 (y 23)2 259所以动点 M 的轨迹方程为 .(x 73)2 (y 23)2 2592将本例(2)条件改为“过点 P(5,0)的直线与圆 C 交
12、于两点 E、F” ，求该EF 中点 M 的轨迹方程解 由题知 M 不与 PC 重合时，CMPM，则 M 在以 PC 为直径的圆上，设 M(x，y)，因为 P(5,0)，C(3，2) ，所以 M 点的轨迹方程为 ，x 12 y 121264 4当点 M 与 PC 重合时，M 点即 C 点(适合)，所以 M 点轨迹方程为( x1) 2(y1) 217 ，( 2 54334 x 2 54334 ，43 2043 34 y 43 2043 34 )其轨迹为圆 C 内的部分规律方法 求与圆有关的轨迹问题常用的方法1直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系
13、式.7/82定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程.3相关点法：若动点 Px，y随着圆上的另一动点 Qx1，y1运动而运动，且x1，y1 可用 x，y 表示，则可将 Q 点的坐标代入已知圆 的方程，即得动点 P 的轨迹方程.当 堂 达 标固 双 基1圆 x2y 24x6y0 的圆心坐标是( )A(2,3) B(2,3)C(2,3) D(2,3)D 圆 心坐标为 ，即(2,3)，选 D.( 42， 62)2已知方程 x2y 22x2k30 表示圆，则 k 的取值范围是( ) 【导学号：07742284】A( ，1) B(3，)C(，1)(3 ，) D ( 32， )A
14、 方程可化为：( x1) 2y 22k2，只有2k20，即 k1 时才能表示圆 选 A.3若方程 x2y 2DxEyF0 表示以(2，4)为圆心，4 为半径的圆，则 F _.4 依题意， 2， 4， 4，D2 E2 12D2 E2 4F解得 D4，E 8，F4.4设圆 x2 y24x2y110 的圆心为 A，点 P 在圆上，则 PA 的中点M 的轨迹方程是_x2y 24x2y10 设 M(x，y)，A(2， 1)，则 P(2x2，2y 1)，将 P 代入圆方程，得(2 x2) 2(2y 1) 24(2x2)2(2y 1)110，即为x2y 24x 2y10.5如图 412 所示，已知线段 AB
15、 的中点 C 的坐标是(4,3)，端点 A 在圆(x 1)2y 2 4 上运动，求线段 AB 的端点 B 的轨迹. 【导学号：07742285】8/8图 412解 设 B 点坐标是(x，y )，点 A 的坐标是(x 0，y0)，由于点 C 的坐标是(4,3)且点 C 是 线段 AB 的中点，所以 4 ，3 ，x0 x2 y0 y2于是有 x08 x ，y06 y.因为点 A 在圆( x1) 2y 24 上运动，所以点 A 的坐标满足方程(x 1) 2y 24，即(x 01) 2y 4，20把代入，得(8 x1) 2(6y )24，整理，得(x9) 2( y6) 2 4.所以，点 B 的 轨迹是以(9,6)为圆心，半径 长为 2 的圆
