1、1.2 导数的计算第 1 课时 几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式学习目标 1.能根据定义求函数 yc，yx ，yx 2，y ，y 的导数.2.能利用给出的基1x x本初等函数的导数公式求简单函数的导数知识点一 几个常用函数的导数原函数 导函数f(x)c f(x) 0f(x)x f(x) 1f(x) x2 f(x)2xf(x)1xf(x)1x2f(x) xf( x)12x知识点二 基本初等函数的导数公式原函数 导函数f(x)c(c 为常数 ) f(x )0f(x)x (Q *) f(x) x 1f(x)sin x f( x)cos xf(x)cos x f(x )sin xf(x)a
2、x f( x)a xln a(a0)f(x)e x f(x )e xf(x)log ax f(x) (a0 且 a1)1xln af(x)ln x f(x )1x1若 y ，则 y 21.( )2122若 f(x) sin x，则 f(x)cos x ( )3f(x) ，则 f(x ) .( )1x3 3x4类型一 利用导数公式求函数的导数例 1 求下列函数的导数(1)ysin ；(2)y x；(3) ylg x；(4) y ；(5)y2cos 2 1.6 (12) x2x x考点 常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数题点 常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数解 (1)y0.(2)y xl
3、n xln 2.(12) 12 (12)(3)y .1xln 10(4)y ，x2x 3y( ) .3232 132x(5)y2cos 2 1cos x ，xy(cos x)sin x.反思与感悟 (1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解(2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数 幂的形式求导如 y 可以写成 yx 4 ，y 可以写成 y 等，这样就可以直接使用幂函数的求导公1x4 5x3 35x式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误跟踪训练 1 (1)已知函数 f(x) ，则 f(3)等于( )1x3A
4、81 B243C243 D127(2)已知 f(x)ln x 且 f(x 0) ，则 x0 .1x20考点 常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数题点 常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数答案 (1)D (2)1解析 (1)因为 f(x)x 3 ，所以 f(x) 3x 4 ，3x4所以 f(3) .3 34 127(2)因为 f(x)ln x (x0)，所以 f(x) ，1x所以 f(x 0) ，所以 x01.1x0 1x20类型二 利用导数公式研究切线问题命 题 角 度 1 求 切 线 方 程 或 切 线 斜 率例 2 已知曲线 yf( x) ，y g( x) ，过两条曲线交点作两条曲线的
5、切线，求两切线与x1xx 轴所围成的三角形面积考点 导数公式的综合应用题点 导数公式的综合应用解 由Error! 得Error! 得两曲线的交点坐标为(1,1)两条曲线切线的斜率分别为 f(1) ，g(1) 1.12易得两切线方程分别为 y1 (x1)，12y1(x1)，即 y x 与 yx2.12 12其与 x 轴的交点坐标分别为(1,0) ，(2,0)，所以两切线与 x 轴所围成的三角形面积为 1|2( 1)| .12 32反思与感悟 解决切线问题，关 键是确定切点，要充分利用切点处的导数是切线的斜率、切点在切线上及切点在曲线上这三个条件联立方程解决跟踪训练 2 已知 ykx 是曲线 yl
6、n x 的一条切线，则 k .考点 导数公式的综合应用题点 导数公式的综合应用答案 1e解析 设切点坐标为(x 0，y0)，由题意得 k ，0=|xy1x0又 y0kx 0，而且 y0ln x 0，由可得 x0e ，y01，则 k .1e命 题 角 度 2 求 切 点 坐 标 问 题例 3 求抛物线 yx 2 上的点到直线 xy20 的最短距离考点 导数公式的综合应用题点 导数公式的综合应用解 设切点坐标为(x 0，x )，依 题意知与直线 xy20 平行的抛物 线 yx 2的切线的切点到20直线 xy20 的距离最短y(x 2) 2x，2x 01，x 0 ，12切点坐标为 ，(12，14)所
7、求的最短距离 d .|12 14 2|2 728反思与感悟 利用基本初等函数的求导公式，可求其 图象在某一点 P(x0，y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最 值问题，一般都与函数图象的切线有关解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用 导数的几何意 义准确计算跟踪训练 3 已知直线 l: 2x y40 与抛物线 yx 2 相交于 A，B 两点，O 是坐标原点，试求与直线 l 平行的抛物线的切线方程，并在弧 上求一点 P，使ABP 的面积最大A考点 导数公式的综合应用题点 导数公式的综合应用解 由于直线 l: 2xy 40 与抛物线 yx 2相交于 A，B 两点，|A
8、B|为 定值，要使 ABP 的面积最大，只要点 P 到 AB 的距离最大，设 P(x0，y0)为 切 点 ，过 点 P 与 AB 平 行 的 直 线 斜 率 k y 2x0， k 2x0 2， x0 1，y0 1.故可得 P(1,1)，切线方程为 2xy10.故 P(1,1)点即为所求弧 上的点，使ABP 的面积最大.AOB1下列函数求导运算正确的个数为( )(3 x) 3 xlog3e；(log 2x) ； x ； 若 y ，则 .1xln 2 1ln x 1x2 =3|x227A1 B2 C3 D4考点 常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数题点 常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数答案
9、 C解析 中(3 x)3 xln 3， 均正确2函数 f(x)x 3 的斜率等于 1 的切线有( )A1 条 B2 条C3 条 D不确定考点 常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数题点 常数、幂函数的导数答案 B解析 设切点坐标为(x 0，y0)，f(x 0)3x 1，20x 0 .故斜率等于 1 的切 线有 2 条333已知 f(x)x 2，g( x)ln x ，若 f( x)g(x)1，则 x .考点 常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数题点 指数函数、对数函数的导数答案 1解析 f(x) 2x，g( x) ，1xf(x)g(x) 1，即 2x 1，1x解得 x1 或 .因为 x0，所以
10、 x1.124过原点作曲线 ye x 的切线，则切点的坐标为 ，切线的斜率为 考点 导数公式的综合应用题点 导数公式的综合应用答案 (1，e) e解析 设切点坐标为(x 0，y0)，切线的斜率为 ，0=|xex则 ，0exy0 0x0 0又 y0 ，由可得 x01，切点坐标为(1，e)，切线的斜率为 e.5求过曲线 ysin x 上一点 P 且与在该点处的切线垂直的直线方程(6，12)考点 导数公式的综合应用题点 导数公式的综合应用解 曲线 ysin x 在点 P 处切线的斜率(6，12)k cos ，=6|x6 32则与切线垂直的直线的斜率为 ，233所求直线方程为 y ，12 233(x
11、6)即 12 x18y2 90.3 31利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归2有些函数可先化简再应用公式求 导如求 y12sin 2 的导数因为 y12sin 2 cos x，所以 y(cos x)sin x.x2 x3对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化.一、选择题1下列各式中正确的个数是( )(x 7)7x 6； ( x1 )x 2 ； x ；( ) x ；(cos x)sin (1x) 12 32 5x2 25 35x；(cos 2)sin 2.A3 B4
12、C5 D6考点 常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数题点 常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数答案 B解析 (x 1 )x 2 ；(cos 2) 0.不正确，故选 B.2已知函数 f(x)x a，若 f (1)4，则 a 的值等于( )A4 B4C5 D5考点 常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数题点 常数、幂函数的导数答案 A解析 f(x)ax a1 ，f( 1) a(1) a1 4，a4.3质点沿直线运动的路程 s 与时间 t 的关系是 s ，则质点在 t4 时的速度为( )5tA. B.12523 110523C. D.25523 110523考点 常数、幂函数、指数函数、对数函数
13、的导数题点 常数、幂函数的导数答案 B解析 s t .当 t4 时，15 45s .15 1544 1105234正弦曲线 ysin x 上切线的斜率等于 的点为( )12A.(3，32)B. 或( 3， 32) (3，32)C. (kZ)(2k 3，32)D. 或 (kZ)(2k 3，32) (2k 3， 32)考点 导数公式的综合应用题点 导数公式的综合应用答案 D解析 设斜率等于 的切线与曲线的切点为 P(x0，y0)， cos x0 ，x 02k 或12 0=|x12 32k ，3y 0 或 .32 325直线 y xb 是曲线 y ln x(x0)的一条切线，则实数 b 的值为( )
14、12A2 Bln 21Cln 21 Dln 2考点 导数公式的综合应用题点 导数公式的综合应用答案 C解析 yln x 的导数 y ，1x令 ，得 x2，切点坐标为(2，ln 2)1x 12代入直线 y xb，得 bln 21.126下列曲线的所有切线中，存在无数对互相垂直的切线的曲线是( )Af(x)e x Bf(x)x 3Cf(x)ln x Df(x)sin x考点 导数公式的综合应用题点 导数公式的综合应用答案 D解析 若直线垂直且斜率存在， 则其斜率之积为1.因为 A 项中，(e x)e x0，B 项中， (x3)3x 20，C 项中，x0，即 (ln x) 0，所以不会1x使切线斜率
15、之积为1，故选 D.7设曲线 yx n1 (nN *)在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn，则 x1x2xn 的值为( )A. B.1n 1n 1C. D1nn 1考点 导数公式的综合应用题点 导数公式的综合应用答案 B解析 对 yx n1 (nN *)求导得 y(n1)x n.令 x1，得在点 (1,1)处的切线的斜率 kn1，在点(1,1)处的切线方程为 y1(n1)( xn1) 令 y0，得 xn ，nn 1x 1x2xn ，故选 B.12 23 34 n 1n nn 1 1n 1二、填空题8若曲线 y 在点(a， )处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为 18，则
16、a .1212考点 几个常用函数的导数题点 几个常用函数导数的应用答案 64解析 y ，y ，12x12 3x曲线在点(a， )处的切线斜率 k ，12a12 3a切线方程为 y (xa)1212 3令 x0，得 y ；令 y0 ，得 x3a，32 1a该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S 3a 18，12 32 194 2a64.9设曲线 ye x 在点(0,1)处的切线与曲线 y (x0)在点 P 处的切线垂直，则点 P 的坐标为 1x考点 导数公式的综合应用题点 导数公式的综合应用答案 (1,1)解析 ye x的导数为 ye x，曲线 ye x在点(0,1)处的切线的斜率为 k1e 0
17、1.设 P(m，n)，y (x0)的导数为 y (x0)，1x 1x2曲线 y (x0)在点 P 处的切线的斜率为 k2 (m0)因为两切线垂直，所以 k1k21，1x 1m2所以 m1，n1，则点 P 的坐标为(1,1) 10若曲线 y 在点 P(a， )处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 2，则实数 a 的x a值是 考点 导数公式的综合应用题点 导数公式的综合应用答案 4解析 y ，切线方程为 y (xa) ，12x a 12a令 x0，得 y ，令 y0，得 xa，a2由题意知 a2，a4.12 a211设 f0(x)sin x ，f 1(x)f 0(x)，f 2(x)f 1(x)
18、，f n1 (x)f n(x)，nN，则 f2 017(x) .考点 正弦、余弦函数的导数题点 正弦、余弦函数的运算法则答案 cos x解析 由已知 f1(x)cos x，f2(x)sin x，f3(x)cos x，f4(x)sin x，f5(x)cos x，依次类推可得，f 2 017(x)f 1(x)cos x.12设正弦曲线 ysin x 上一点 P，以点 P 为切点的切线为直线 l，则直线 l 的倾斜角 的取值范围是 考点 导数公式的综合应用题点 导数公式的综合应用答案 0，4 34，)解析 (sin x) cos x ，k lcos x，1k l1， .0，4 34，)三、解答题13
19、点 P 是曲线 ye x 上任意一点，求点 P 到直线 yx 的最小距离考点 导数公式的综合应用题点 导数公式的综合应用解 如图，当曲线 ye x在点 P(x0，y0)处的切线与直线 yx 平行时，点 P 到直线 yx 的距离最近则曲线 ye x在点 P(x0，y0)处 的切线斜率为 1，又 y(e x)e x，所以 1，得 x00，0代入 ye x，得 y01，即 P(0,1)利用点到直线的距离公式得最小距离为 .22四、探究与拓展14函数 yx 2(x0)的图象在点 (ak，a )处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 ak1 ，其中2kkN *，若 a116，则 a1a 3a 5 的值是 考
20、点 导数公式的综合应用题点 导数公式的综合应用答案 21解析 y2x ，yx 2(x0)的图象在点(a k，a )处的切线方程为 ya 2a k(xa k)2k 2k又该切线与 x 轴的交点坐标为(a k1, 0)，a k1 ak，即数列a k是首项为 a116，公比 为 q 的等比数列，12 12a 34，a 51，a 1a 3a 521.15求 证 ： 双 曲 线 xy a2(a 0)上 任 意 一 点 处 的 切 线 与 两 坐 标 轴 围 成 的 三 角 形 的 面 积 等 于 常数 考点 导数公式的综合应用题点 导数公式的综合应用证明 设 P(x0，y0)为双曲线 xya 2上任一点y .(a2x) a2x2过点 P 的切线方程为 yy 0 (xx 0)a2x20令 x0，得 y ；令 y0，得 x2x 0.2a2x0则切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S |2x0|2a 2.12|2a2x0|即双曲线 xya 2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面 积为常数 2a2.
