1、1函数的平均变化率导学案恩施市第一高级中学高二年级理科数学 严新国执笔【课程学习目标】1、 知识与技能：（1）通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数；（2）理解导数概念和几何意义，能用定义求解简单函数的导函数，会求曲线在某点处的切线。2、 过程与方法： 通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力； 通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。3、 情感、态度与价值观：通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣。二、 重点、难点:重点：导数概念的形成
2、，导数内涵的理解；难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵，通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点【知识体系探究】探究（一）平均变化率问题 1：有关气球膨胀率我们都吹过气球，回忆一下吹气球的过程。开始可以轻松的吹进气体，并且气球半径增加的较快；随着气球的变大，吹进一口气往往要使出吃奶的力气，气球大小变化却不明显。也就是说随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.思考 1.你能用所学的数学知识解释这个现象吗？ 我们先研究当气球的体积增加 1L 时，气球半径半径的变化情况。思考 2.当气球的容量 V1 增加到 V2 时，气球的半径增大的幅度是如何变化的？气球的平均膨胀
3、率是多少?问题 2：有关高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度 h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s ）存在函数关系 h(t)= -4.9t2+6.5t+10.思考 1：如何用运动员在 5.0和 1时的平均速 v度粗略地描述其运动状态? 2思考 2：上面计算了两个时间段运动员的平均速度，下面在计算 49650t这段时间里的平均速度，并思考以下问题：运动员在这段时间内是静止的吗？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？知识归纳：1.把上述问题进行推广，对于函数 yfx中的变化率问题可以用式子 来表示。对于函数 yfx，我们把 称为 yfx从 1到 2的平均变化率。若设 ，
4、平均变化率可表示为 。2121-, ()-xfA 21ffxxA2.求函数平均变化率的步骤：3.思考：观察函数 f(x)的图象平均变化率 表示什12么?【基础学习交流与方法技巧探究】练习 1已知函数 f(x)= 的图象上的一点 及临近一点2 )2,1(A,则 )2,(yxB练习 2.求 在 附近的平均变化率。2xy0变式题：1质点运动规律为 ，则在时间 中相应的平均速度为 32ts)3,(thtox1 x2Oyy=f(x)f(x1)f(x2)y =f(x2)-f(x1)xx= x2-x132.物体按照 s(t)=3t2+t+4 的规律作直线运动,求在 4s 附近的平均变化率.3.过曲线 y=f
5、(x)=x3上两点 P（1，1）和 Q (1+ x,1+ y)作曲线的割线，求出当 x=0.1 时割线的斜率.探究（二）导数的概念问题：通过探究（一）的学习我们认识到：平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某一刻的运动状态. 需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态；如：在高台跳水运动中，如果我们知道运动员相对于水面的高度 h（单位：m）与起跳后的时间 t（单位： s）存在关系 105.69.42ttth，那么我们就会计算任意一段的平均速度 v，通过平均速度 v来描述其运动状态，但用平均速度不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度，那么如何求运动员的瞬时速度呢？（瞬时速度的概
6、念：我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度）动手尝试：求高台跳水运动员在 2 秒时的瞬时速度思考 1：关于这些数据，下面的判断对吗？（1）当 t趋近于 0 时，即无论 t从小于 2 的一边，还是 t从大于 2 的一边趋近于 2 时，平均速度都趋近于一个确定的值-13.1 sm/。（2）靠近-13.1 且比-13.1 大的任何一个数都可以是某一段 ,t上的平均速度；（3）靠近-13.1 且比-13.1 小的任何一个数都可以是某一段 t2,上的平均速度；0t时， 在 2,t这段时间内 0t时，在 t2,这段时间内1.39.41.39.422t tthv 1.39.41.39.42t tthv当 0
7、.01 时， v当 0.01 时， v当 t0.001 时， 当 t0.001 时，当 0.000 1 时， 当 0.000 1 时， 当 0.000 01 时， 当 0.000 01 时，当 t0.000 001 时， 当 t0.000 001 时， v。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。4（4）-13.1 表示在 2 秒附近，运动员的速度大约是-13.1 sm/。思考 2：跳水运动员在 2 秒时的瞬时速度与其平均速度之间有何关系？如何用符号表示？跳水运动员在 的瞬时速度如何表示？0t思考 3：瞬时变化率与平均变化率的关系是怎样的？函数 xfy在 0处的瞬时变化率如何表示？知识归纳
8、：函数 xfy在 0处的瞬时变化率是，我们称它为函数 f在 0x处的 ，记作 即 0xf= fx)(limli 00。附注：导数即为函数 y=f(x)在 x=x0 处的 ；定义的形式可以有哪些变化？求函数 xfy在 0处的导数步骤： 。【基础学习交流与方法技巧探究】练习 1（1）求函数 y=3x2 在 x=1 处的导数.（2）求函数 f(x)= 在 1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数 练习 2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第 xh时，原油的温度（单位： C）为 2()715(08)fxx，5计算第 2h时和第 6时，原油温度的瞬时变化率，并说
9、明它们的意义变式训练：1质点运动规律为 32ts，求质点在 3t的瞬时速度2求曲线 y=f(x)=x3 在 1时的导数3例 2 中，计算第 h时和第 5时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义探究（三）导数的几何意义问题 1：如图，当 (,)(1,234)nnPxf沿着曲线 ()fx趋近于点 0(,)Pxf.割线 n的斜率 k与切线 PT 的斜率 k有什么关系？切线 PT 的斜率 k为多少？问题 2：观察图形， （1）此处的切线定义与以前学过的切线定义有什么不同？（2）曲线在某点处的切线有哪些特点？（3）如何求过曲线在某点处的切线的斜率呢？与所学的“导数”有什么关系？6知识归纳：导数的几何意
10、义：【基础学习交流与方法技巧探究】练习 1（1）求抛物线 过点（1，1）的切线方程。2xy（2）求双曲线 过点（2， ）的切线方程。（3）求抛物线 过点（ ，6）的切线方程。5练习 2.（1）如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图象.根据图象,请描述、比较曲线 在 附近的变化情况.（2） 如图,它表示人体血管中药物浓度 (单位: )随时间 (单位:min)变化的函数图象.根据图象,估计 =0.2,0.4,0.6,0.8 时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到 0.1)思考：1.由函数 f(x)在 x=x0处求导数的过程可以看到,当时, 是一个确0()fx定的数，那么,当 x 变化时，
11、f(x)是否构成了一个函数？为什么？72.讨论函数 在点 处的导数 、导函数 、导数之间的区别与联系。()fx00()fx()fx知识归纳：导函数的形式： 【学习小结】1.平均变化率如何计算？瞬时变化率与平均变化率的关系是怎样的？如何用符号表示？2导数与瞬时变化率的关系是怎样的？如何用符号表示？3. 求函数 xfy在 0处的导数步骤：“一差；二比；三极限”4.导数的几何意义是什么？5.函数 在点 处的导数 、导函数 、导数之间的区别与联系是什()f00()fx()fx么？6.知识探究中你体会了哪些数学思想？【课后巩固】1 将半径为 R 的球加热,若球的半径增加 R,则球的体积增加 y 约等于（
12、 ）A. 4R3 R B.4 R2 R C.4 R2D.4 R R2一直线运动的物体，从时间 t到 t时，物体的位移为 s，那么 0limts为（ ）从时间 t到 t时，物体的平均速度； 在 t时刻时该物体的瞬时速度；当时间为 时物体的速度； 从时间 到 t时物体的平均速度 奎 屯王 新 敞新 疆3.在曲线 y=2x21 的图象上取一点（1，1）及邻近一点（1+ x,1+ y）,则x等于（ ）A.4 x+2 x2 B.4+2 x C.4 x+ x2 D.4+ x4.若曲线 y=f(x)在点( x0,f(x0)处的切线方程为 2x+y1=0，则（ ）A.f( x0)0 B.f( x0)0 C.f
13、( x0)=0 D.f( x0)不存在85.已知命题 p:函数 y=f(x)的导函数是常数函数；命题 q:函数 y=f(x)是一次函数，则命题 p 是命题 q 的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6. 设函数 f(x)在 x0 处可导，则 0limhhxfx)()(0等于（ ）A.f(x 0) B.0 C.2f(x 0) D.2f(x 0)7. 若曲线上每一点处的切线都平行于 x 轴，则此曲线的函数必是_ .8.曲线 y=x3 在点 P（2，8）处的切线方程是_.9.质点按规律 1ats作直线运动，若质点在 t时的瞬时速度是 8，则 a的值为_.10. 已知质点 M 按规律 s=2t2+3 做直线运动(位移单位：cm，时间单位：s)，求质点 M 在 t=3 时的瞬时速度 .11. 求函数 f(x)= 2在 1x附近的平均变化率，并求出在该点处的导数12.已知抛物线 2yxbc在 ,2处的切线与直线 2yx平行，求 bc、 的值。13. 已知曲线 C1： 与曲线 C2： ，直线 l 与 C1、C 2都相切，2xy2)(xy求直线 l 的方程。14. 在曲线 2yx上过哪一点的切线：（1）平行于直线 45yx；（2）垂直于直线 650y；（3）与 x轴成 0135的倾斜角9
