1、4.1.2 圆的一般方程,1.掌握圆的一般方程及其特点.2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程,并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小.3.能根据某些具体条件,运用待定系数法确定圆的方程.4.初步学会运用圆的方程来解决某些实际应用问题.,1.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0.(1)当_时,方程表示一个点,该点的坐标为_;(2)当_时,方程不表示任何图形;(3)当_时,方程表示的曲线为圆,它的圆心坐标为_,半径等于_,上述方程称为圆的一般式方程.,D2+E2-4F=0,D2+E2-4F0,2.比较二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0和圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,可
2、以得出如下结论:当二元二次方程具条件:(1)x2和y2的系数相同,且不等于0,即_;(2)没有xy项,即_;(3)_时,它才表示圆.,A=C0,B=0,D2+E2-4AF0,1.圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2明确了圆心C(a,b),半径r,把标准方程展开就可得圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D=-2a,E=-2b,F=a2+b2-r2).仅当D2+E2-4F0时,方程才表示一个圆.2.求圆的方程,需知三个条件,知过不共线三点求圆的方程,用一般式简单.知圆心和半径用标准形式简单.,题型一 圆的方程的判断例1:判断下列方程是否表示圆,若是,化成标准方程.(1)x2
3、+y2+2x+1=0;(2)x2+y2+2ay-1=0;(3)x2+y2+20x+121=0;(4)x2+y2+2ax=0.分析:先将方程配方,化成圆的标准形式,然后再作出判断.,解:(1)原方程可化为(x+1)2+y2=0,它表示点(-1,0),不表示圆.(2)原方程可化为x2+(y+a)2=a2+1,它表示圆心在(0,-a),半径为 的圆,标准方程为x2+(y+a)2= (3)原方程可化为:(x+10)2+y2=-210,m-2.错因分析:本题错误根本原因没理解圆的一般式方程的定义.二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆时,应有D2+E2-4F0这个条件,错解中丢掉了这个隐含条件
4、.,正解:点P(m,2)在圆外,基础强化1.若方程x2+y2-x+y+m=0表示圆,则实数m的取值范围是( )答案:A,2.方程Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0表示的曲线为圆,则有( )A.A=C0B.D2+E2-4AF0C.A=C0且D2+E2-4AF0D.A=C0且D2+E2-4AF0答案:C,3.圆x2+y2-2x+6y+8=0的周长等于( )A. B.2C. D.4解析:将圆的方程配方得(x-1)2+(y+3)2=2,圆的半径 周长为2r= 答案:C,4.过点P(-8,-1),Q(5,12),R(17,4)三点的圆的圆心坐标是( )A.(5,1)B.(4,-1)C.(5,-1)D.(
5、-5,-1)解析:圆心到P,Q,R的距离相等,代入选项的坐标,知C成立.答案:C,5.圆(x+2)2+y2=5关于原点对称的圆的方程为( )A.(x-2)2+y2=5B.x2+(y-2)2=5C.(x+2)2+(y+2)2=5D.x2+(y+2)2=5解析:点(x,y)关于原点(0,0)的对称点是(-x,-y),因此圆心(-2,0)关于原点(0,0)对称点为(2,0),半径不变,所以方程为(x-2)2+y2=5.答案:A,6.圆心为(2,-3),一条直径的两个端点分别落在x轴和y轴上的圆的方程为( )A.(x+2)2+(y+3)2=52B.(x-2)2+(y+3)2=C.(x-2)2+(y+3
6、)2=13D.(x-2)2+(y-3)2=,解析:设一条直径的端点坐标分别为(x0,0),(0,y0).由题意得, =-3,x0=4,y0=-6,圆的半径为所求圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=13.答案:C,7.已知圆x2-4x-4+y2=0的圆心是P,则点P到直线x-y-1=0的距离是_.解析:已知圆的圆心P坐标为(2,0),P到直线x-y-1=0的距离为,8.点A(1,0)在圆x2+y2-2ax+a2+3a-3=0上,则a的值为_.,-2,能力提升9.圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于A(0,-4),B(0,-2)两点,求圆C的方程.解:设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey
7、+F=0,则圆心 在直线上.,由解得D=-4,E=6,F=8.圆的方程为x2+y2-4x+6y+8=0.,10.已知圆C:x2+y2-4x-14y+45=0及点Q(-2,3),(1)若P(m,m+1)在圆C上,求线段PQ的长及直线PQ的斜率;(2)若P为圆C上任意一点,求|PQ|的最大值和最小值.解:(1)点P在圆C上代入得m2+(m+1)2-4m-14(m+1)+45=0,解得m=4.点P为(4,5),故|PQ|=,(2)由题意知|PQ|取得最大值或最小值时,P点为过Q与圆心C的直线与圆C的两个交点.易知:|PQ|最大值为|QC|+R= (R为圆C半径).最小值为|QC|-R=,11.若圆x2+y2-2x-4y=0的圆心到直线x-y+a=0的距离为 则a的值为( )A.-2或2B. C.2或0D.-2或0解析:已知圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=5,圆心C(1,2),由题意得, |a-1|=1,a=2或0.答案:C,12.经过圆x2+2x+y2=0的圆心C,且与直线x+y=0垂直的直线方程是( )A.x+y+1=0B.x+y-1=0C.x-y+1=0D.x-y-1=0解析:由题知圆心C(-1,0),斜率k=1,故所求的直线方程为y=x+1,即x-y+1=0.答案:C,
