1、第四章 4.1 圆的方程,4.1.2 圆的一般方程,1.掌握圆的一般方程及其特点； 2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小； 3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程.,问题导学,题型探究,达标检测,学习目标,问题导学 新知探究 点点落实,知识点 圆的一般方程,思考1 方程x2y22x4y10，x2y22x4y60分别表示什么图形？ 答案 对方程x2y22x4y10配方得：(x1)2(y2)24， 表示以(1，2)为圆心，半径为2的圆， 方程x2y22x4y60配方得(x1)2(y2)21不表示任何图形.,答案,思考2 对于方程x2y2DxEyF0
2、是否表示圆？,答案,当D2E24F0时，,返回,题型探究 重点难点 个个击破,类型一 圆的一般方程的概念,例1 若方程x2y22mx2ym25m0表示圆，求实数m的取值范围，并写出圆心坐标和半径.,解 由表示圆的条件， 得(2m)2(2)24(m25m)0，,反思与感悟,解析答案,反思与感悟,形如x2y2DxEyF0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法： (1)由圆的一般方程的定义，令D2E24F0成立，则表示圆，否则不表示圆， (2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解，应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2y2DxEyF0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解.
3、,跟踪训练1 (1)若方程2x22y22ax2ay0(a0)表示圆，则圆心坐标和半径分别为_；,解 方程2x22y22ax2ay0(a0),解析答案,(2)点M、N在圆x2y2kx2y40上，且点M、N关于直线xy10对称，则该圆的面积为_.,由圆的性质知直线xy10经过圆心，,解析答案,该圆的面积为9.,9,类型二 求圆的一般方程,例2 已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，1). (1)求ABC的外接圆的方程；,解 设ABC外接圆的方程为x2y2DxEyF0， 由题意得,解析答案,即ABC的外接圆方程为x2y28x2y120.,(2)若点M(a,2)在ABC的外接圆上，求a的值.,解 由
4、(1)知，ABC的外接圆方程为x2y28x2y120， 点M(a,2)在ABC的外接圆上， a2228a22120， 即a28a120， 解得a2或6.,解析答案,反思与感悟,反思与感悟,应用待定系数法求圆的方程时， (1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r. (2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D、E、F.,跟踪训练2 求经过点A(2，4)且与直线x3y260相切于点B(8,6)的圆的方程.,解 设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2， 由题意得,解
5、析答案,类型三 与圆有关的轨迹方程,例3 已知点P在圆C：x2y28x6y210上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程.,解析答案,反思与感悟,反思与感悟,解 设点M(x，y)，点P(x0，y0)，,点P(x0，y0)在圆C：x2y28x6y210上，,(2x)2(2y)28(2x)6(2y)210.,反思与感悟,用代入法求轨迹方程的一般步骤,返回,跟踪训练3 已知圆O的方程为x2y29，求经过点A(1,2)的圆的弦的中点P的轨迹.,解析答案,解 设动点P的坐标为(x，y)， 当AP斜率不存在时，中点P的坐标为(1,0). 当AP的斜率存在时，设过点A的弦为MN，且M(x1，y1)，N(x2，y
6、2).,解析答案,M，N在圆O上，,又点P为中点，,又M，N，A，P四点共线，,中点P的轨迹方程是x2y2x2y0， 经检验，点(1,0)适合上式. 综上所述，,返回,1,2,3,达标检测,4,5,解析答案,1.圆x2y22x4y0的圆心坐标为( ) A.(1,2) B.(1，2) C.(1,2) D.(1，2),解析 将圆的方程化为标准方程：(x1)2(y2)25，可知其圆心 坐标是(1，2).,B,1,2,3,4,5,解析答案,2.将圆x2y22x4y10平分的直线是( ) A.xy10 B.xy30 C.xy10 D.xy30,解析 因为圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选
7、C.,C,1,2,3,4,5,3.方程x2y2xym0表示一个圆，则m的取值范围是( ),解析 由D2E24F0， 得(1)2124m0，,B,解析答案,1,2,3,4,5,解析答案,4.已知圆C：x2y2DxEy30，圆心在直线xy10上，且圆心在第二象限，半径为 ，求圆的一般方程.,1,2,3,4,5,因为圆心在直线xy10上，,所以圆的一般方程为x2y22x4y30.,1,2,3,4,5,解析答案,5.如图，已知线段AB的中点C的坐标是(4,3)，端点A在圆(x1)2y24上运动，求线段AB的端点B的轨迹.,1,2,3,4,5,解 设B点坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)， 由
8、于点C的坐标是(4,3)且点C是线段AB的中点，,于是有x08x ，y06y . 因为点A在圆(x1)2y24上运动， 所以点A的坐标满足方程(x1)2y24，,把代入，得(8x1)2(6y)24， 整理，得(x9)2(y6)24. 所以，点B的轨迹是以(9,6)为圆心，半径长为2的圆.,规律与方法,1.判断二元二次方程表示圆要“两看”： 一看方程是否具备圆的一般方程的特征；二看它能否表示圆.此时判D2E24F是否大于0；或直接配方变形，判断等号右边是否为大于零的常数. 2.待定系数法求圆的方程 如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法分别求出常数D、E、F.,3.求轨迹方程的一般步骤 (1)建立适当坐标系，设出动点M的坐标(x，y). (2)列出点M满足条件的集合. (3)用坐标表示上述条件，列出方程f(x，y)0. (4)将上述方程化简. (5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点.,返回,
