1、第三章检测(时间:90 分钟 满分:100 分)一、选择题(每小题 5 分,共 50 分)1.用数学归纳法证明当 nN *时,1+2+2 2+25n-1 是 31 的倍数时,当 n=1 时原式为( )A.1 B.1+2C.1+2+3+4 D.1+2+22+23+24解析: 原式=1+2+2 2+25n-1,当 n=1 时,原式=1+ 2+251-1=1+2+22+23+24.答案: D2.用数学归纳法证 N *)时,从“n=k ”到“n=k+1”,等式左边需增添的项是( )ABCD答案: C3.用数学归纳法证明“n 3+(n+1)3+(n+2)3(nN *)能被 9 整除”,要利用归纳假设证明
2、当 n=k+1时的情况,只需展开( )A.(k+3)3 B.(k+2)3C.(k+1)3 D.(k+1)3+(k+2)3解析: 假设 n=k 时,k 3+(k+1)3+(k+2)3 能被 9 整除,当 n=k+1 时,( k+1)3+(k+2)3+(k+3)3=(k+1)3+ (k+2)3+(k3+3k23+3k32+33)=k3+(k+1)3+(k+2)3+(9k2+27k+27),故只需展开(k+ 3)3 即可.答案: A4.若不等式(- 1)na6,故 n7,所以 n 最小取 8.答案: B7.上一个 n 层的台阶,若每次可上一层或两层,设所有不同上法的总数为 f(n),则下列猜想正确的
3、是( )A.f(n)=nB.f(n)=f(n)+f(n-2)C.f(n)=f(n)f(n-2)D.f(n)解析: 分别取 n=1,2,3,4 验证.答案: D8.设 01,且 nN *)的结果时,第一步当 n= 时,A= . 解析: n1,且 nN *, n 取第一个值为 2.此时 A=11!=1.答案: 2 113.已知 1+23+332+433+n3n-1=3n(na-b)+c 对一切 nN *都成立,那么 a= ,b= ,c= . 解析: 取 n=1,2,3 得到 3 个方程,联立可解得 a,b,c.答案:14.设数列a n满足 a1=2,an+1=2an+2,用数学归纳法证明 an=4
4、2n-1-2 的第二步中,假设当 n=k时结论成立,即 ak=42k-1-2,那么当 n=k+1 时, . 答案: ak+1=2ak+2=42(k+1)-1-215.用数学归纳法证明 1+2+3+n2解析: 令 f(n)=1+2+3+n2,则 f(k)=1+2+k2,f(k+1)=1+2+3+k2+(k2+1)+(k2+2)+(k+1)2,故 f(k+1)-f(k)=(k2+1)+(k2+2)+(k+1)2.答案: (k2+1)+(k2+2)+(k+1)2三、解答题(本大题共 3 个小题,共 25 分)16.(8 分) 如图所示,圆 C 上有 n 个不同的点 P1,P2,Pn,设两两连接这些点
5、所得线段 PiPj 中,任意三条在圆内都不共点,试证它们在圆内共 4).证明 设圆内的交点个数为 P(n).(1)当 n=4 时,则 P(4)=1 .(2)假设当 n=k 时,P(k) k+1 个点 ,且 P1,P2,Pk,Pk+1 按逆时针方向排列,依次连接 Pk+1P1,Pk+1P2,可增加 k 条线段,分别考查这 k 条线段与此前圆内线段的交点个数:与 Pk+1P1:0 个;与 Pk+1P2:k-2 个(分别与 P1P3,P1P4,P1Pk 交得);与 Pk+1P3:2(k-3)个(分别与 P1P4,P1P5,P1Pk,P2P4,P2Pk 交得);与 Pk+1P4:3(k-4)个(分别与
6、 P1P5,P1Pk,P3Pk 交得);与 Pk+1Pk-1:(k-2)1 个(分别与 P1Pk,P2Pk,Pk-2Pk 交得),故总共增加:1(k-2)+2(k-3)+3(k-4)+(k-2)(k-1)- (k-2)=k+2k+(k-2)k-12+23+34+(k-2)(k-1)个交点,得 P(k+1)n=k+1 时命题成立.根据(1)(2)可知,对一切 n4 的自然数 n 命题都成立.17.(8 分) 已知点的序列 An(xn,0),nN *,其中 x1=0,x2=a(a0),A3 是线段 A1A2 的中点,A 4 是线段A2A3 的中点, ,An 是线段 An-2An-1 的中点,(1)
7、写出 xn 与 xn-1,xn-2 之间的关系式 (n3);(2)设 an=xn+1-xn,计算 a1,a2,a3,由此推测数列 an的通项公式,并加以证明.解: (1)当 n3 时,x n(2)a1=x2-x1=a,a2=x3-x2=a3=x4-x3=由此推测数列a n的通项公式为 an N *).用数学归纳法证明: 当 n=1 时,a 1=x2-x1=a . 假设当 n=k(kN *,且 k1)时,猜测成立,即 ak n=k+1 时,ak+1=xk+2-xk+1=.根据 和 可知,对任意 nN *,猜测 an N *)成立,即数列 an的通项公式为 an N *).18.(9 分) 已知
8、a2,不等式 logax+loga(a+1)ak-1-x2k-1 的解集为 A,其中 aN *,kN.(1)求 A.(2)设 f(k)表示 A 中自然数个数,求和 Sn=f(1)+f(2)+f(n).(3)当 a=2 时,比较 Sn 与 n2+n 的大小,并证明你的结论.解: (1)不等式同解于由 ,得 x2-(a+1)ak-1x+a2k-10. a2, ak-152+5.猜想当 n5(nN)时,S nn2+n.下面用数学归纳法证明: 当 n=5 时,已验证. 假设当 n=k(k5)时,S kk2+k 成立,即 2kk2+1 成立,则当 n=k+1 时,S k+1-(k+1)2+(k+1)=2k+1-(k+1)2-1=22k-k2-2k-22(k2+1)-k2-2k-2=k2-2k=k(k-2)0,即 Sk+1(k+1)2+(k+1), 当n=k+1 时结论成立.根据 可知,对任何 n5(n N *),都有 Snn2+n 成立.综上所述,当 n=1 时,S n=n2+n;当 n=2,3,4 时,S nn2+n.
