1、6.2 图形的相似,中考数学 (山东专用),A组 20142018年山东中考题组 考点一 相似的有关概念,五年中考,1.(2017临沂,16,3分)已知ABCD,AD与BC相交于点O.若 = ,AD=10,则AO= .,答案 4,解析 ABCD,OAOD=OBOC=23. 又AD=10,OA= 10=4.,2.(2016临沂,17,3分)如图,在ABC中,点D,E,F分别在AB,AC,BC上,DEBC,EFAB.若AB=8, BD=3,BF=4,则FC的长为 .,答案,解析 由已知易得AD=AB-BD=8-3=5. 由DEBC得 = ,由EFAB得 = , = ,即 = ,解得BC= ,FC=
2、BC-BF= -4= .,考点二 相似三角形的性质与判定,1.(2018临沂,6,3分)如图,利用标杆BE测量建筑物的高度.已知标杆BE高1.2 m,测得AB=1.6 m, BC=12.4 m.则建筑物CD的高是 ( )A.9.3 m B.10.5 m C.12.4 m D.14 m,答案 B 由题意知BECD,ABEACD, = ,即 = ,解得CD=10.5 m.,2.(2017枣庄,6,3分)如图,在ABC中,A=78,AB=4,AC=6.将ABC沿图示中的虚线剪开,剪下 的阴影三角形与原来三角形不相似的是 ( ),答案 C 选项A与B中剪下的阴影三角形分别与原三角形有两组角对应相等,可
3、得阴影三角 形与原三角形相似;选项D中剪下的阴影三角形与原三角形有两边之比都是23,且两边的夹 角相等,所以两个三角形也是相似的,故选C.,思路分析 根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判断即可.,易错警示 本题容易出错的地方是两组对应边的比相等,必须要求夹角也相等才能相似,选项 C中不满足后者,故不能判断相似.,3.(2016东营,10,3分)如图,在矩形ABCD中,E是AD边的中点,BEAC,垂足为点F,连接DF,分析 下列四个结论:AEFCAB;CF=2AF;DF=DC;tanCAD= .其中正确的结论有( )A.4个 B.3个 C.2个 D.1个,答案 B 四边形ABCD是矩形,
4、ABC=90,ADBC,EAF=ACB. BEAC,AFE=90, ABC=AFE,AEFCAB,故正确; ADBC,AEFCBF. = = .CF=2AF,故正确; 延长BE交CD的延长线于M,易证ABEDME, AB=DM,DC=DM.又MFAC,DF=DC,故正确;在RtCAD中,易知CDAD,tanCAD= 1,故错误.,一题多解 取BC的中点M,连接DM,FM,FM=CM. E是AD的中点,DE= AD= BC=BM,又DEBM, 四边形BMDE是平行四边形,DMBE,DMCF,DM垂直平分CF,DF=DC.,4.(2016菏泽,7,3分)如图,ABC与ABC都是等腰三角形,且AB=
5、AC=5,AB=AC=3,若B+ B=90,则ABC与ABC的面积比为 ( )A.259 B.53 C. D.5 3,答案 A 分别作ADBC于点D,ADBC于点D,则ADB=ADB=90,B+BAD=90 .又B+B=90,BAD=B,ABDBAD,SABDSBAD=AB2AB2=259, SABD= SBAD.AB=AC,AB=AC,B=C,B=C,C+C=90.同理,可得ACD CAD,SACDSCAD=AC2AC2=259,SACD= SCAD.于是SABC=SABD+SACD= SBAD+SCAD= SABC,SABCSABC=259,故选择A.,思路分析 由等腰ABC与等腰ABC的
6、底角互余,启发我们作出它们底边上的高,可得 两对相似三角形;利用相似三角形的性质分别求所构造的两对相似三角形的面积关系;把 两个小三角形的面积分别相加,计算ABC与ABC的面积比.,5.(2018泰安,18,3分)九章算术是中国传统数学最重要的著作,在“勾股”章中有这样一个 问题:“今有邑方二百步,各中开门,出东门十五步有木,问:出南门几步而见木?” 用今天的话 说,大意是:如图,DEFG是一座边长为200步(“步”是古代的长度单位)的正方形小城,东门H位 于GD的中点,南门K位于ED的中点,出东门15步的A处有一树木,求出南门多少步恰好看到位于 A处的树木(即点D在直线AC上).请你计算KC
7、的长为 步.,答案,解析 由题意,可得RtCDKRtDAH,则 = ,又DH= DG=100步,KD= DE=100步, AH=15步, = ,解得KC= 步.,6.(2017莱芜,17,4分)如图,在矩形ABCD中,BEAC分别交AC、AD于点F、E,若AD=1,AB=CF, 则AE= .,答案,解析 连接CE.AB=CF,AB=CD,CF=CD. 又CE=CE,EFC=EDC=90, EFCEDC.DE=EF. 设AB=CD=CF=a,则AC2=AD2+CD2=12+a2=1+a2. 设AE=x,则DE=EF=1-x. 易证ABEDAC, = . = . x=a2, 易证AEFACD, =
8、 . = . = .,由可解得x= (舍负),AE= .,7.(2017东营,24,10分)如图,在等腰三角形ABC中,BAC=120,AB=AC=2,点D是BC边上的一个 动点(不与B、C重合),在AC上取一点E,使ADE=30. (1)求证:ABDDCE; (2)设BD=x,AE=y,求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围; (3)当ADE是等腰三角形时,求AE的长.,解析 (1)证明:在等腰ABC中,BAC=120, B=C=30, 又ADE=30,ABD=ADE. ADC=ADE+EDC=ABD+DAB, EDC=DAB, 又B=C,ABDDCE. (2)由AB=AC=2,BA
9、C=120,求得BC=2 , 则DC=2 -x. ABDDCE, = . = . 化简得y= x2- x+2(0x2 ). (3)当AD=DE时,由(1)可得ABDDCE,则AB=CD, 即2=2 -x. x=2 -2,代入y= x2- x+2得y=4-2 ,即AE=4-2 . 当AE=ED时,EAD=EDA=30,AED=120, DEC=60,EDC=90, 则ED= EC,则有y= (2-y), 解得y= ,即AE= . 当AD=AE时,AED=EDA=30,EAD=120. 此时点D与点B重合,与题目不符,此情况不存在. 当ADE是等腰三角形时,AE=4-2 或 .,8.(2017济宁
10、,22,11分)定义:点P是ABC内部或边上的点(顶点除外),在PAB,PBC,PCA 中,若至少有一个三角形与ABC相似,则称点P是ABC的自相似点. 例如:如图1,点P在ABC的内部,PBC=A,PCB=ABC,则BCPABC,故点P为 ABC的自相似点. 请你运用所学知识,结合上述材料,解决下列问题: 在平面直角坐标系中,点M是曲线C:y= (x0)上的任意一点,点N是x轴正半轴上的任意一点. (1)如图2,点P是OM上一点,ONP=M,试说明点P是MON的自相似点;当点M的坐标是( , 3),点N的坐标是( ,0)时,求点P的坐标; (2)如图3,当点M的坐标是(3, ),点N的坐标是
11、(2,0)时,求MON的自相似点的坐标; (3)是否存在点M和点N,使MON无自相似点?若存在,请直接写出这两点的坐标;若不存在,请 说明理由.,解析 (1)在ONP和OMN中, ONP=OMN,NOP=MON, ONPOMN. 点P是MON的自相似点. 由题意知MNx轴. 过点P作PDx轴于点D.tanPOD=tanMON= = . MON=60. ONPOMN,OPN=90.,在RtOPN中,OP=ONcos 60= . 在RtPOD中,OD=OPcos 60= = , PD=OPsin 60= = ,P . (2)如图,过点M作MHx轴于点H,则MH= ,MN=2.M(3, ),N(2,
12、0), OM=2 ,直线OM的表达式为y= x,ON=2. P1是MON的自相似点,P1ONNOM. = = ,即 = = ,P1O=P1N= . 过点P1作P1Qx轴于点Q, OQ= ON=1. P1的横坐标为1,P1的纵坐标为 1= .P1 . 如图,P2NMNOM, = = ,P2N=P2M= . OP2= ,在P2ON中,O =ON2+P2N2, P2ON是直角三角形,且P2NO=90,P2的纵坐标为 , = x,x=2, P2 . 综上所述,自相似点的坐标为 或 . (3)存在.M( ,3),N(2 ,0).,考点三 位似,1.(2018潍坊,8,3分)在平面直角坐标系中,点P(m,
13、n)是线段AB上一点,以原点O为位似中心把 AOB放大到原来的两倍,则点P的对应点的坐标为 ( ) A.(2m,2n) B.(2m,2n)或(-2m,-2n) C. D. 或,答案 B 当放大后的AOB与AOB在原点O同侧时,点P的对应点的坐标为(2m,2n),当放 大后的AOB与AOB在原点O两侧时,点P的对应点的坐标为(-2m,-2n),故选B.,方法规律 位似图形是特殊的相似图形,它有以下性质:(1)任意一对对应点到位似中心的距离 之比都等于相似比;(2)当以坐标原点为位似中心时,若原图形上点的坐标为(x,y),位似图形与原 图形的相似比为k,则位似图形上的对应点的坐标为(kx,ky)或
14、(-kx,-ky).,2.(2018滨州,6,3分)在平面直角坐标系中,线段AB两个端点的坐标分别为A(6,8)、B(10,2).若以 原点O为位似中心,在第一象限内将线段AB缩短为原来的 后得到线段CD,则点A的对应点C 的坐标为 ( ) A.(5,1) B.(4,3) C.(3,4) D.(1,5),答案 C 根据位似图形的性质,结合将线段AB缩短为原来的 后得到线段CD,得出点C的坐 标为点A的坐标的 .,3.(2016烟台,7,3分)如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似 中心的位似图形,且相似比为 ,点A,B,E在x轴上,若正方形BEFG的边长为6,
15、则C点坐标为 ( )A.(3,2) B.(3,1) C.(2,2) D.(4,2),答案 A 因为正方形BEFG的边长为6,正方形ABCD与正方形BEFG的相似比为 ,所以正方 形ABCD的边长为2,设OA=x.易知OBCOEF,所以 = = ,所以 = ,解得x=1,所 以点C的坐标为(3,2),故选A.,4.(2018菏泽,13,3分)如图,OAB与OCD是以点O为位似中心的位似图形,相似比为34, OCD=90,AOB=60,若点B的坐标是(6,0),则点C的坐标是 .,答案 (2,2 ),解析 由OAB与OCD位似,相似比为34,B(6,0),得OD=6 =8.在RtCOD中,OC=
16、OD= 4.作CEOD于点E,在RtOCE中,OE= OC=2,CE=2 ,C(2,2 ).,5.(2017烟台,16,3分)如图,在直角坐标系中,每个小方格的边长均为1.AOB与AOB是以原 点O为位似中心的位似图形,且相似比为32,点A,B都在格点上,则点B的坐标是 .,答案,解析 由题意,知将点B的横、纵坐标分别乘- ,得点B的坐标.由B的坐标为(3,-2),得B的坐标 为 .,6.(2017滨州,15,4分)在平面直角坐标系中,点C、D的坐标分别为C(2,3)、D(1,0).现以原点为位 似中心,将线段CD放大得到线段AB,若点D的对应点B在x轴上且OB=2,则点C的对应点A的坐 标为
17、 .,答案 (4,6)或(-4,-6),解析 OB=2,B在x轴上, 点B的坐标为(2,0)或(-2,0). CD与AB关于原点位似,点D的对应点为点B,D(1,0), AB与CD的位似比为2或-2. 点C的对应点为点A,C(2,3),A(4,6)或(-4,-6).,思路分析 根据OB长确定B点的坐标,从而求出两图形的位似比k,然后根据C点的坐标求得A 点的坐标.,易错警示 本题易漏掉点B在x轴负半轴上的情况,导致结果漏掉一个.,7.(2017枣庄,21,8分)如图,在平面直角坐标系中,已知ABC三个顶点的坐标分别是A(2,2),B(4, 0),C(4,-4). (1)请在图中,画出ABC向左
18、平移6个单位长度后得到的A1B1C1; (2)以点O为位似中心,将ABC缩小为原来的 ,得到A2B2C2,请在图中y轴的右侧画出A2B2 C2,并求出A2C2B2的正弦值.,解析 (1)如图所示. (2)如图所示.设直线AC的解析式为y=ax+b,a0, 把A(2,2),C(4,-4),代入得 解得 直线AC的解析式为y=-3x+8,设直线AC与x轴交于点D,则D的坐标为 ,CBD=90, CD= = ,sinDCB= = = .,A2C2B2=DCB,sinA2C2B2=sinDCB= .,思路分析 (1)将A、B、C三点分别向左平移6个单位即可得到的A1B1C1; (2)连接OA、OC,分
19、别取OA、OB、OC的中点即可画出A2B2C2,求出直线AC与OB的交点,求 出ACB的正弦值即可解决问题.,B组 20142018年全国中考题组 考点一 相似的有关概念,1.(2017浙江杭州,3,3分)如图,在ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,DEBC.若BD=2AD,则 ( )A. = B. = C. = D. =,答案 B 利用平行线分线段成比例可得 = = ,此题选B.,2.(2017黑龙江哈尔滨,9,3分)如图,在ABC中,D、E分别为AB、AC边上的点,DEBC,点F为 BC边上一点,连接AF交DE于点G.则下列结论中一定正确的是 ( )A. = B. = C. = D.
20、=,答案 C 根据平行线分线段成比例定理可知 = , = , = , = ,所以选 项A、B、D错误,选项C正确.故选C.,3.(2016湖南湘潭,13,3分)如图,直线abc,点B是线段AC的中点,若DE=2,则EF= .,答案 2,解析 abc, = . 又点B是线段AC的中点,DE=2, = ,解得EF=2.,4.(2018四川成都,13,4分)已知 = = ,且a+b-2c=6,则a的值为 .,答案 12,解析 设 = = =k(k0), 则a=6k,b=5k,c=4k, a+b-2c=6,6k+5k-8k=6. 解得k=2.a=6k=12.,5.(2015贵州六盘水,14,4分)已知
21、 = = 0,则 的值为 .,答案,解析 由题意可设a=6k,b=5k,c=4k,k0,则 = = .,考点二 相似三角形的性质与判定,1.(2018重庆A卷,5,4分)要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边长分别为5 cm,6 cm和9 cm,另一个三角形的最短边长为2.5 cm,则它的最长边为 ( ) A.3 cm B.4 cm C.4.5 cm D.5 cm,答案 C 设所求最长边为x cm,由题意知两个三角形相似,根据相似三角形的三边对应成比 例,可列等式 = ,解得x=4.5,故选C.,2.(2018新疆乌鲁木齐,7,4分)如图,在ABCD中,E是AB的中点,EC交BD
22、于点F,则BEF与 DCB的面积比为 ( )A. B. C. D.,答案 D 四边形ABCD是平行四边形,E是AB的中点, = = , = , = , = .,3.(2017四川雅安,12,3分)如图,四边形ABCD中,AB=4,BC=6,ABBC,BCCD,E为AD的中点,F 为线段BE上的点,且FE= BE,则点F到边CD的距离是 ( ),A.3 B. C.4 D.,答案 C 延长BE交CD的延长线于点G,过点F做FHCD于H, ABBC,BCCD,ABCD, ABE=DGE,A=EDG, 又E为AD的中点,AE=DE,ABEDGE(AAS), BE=GE,又FE= BE, = . 又BC
23、FH,GFHGBC, = = , FH= BC= 6=4.,4.(2017重庆A卷,8,4分)若ABCDEF,相似比为32,则对应高的比为 ( ) A.32 B.35 C.94 D.49,答案 A 相似三角形对应高的比等于相似比,所以选A.,5.(2018云南,5,3分)如图,已知ABCD,若 = ,则 = .,答案,解析 ABCD,A=C,B=D, AOBCOD. = = .,6.(2017浙江杭州,15,4分)如图,在RtABC中,BAC=90,AB=15,AC=20,点D在边AC上,AD=5, DEBC于点E,连接AE,则ABE的面积等于 .,答案 78,解析 DEBC, BAC=DEC
24、,又C=C, ABCEDC, = , 在RtBAC中,AC=20,AB=15, BC= =25, 又AD=5,CD=15,EC= =12,BE=13, SABE= SABC= 1520=78.,思路分析 ABC的面积是很容易求出来的,只要知道BE与BC的比值即可解决问题,又BC容 易求得,故将问题转化为求BE的长度,由ABCEDC可得 = ,从而求出EC,由此即可 得出BE.,7.(2017云南,3,3分)如图,在ABC中,D、E分别为AB、AC上的点,若DEBC, = ,则= .,答案,解析 DEBC,ADEABC, = = .,8.(2015广西柳州,18,3分)如图,AD是ABC的高,矩
25、形EFGH内接于ABC,且边FG落在BC上, 若BC=3,AD=2,EF= EH,那么EH的长为 .,答案,解析 设EH与AD交于点M,则AMEH,四边形EFGH是矩形,EHBC,AEHABC, = ,设EH=3x,则有EF=2x,AM=AD-EF=2-2x, = ,解得x= ,则EH= .,9.(2018湖北武汉,23,10分)在ABC中,ABC=90. (1)如图1,分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线,垂足分别为M、N,求证:ABMBCN; (2)如图2,P是边BC上一点,BAP=C,tanPAC= ,求tan C的值; (3)如图3,D是边CA延长线上一点,AE=AB,DEB=90,
26、sinBAC= , = ,直接写出tanCEB 的值.,解析 (1)证明:M=N=ABC=90, MAB+MBA=NBC+MBA=90, MAB=NBC, ABMBCN. (2)如图,过点P作PMAP交AC于点M,过点M作MNPC交BC于点N, 则PMNAPB. = =tanPAC= ,设PN=2t,则AB= t. BAP+APB=MPC+APB=90,BAP=C, MPC=C,CN=PN=2t. 易得ABPCBA, AB2=BPBC,( t)2=BP(BP+4t), BP=t,BC=5t, tan C= .,(3)在RtABC中,sinBAC= = ,tanBAC= = . 过点A作AGBE
27、于点G,过点C作CHBE交EB的延长线于点H, DEB=90,CHAGDE, = = , 同(1)的方法得,ABGBCH, = = = , 设BG=4m,CH=3m,AG=4n,BH=3n, GH=BG+BH=4m+3n,AB=AE,AGBE,EG=BG=4m, = = ,n=2m, EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m, 在RtCEH中,tanCEB= = .,思路分析 (1)利用同角的余角相等判断出MAB=NBC,即可得出结论; (2)作PMAP,MNPC,先判断出PMNAPB,得出 = = ,设PN=2t,则AB= t,再 判断出ABPCBA,设PN=2t,
28、根据相似三角形的性质可求得BP=t,则BC=5t,即可得出结论; (3)作AGBE,CHBE,先判断出 = = ,同(1)的方法得,ABGBCH,所以 = = ,设BG=4m,CH=3m,AG=4n,BH=3n,进一步得出关于m,n的等式,解得n=2m,最后得出结论.,方法指导 几何中的类比探究关键在于找到解决每一问的通法,本题涉及的相似三角形,要寻 找的比例关系或添加的辅助线均类似.同时要注意挖掘题干中不变的几何特征,根据特征寻方 法.,10.(2017江苏宿迁,24,8分)如图,在ABC中,AB=AC,点E在边BC上移动(点E不与点B、C重合), 满足DEF=B,且点D、F分别在边AB、A
29、C上. (1)求证:BDECEF; (2)当点E移动到BC的中点时,求证:FE平分DFC.,证明 (1)AB=AC, B=C. B+BDE+BED=DEF+FEC+BED=180, DEF=B, BDE=CEF, BDECEF. (2)BDECEF, = . 点E是BC的中点, BE=CE. = . 又DEF=B=C, DEFECF, EFD=CFE,FE平分DFC.,考点三 位似,1.(2018湖南邵阳,8,3分)如图所示,在平面直角坐标系中,已知点A(2,4),过点A作ABx轴于点B. 将AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的 ,得到COD,则CD的长度是 ( )A.2 B.1 C.4
30、 D.2,答案 A 根据位似图形的性质,对应边的比等于位似比,可得 = ,因为AB=4,所以CD=2.故 选A.,2.(2017四川成都,8,3分)如图,四边形ABCD和ABCD是以点O为位似中心的位似图形,若OA OA=23,则四边形ABCD与四边形ABCD的面积比为 ( )A.49 B.25 C.23 D. ,答案 A 由位似图形的性质知 = = ,所以 = = .故选A.,3.(2017湖南长沙,16,3分)如图,AOB三个顶点的坐标分别为A(2,4),B(6,0),C(0,0),以原点O为位 似中心,把这个三角形缩小为原来的 ,可以得到ABO,已知点B的坐标是(3,0),则点A的坐标
31、是 .,答案 (1,2),解析 以原点O为位似中心,点B和点B是对应点,位似图形位于第一象限,点A的坐标为 (2,4),位似比为12,点A(1,2).,4.(2017甘肃兰州,17,4分)如图,四边形ABCD与四边形EFGH位似,位似中心是点O, = ,则= .,答案,解析 四边形ABCD与四边形EFGH位似, OEFOAB,OFGOBC, = = , = = .,C组 教师专用题组 考点一 相似的有关概念,1.(2017甘肃兰州,1,4分)已知2x=3y(y0),则下列结论成立的是 ( ) A. = B. = C. = D. =,答案 A 在等式左右两边同时除以2y(y0),可得 = ,故选
32、A.,2.(2016浙江杭州,2,3分)如图,已知直线abc,直线m分别交直线a,b,c于点A,B,C;直线n分别交 直线a,b,c于点D,E,F.若 = ,则 = ( )A. B. C. D.1,答案 B abc, = ,又 = , = ,故选B.,3.(2017辽宁阜新,14,3分)如图,在ABC中,若DEBC, = ,DE=4,则BC的长是 .,答案 10,解析 DEBC, = ,又 = , = , 又DE=4, = ,BC=10.,4.(2017吉林长春,11,3分)如图,直线abc,直线l1、l2与这三条平行线分别相交于点A、B、C 和点D、E、F.若ABBC=12,DE=3,则EF
33、的长为 .,答案 6,解析 直线abc,直线l1、l2与这三条平行线分别相交于点A、B、C和点D、E、F, = . ABBC=12,DE=3, = ,EF=6.,5.(2015甘肃兰州,17,5分)如果 = = =k(b+d+f0),且a+c+e=3(b+d+f),那么k= .,答案 3,解析 由题意得a=bk,c=dk,e=fk,则a+c+e=k(b+d+f)=3(b+d+f),故k=3.,考点二 相似三角形的性质与判定,1.(2017江苏连云港,4,3分)如图,已知ABCDEF,ABDE=12,则下列等式一定成立的是 ( )A. = B. = C. = D. =,答案 D 根据相似三角形对
34、应线段的比等于相似比,得 = = ;根据相似三角形的面积 比等于相似比的平方,得 = ;根据相似三角形的周长比等于相似比,得 = ;根据相似三角形对应角相等,得A=D.故选D.,2.(2017湖南永州,8,3分)如图,在ABC中,点D是AB边上的一点,若ACD=B,AD=1,AC=2, ADC的面积为1,则BCD的面积为 ( )A.1 B.2 C.3 D.4,答案 C A=A,ACD=B,ACBADC, = = =2,ACB和ADC的相似比为2,面积比为4, ACB的面积为4,BCD的面积为3.,3.(2017内蒙古通辽,7,3分)志远要在报纸上刊登广告,一块10 cm5 cm的长方形版面要付
35、广告 费180元,他要把该版面的边长都扩大为原来的3倍,在每平方厘米版面广告费相同的情况下,他 该付广告费 ( ) A.540元 B.1 080元 C.1 620元 D.1 800元,答案 C 他要把版面的边长扩大为原来的3倍,即所得长方形与原长方形相似,且相似比为 3, 新长方形的面积为3015, 该付广告费为(3015)(105)180=1 620(元).,4.(2018安徽,14,5分)矩形ABCD中,AB=6,BC=8.点P在矩形ABCD的内部,点E在边BC上,满足 PBEDBC.若APD是等腰三角形,则PE的长为 .,答案 3或,解析 在矩形ABCD中,AD=BC=8,在ABD中,由
36、勾股定理可得BD= =10,ABAD, 根据PBEDBC可知P点在线段BD上,当AD=PD=8时,由相似可得 = = PE= ; 当AP=PD时,P点为BD的中点,PE= CD=3,故答案为3或 .,思路分析 根据ABAD及已知条件先判断P点在线段BD上,再根据等腰三角形腰的情况分两 种情况:AD=PD=8;AP=PD,再由相似三角形中对应边的比相等求解即可.,难点突破 判断P点在线段BD上是解答本题的突破口.,5.(2017内蒙古包头,20,3分)如图,在ABC与ADE中,AB=AC,AD=AE,BAC=DAE,且点D 在AB上,点E与点C在AB的两侧,连接BE,CD,点M,N分别是BE,C
37、D的中点,连接MN,AM,AN.下列结论:ACDABE;ABCAMN;AMN是等边三角形;若点D是AB的中 点,则SACD=2SABE.其中正确的结论是 .(填写所有正确结论的序号),答案 ,解析 AB=AC,BAC=DAE,AD=AE,ACDABE,故正确;ABEACD, ABE=ACD,BE=CD,M、N分别是BE,CD的中点,BM=CN.又AB=AC,ABM ACN.AM=AN,即AMN为等腰三角形.故错误;ABMACN,BAM=CAN, BAM+NAD=CAN+NAD,即CAB=NAM, = =1,ABCAMN,故正确; D是AB的中点,AD= AB,ACD和ABC在AB上的高相等,S
38、ABC=2SACD,ACD ABE,SABC=2SABE.故错误. 综上,正确的结论是.,6.(2015广东梅州、汕尾,14,5分)已知:ABC中,点E是AB边的中点,点F在AC边上,若以A,E,F为 顶点的三角形与ABC相似,则需要增加的一个条件是 .(写出一个即可),答案 F是AC的中点(或EFBC或AEF=B或AEF=C或AFE=B或AFE=C),解析 答案不唯一,根据三角形相似的判定方法相应添加条件即可.,7.(2016泰安,23,3分)如图,矩形ABCD中,已知AB=6,BC=8,BD的垂直平分线交AD于点E,交BC于 点F,则BOF的面积为 .,答案,解析 在矩形ABCD中,AB=
39、CD=6,BC=8,C=90, BD=10.EF垂直平分BD,BO=DO=5.DBC=FBO,C=FOB=90, DBCFBO. = . = ,OF= . SBOF= 5= .,8.(2017贵州铜仁,20,10分)如图,已知BAC=EAD,AB=20.4,AC=48,AE=17,AD=40. 求证:ABCAED.,证明 AB=20.4,AC=48,AE=17,AD=40, = =1.2, = =1.2, = , BAC=EAD, ABCAED.,9.(2017湖南株洲,22,8分)如图,正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上,EF与 BC相交于点G,连接CF. (1)求证:
40、DAEDCF; (2)求证:ABGCFG.,证明 (1)EDF=ADC=90, EDF-ADF=ADC-ADF,即EDA=FDC, 又ED=FD,AD=CD,DAEDCF(SAS). (2)DAEDCF,CFD=AED=AFD=45, CFD+DFG=90,CFG=ABG=90. 又AGB=CGF,ABGCFG.,10.(2017江苏泰州,20,10分)如图,ABC中,ACBABC. (1)用直尺和圆规在ACB的内部作射线CM,使ACM=ABC(不要求写作法,保留作图痕迹); (2)若(1)中的射线CM交AB于点D,AB=9,AC=6,求AD的长.,解析 (1)如图所示:(2)ACM=ABC,
41、A=A, ACDABC, = ,又AB=9,AC=6, = , AD=4.,11.(2017新疆乌鲁木齐,23,10分)如图,AB是O的直径,CD与O相切于点C,与AB的延长线交 于点D. (1)求证:ADCCDB; (2)若AC=2,AB= CD,求O的半径.,解析 (1)证明:连接CO. CD是O的切线,OCD=90. (1分)又AB是O的直径,ACB=90, (2分) OA=OC,CAO=ACO. ACO=90-OCB,DCB=90-OCB,ACO=DCB, CAD=BCD,又ADC=CDB,ADCCDB. (5分) (2)设CD=x,则AB= x,OC=OB= x, OCD=90,OD
42、= = = x,BD=OD-OB= x. (6分) 由(1)知ADCCDB, = , 即 = ,CB=1, (8分) 在RtACB中,AB= = ,O的半径为 . (10分),12.(2016福建福州,25,12分)如图,在ABC中,AB=AC=1,BC= ,在AC边上截取AD=BC,连接 BD. (1)通过计算,判断AD2与ACCD的大小关系; (2)求ABD的度数.,解析 (1)AD=BC= , AD2= = . AC=1, CD=1- = , AD2=ACCD. (2)AD2=ACCD,AD=BC, BC2=ACCD,即 = . 又C=C, ABCBDC. = . 又AB=AC, BD=
43、BC=AD.,A=ABD,ABC=C=BDC. 设A=ABD=x,则BDC=A+ABD=2x, ABC=C=BDC=2x, 由A+ABC+C=x+2x+2x=180解得x=36. ABD=36.,13.(2016淄博,24,9分)如图,正方形ABCD的对角线相交于点O,点M,N分别是边BC,CD上的动点 (不与点B,C,D重合),AM,AN分别交BD于点E,F,且MAN始终保持45不变. (1)求证: = ; (2)求证:AFFM; (3)请探索:在MAN的旋转过程中,当BAM等于多少度时,FMN=BAM?写出你的探索结 论,并加以说明.,解析 (1)证明:由题意得DBC=MAN=45.又AE
44、F=BEM, AEFBEM. = ,又AEB=FEM,AEBFEM. EMF=EBA=45. AFM=90. =sin 45= . (2)证明:由(1)知AFM=90,AFFM. (3)当BAM=22.5时,FMN=BAM. 理由:MAN=45,BAM=22.5,BAD=90, DAN=BAM=22.5. AB=AD,ABM=AND=90, ABMADN.BM=DN. CB=CD,CM=CN. MCN=90,NMC=DBC=45.,MNBD.BFM=FMN. 又由(1)得BAM=BFM,FMN=BAM.,14.(2016四川成都,20,10分)如图,在RtABC中,ABC=90,以CB为半径作
45、C,交AC于点D,交 AC的延长线于点E,连接BD、BE. (1)求证:ABDAEB; (2)当 = 时,求tan E; (3)在(2)的条件下,作BAC的平分线,与BE交于点F,若AF=2,求C的半径.,解析 (1)证明:DE为C的直径,DBE=90, ABC=90,ABD=CBE,BC=CE,CBE=E, ABD=E,又BAD=EAB,ABDAEB. (2)过B作BHAE交AE于点H. 由 = ,设AB=4x,BC=3x, 在RtABC中,AC= = =5x, SABC= ACBH= ABBC,ACBH=ABBC,BH= = x,AH= = x,HE=AC+CE-AH=5x+3x- x= x, tan E= = . (3)过F作FMAE交AE于点M.,
