1、第六章 空间与图形 6.1 图形的轴对称、平移与旋转,中考数学 (山东专用),A组 20142018年山东中考题组 考点一 轴对称与折叠,五年中考,1.(2018淄博,3,4分)下列图形中,不是轴对称的是 ( ),答案 C C选项中的图形为中心对称图形,不是轴对称图形.,2.(2018青岛,6,3分)如图,三角形纸片ABC,AB=AC,BAC=90,点E为AB中点.沿过点E的直线折 叠,使点B与点A重合,折痕EF交BC于点F,已知EF= ,则BC的长是 ( ),A. B.3 C.3 D.3,答案 B AB=AC,BAC=90,B=45.由折叠的性质可得BAF=B=45,AFB=18 0-B-B
2、AF=90.在RtABF中,点E是AB的中点,EF是斜边AB上的中线,AB=2EF=2 = 3.在RtABC中,AB=AC=3,根据勾股定理得BC= =3 .,思路分析 利用ABC是等腰直角三角形和折叠的性质求出EF的长,进而求出AB的长,再利 用勾股定理求出BC的长.,3.(2017青岛,2,3分)下列四个图形中,是轴对称图形,但不是中心对称图形的是 ( ),答案 A 选项B、C中的图形既是轴对称图形,也是中心对称图形;选项D中的图形是中心对 称图形,而不是轴对称图形;只有选项A中的图形是轴对称图形,但不是中心对称图形.故选A.,思路分析 根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐一进行判断即可.
3、,4.(2017潍坊,4,3分)小莹和小博士下棋,小莹执圆子,小博士执方子.如图,棋盘中心方子的位置 用(-1,0)表示,右下角方子的位置用(0,-1)表示.小莹将第4枚圆子放入棋盘后,所有棋子构成一个 轴对称图形.她放的位置是 ( )A.(-2,1) B.(-1,1) C.(1,-2) D.(-1,-2),答案 B 根据题意描述,可建系如图,可知当第4枚圆子放入棋盘(-1,1)处时,所有棋子构成一 个轴对称图形,如图所示.,思路分析 根据题意描述,先确定坐标系,再根据轴对称图形的性质确定所放位置.,5.(2017菏泽,7,3分)如图,矩形ABOC的顶点A的坐标为(-4,5),D是OB的中点,
4、E为OC上的一点,当 ADE的周长最小时,点E的坐标是 ( )A. B. C.(0,2) D.,答案 B 作A关于y轴的对称点A,连接AD交y轴于E,此时ADE的周长最小, 四边形ABOC是矩形, ACOB,AC=OB,A的坐标为(-4,5), A(4,5),B(-4,0), D是OB的中点,D的坐标是(-2,0), 设直线AD的解析式为y=kx+b,k0, 根据题意得 解得 直线AD的解析式为y= x+ , 当x=0时,y= , 当ADE的周长最小时,点E的坐标为 .,6.(2018泰安,15,3分)如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=10,将矩形ABCD沿BE折叠,点A落在A处, 若E
5、A的延长线恰好过点C,则sinABE的值为 .,答案,解析 由折叠知BAE=A=90,AE=AE,AB=AB=6,故在RtABC中,由勾股定理,得AC= = =8,设AE=AE=x,则CE=x+8,DE=10-x,在RtCDE中,由勾股定理,得(x+8)2 =62+(10-x)2,解得x=2.在RtABE中,BE= =2 ,所以sinABE= = = .,7.(2017滨州,16,4分)如图,将矩形ABCD沿GH对折,点C落在Q处,点D落在AB边上的E处,EQ与 BC相交于点F.若AD=8,AB=6,AE=4,则EBF的周长为 .,答案 8,解析 设DH=x,则AH=8-x,由折叠可知EH=D
6、H=x, 在RtAEH中,由勾股定理,得AE2+AH2=EH2, 即42+(8-x)2=x2,解得x=5.则AH=8-x=3. 易证AHEBEF,因此 = = , 即 = = ,所以BF= ,EF= . 所以EBF周长为 + +2=8.,8.(2016潍坊,17,3分)已知AOB=60,点P是AOB的平分线OC上的动点,点M在边OA上,且OM =4,则点P到点M与到边OA的距离之和的最小值是 .,答案 2,解析 如图,OC平分AOB,作点M关于OC的对称点M,过点M作MNOA于点N,交OC于点P, 则MN的长度即为所求的最小值,在RtMON中,sinMON= ,所以MN=OMsin 60=4=
7、2 ,即所求的最小值为2 .,思路分析 作出点M关于OC的对称点M,过点M作边OA的垂线MN,MN的长度即为所 求的最小值.,9.(2018威海,21,8分)如图,将矩形ABCD(纸片)折叠,使点B与AD边上的点K重合,EG为折痕;点C 与AD边上的点K重合,FH为折痕.已知1=67.5,2=75,EF= +1.求BC的长.,解析 如图,过点K作KMEF,垂足为M.由题意,得3=180-21=45,4=180-22=30,BE=EK,KF=FC. 设KM=x,则EM=x,MF= x,x+ x= +1,解得x=1, EK= ,KF=2, BC=BE+EF+FC=EK+EF+KF=3+ + , 即
8、BC的长为3+ + .,10.(2018枣庄,20,8分)如图,在44的方格纸中,ABC的三个顶点都在格点上. (1)在图1中,画出一个与ABC成中心对称的格点三角形; (2)在图2中,画出一个与ABC成轴对称且与ABC有公共边的格点三角形; (3)在图3中,画出ABC绕着点C按顺时针方向旋转90后的三角形.,解析 (1)如图或图所示:图 图 (2)如图或图所示:,(3)如图所示:,考点二 图形的平移,1.(2018枣庄,7,3分)在平面直角坐标系中,将点A(-1,-2)向右平移3个单位长度得到点B,则点B关 于x轴的对称点B的坐标为 ( ) A.(-3,- 2) B.(2,2) C.(-2,
9、2) D.(2,-2),答案 B 点A(-1,-2)向右平移3个单位长度后得到点B(-1+3,-2),即B(2,-2),点B(2,-2)关于x 轴对称的点B的坐标为(2,2),故选B.,2.(2018济宁,6,3分)如图,在平面直角坐标系中,点A、C在x轴上,点C的坐标为(-1,0),AC=2,将Rt ABC先绕点C顺时针旋转90,再向右平移3个单位长度,则变换后点A对应的点的坐标是 ( )A.(2,2) B.(1,2) C.(-1,2) D.(2,-1),答案 A 如图所示,先根据题意画出ABC绕点C顺时针旋转90后的图形A1B1C.因为点C 的坐标为(-1,0),A1C=AC=2,所以点A
10、1的坐标为(-1,2);再画出将A1B1C向右平移3个单位长度后 的图形A2B2C2,所以点A2的坐标为(2,2).,3.(2017东营,9,3分)如图,把ABC沿着BC的方向平移到DEF的位置,它们重叠部分的面积是 ABC面积的一半,若BC= ,则ABC移动的距离是 ( )A. B. C. D. -,答案 D 由题意知ABDE,CEHCBA.由“相似三角形的面积比等于相似比的平 方”可得 = ,又BC= ,CE= ,BE=BC-CE= - .即ABC移动的距离是 -.,思路分析 先根据平移的性质,得到CEHCBA,再根据相似三角形的面积比等于相似比 的平方,得到CE与CB的关系,从而求得平移
11、距离.,4.(2016菏泽,5,3分)如图,A、B的坐标分别为(2,0),(0,1),若将线段AB平移至A1B1,则a+b的值为 ( )A.2 B.3 C.4 D.5,答案 A 由A点平移前后的横坐标分别为2和3,可知A点向右平移了1个单位;由B点平移前后 的纵坐标分别为1和2,可知B点向上平移了1个单位,因而可得线段AB向右平移1个单位,向上平 移1个单位得到线段A1B1,则a=0+1=1,b=0+1=1,a+b=1+1=2,故选择A.,思路分析 点的坐标在变换中的规律:(1)平移:左右平移时横坐标左减右加,纵坐标不变;上下 平移时纵坐标上加下减,横坐标不变;(2)关于坐标轴对称,与其同名的
12、坐标不变,另一个坐标变 为相反数;(3)关于原点对称,其横、纵坐标均互为相反数;(4)点(x,y)关于原点顺时针旋转90后 的点的坐标为(y,-x),点(x,y)关于原点逆时针旋转90后的点的坐标为(-y,x).注意:研究有关点旋 转时点的坐标变化规律时,若旋转方向不明,需分顺时针和逆时针两种情况进行讨论.,5.(2016青岛,5,3分)如图,线段AB经过平移得到线段AB,其中点A,B的对应点分别为点A,B,这 四个点都在格点上.若线段AB上有一个点P(a,b),则点P在AB上的对应点P的坐标为 ( )A.(a-2,b+3) B.(a-2,b-3) C.(a+2,b+3) D.(a+2,b-3
13、),答案 A 线段AB向左平移2个单位长度,向上平移3个单位长度得到线段AB,由此可知线段 AB上的点P(a,b)的对应点P的坐标为(a-2,b+3),故选A.,考点三 图形的旋转,1.(2018青岛,1,3分)观察下列四个图形,中心对称图形是 ( ),答案 C 在平面内,如果一个图形绕某个点旋转180后能与自身重合,那么这个图形叫做中 心对称图形,根据定义可知选项C是中心对称图形.,2.(2018青岛,7,3分)如图,将线段AB绕点P按顺时针方向旋转90,得到线段AB,其中点A、B的对 应点分别是点A、B,则点A的坐标是 ( )A.(-1,3) B.(4,0) C.(3,-3) D.(5,-
14、1),答案 D 将点A绕点P按顺时针方向旋转90得到点A,如图所示,则点A的坐标为(5,-1).,方法总结 旋转作图的一般步骤: (1)在已知图形上找出关键点; (2)作出这些关键点的对应点,对应点的作法:将各关键点与旋转中心连接;将上述连线绕旋转 中心旋转一定的角度即可得到各关键点的对应点; (3)顺次连接各对应点.,3.(2018济南,9,4分)如图,在平面直角坐标系中,ABC的顶点都在方格线的格点上,将ABC绕 点P顺时针旋转90得到ABC,则点P的坐标为 ( )A.(0,4) B.(1,1) C.(1,2) D.(2,1),答案 C 如图,连接AA,CC,分别作AA和CC的垂直平分线l
15、1,l2,则l1与l2的交点为(1,2),即点P的 坐标为(1,2).,4.(2017菏泽,5,3分)如图,将RtABC绕直角顶点C顺时针旋转90,得到ABC,连接AA,若1= 25,则BAA的度数是 ( )A.55 B.60 C.65 D.70,答案 C 根据旋转的性质可得AC=AC,ACA=90,所以ACA是等腰直角三角形,所以 CAA=CAA=45,所以BAC=45-25=20,由旋转的性质得BAC=BAC=20,所以 BAA=BAC+CAA=20+45=65.,思路分析 由旋转的性质可得AC=AC,从而得出ACA是等腰直角三角形,从而可得CAA= CAA=45,故可求出BAC的度数,又
16、由旋转的性质可知BAC=BAC,从而求出BAA 的度数.,5.(2017枣庄,2,3分)将数字“6”旋转180,得到数字“9”,将数字“9”旋转180,得到数字 “6”,现将数字“69”旋转180,得到的数字是 ( ) A.96 B.69 C.66 D.99,答案 B 根据数字“6”和“9”的特点及旋转的定义知,数字“69”旋转180得到“69”. 故选B.,思路分析 直接利用中心对称图形的性质结合“69”两个数字的特点得出答案.,6.(2017青岛,5,3分)如图,若将ABC绕点O逆时针旋转90,则顶点B的对应点B1的坐标为 ( )A.(-4,2) B.(-2,4) C.(4,-2) D.(
17、2,-4),答案 B 如图.点B1的坐标为(-2,4).故选B.,7.(2017聊城,11,3分)如图,将ABC绕点C顺时针旋转,使点B落在AB边上点B处,此时,点A的对 应点A恰好落在BC的延长线上,下列结论错误的是 ( )A.BCB=ACA B.ACB=2B C.BCA=BAC D.BC平分BBA,答案 C 由旋转的性质可知BCB=ACA,BC=BC,B=CBA,BAC=BAC,ACB= ACB, 由BC=BC可得B=CBB, CBB=CBA, BC平分BBA, 又ACB=B+CBB=2B, ACB=2B.由题意推不出BCA=BAC,C错误.,8.(2017德州,11,3分)如图放置的两个
18、正方形,大正方形ABCD的边长为a,小正方形CEFG的边长 为b(ab),M在BC边上,且BM=b,连接AM,MF,MF交CG于点P,将ABM绕点A旋转至ADN,将 MEF绕点F旋转至NGF.给出以下五个结论:MAD=AND;CP=b- ;ABM NGF; =a2+b2;A,M,P,D四点共圆. 其中正确的个数是 ( )A.2 B.3 C.4 D.5,答案 D 由ABM绕点A旋转至ADN,可得AND=AMB,在正方形ABCD中,ADBC, AMB=MAD, MAD=AND,故正确; 由FGCM,易得MCPFGP, = ,即 = , 解得CP=b- ,故正确; BM=CE=b,BM+CM=CE+
19、CM,即BC=EM, AB=EM.又B=E,BM=EF, ABMMEF. 又NGF是由MEF旋转所得的, NGFMEF, ABMNGF,故正确; 由旋转的性质及ABMMEF,得AN=AM=MF=NF,MAN=MAD+DAN=AND+ DAN=90,四边形AMFN是正方形, =AM2=AB2+BM2=a2+b2,故正确;连接AP,由AMP=ADP=90,可得RtAMP与RtADP的外接圆的圆心均为斜边AP的中点,半径均为斜边AP长的一半,即A,M,P,D四点共圆,故正确.,9.(2016德州,12,3分)在矩形ABCD中,AD=2AB=4,E是AD的中点,一块足够大的三角板的直角顶 点与点E重合
20、,将三角板绕点E旋转,三角板的两直角边分别交AB,BC(或它们的延长线)于点M, N,设AEM=(090),给出下列四个结论: AM=CN;AME=BNE;BN-AM=2;SEMN= .上述结论中正确的个数是 ( )A.1 B.2 C.3 D.4,答案 C 如图,作EFBC于点F,则有AB=AE=EF=FC,AEM+DEN=90,FEN+DEN=90, AEM=FEN. 在RtAME和RtFNE中,RtAMERtFNE, AM=FN,MB=CN. AM不一定等于BM,AM不一定等于CN,错误;,RtAMERtFNE, AME=BNE,正确; AD=BC,AD=2AB=4,BC=4,AB=2,
21、BN-AM=BC-CN-AM=BC-BM-AM=BC-(BM+AM)=BC-AB=4-2=2,正确; RtAMERtFNE,ME=NE. cos = ,ME= = , SEMN= MENE= ME2= = ,正确,故选C.,10.(2018枣庄,16,4分)如图,在正方形ABCD中,AD=2 ,把边BC绕点B逆时针旋转30得到线段 BP,连接AP并延长交CD于点E,连接PC,则三角形PCE的面积为 .,答案 9-5,解析 四边形ABCD是正方形,ABC=90,把边BC绕点B逆时针旋转30得到线段BP, PB=BC=AB,PBC=30,ABP=60,ABP是等边三角形,BAP=60,AP=AB=
22、AD=2 .在RtADE中,DAE=30,AE=4,DE=2,CE=2 -2,PE=4-2 ,过点P作PFCD于F(如 图),在RtPFE中,PEF=60,PE=4-2 ,PF= PE=2 -3,SPCE = CEPF= (2 -2) (2 -3)=9-5 . 故答案为9-5 .,11.(2016枣庄,17,4分)如图,在ABC中,C=90,AC=BC= ,将ABC绕点A顺时针方向旋转6 0到ABC的位置,连接CB,则CB= .,答案 -1,解析 连接BB,延长BC交AB于点H,C=90,AC=BC= ,AB= =2,由题意可 知:AB=AB=2,且BAB=60,ABB为等边三角形,BB=AB
23、,ABB=60,又BC=BC,BC =AC,BBCABC, BBC=ABC=30,BHAB,且AH= AB=1, BH= = ,ACB=90,AH=BH, CH= AB=1, CB=BH-CH= -1,故答案为 -1.,规律总结 解这类题通常抓住变换前后的全等图形中的对应边、对应角相等.当旋转角为60 时,可以得到等边三角形;当旋转角为45时,可以得到等腰直角三角形.,12.(2017潍坊,24,12分)边长为6的等边ABC中,点D、E分别在AC、BC边上,DEAB,EC=2 . (1)如图1,将DEC沿射线EC方向平移,得到DEC,边DE与AC的交点为M,边CD与ACC 的平分线交于点N.当
24、CC多大时,四边形MCND为菱形?并说明理由; (2)如图2,将DEC绕点C旋转(0360),得到DEC,连接AD、BE.边DE的中点为P. 在旋转过程中,AD和BE有怎样的数量关系?并说明理由; 连接AP,当AP最大时,求AD的值.(结果保留根号)图1 图2,解析 (1)当CC= 时,四边形MCND为菱形. (1分) 理由:由平移的性质得CDCD,DEDE. ABC为等边三角形,B=ACB=60, ACC=180-60=120. CN为ACC的平分线,NCC=60. (2分) ABDE,DEDE,ABDE, DEC=B=60, (3分) DEC=NCC,DECN, 四边形MCND为平行四边形
25、. (4分) MEC=MCE=60,NCC=NCC=60, MCE和NCC为等边三角形,MC=CE,NC=CC. 又EC=EC=2 ,CC= ,CC=CE. MC=CN,四边形MCND为菱形. (5分) (2)AD=BE. (6分),理由:当180时,由旋转的性质得ACD=BCE. 由题意易知,AC=BC,CD=CE, ACDBCE,AD=BE; (8分) 当=180时,AD=AC+CD,BE=BC+CE, 又AC=BC,CD=CE,AD=BE. 综上可知,AD=BE. (9分) 当A、C、P三点共线时AP最大,如图.此时,AP=AC+CP. (10分) 在等边DCE中,由P为DE的中点,得A
26、PDE,PD= ,CP=3,AP=6+3=9. (11分) 在RtAPD中,AD= = =2 . (12分),考点四 尺规作图,1.(2018潍坊,6,3分)如图,木工师傅在板材边角处作直角时,往往使用“三弧法”,其作法是: (1)作线段AB,分别以A,B为圆心,以AB长为半径作弧,两弧的交点为C; (2)以C为圆心,仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D; (3)连接BD,BC. 下列说法不正确的是 ( )A.CBD=30 B.SBDC= AB2 C.点C是ABD的外心 D.sin2A+cos2D=1,答案 D 由(1)可知,AB=AC=BC,ABC为等边三角形, A=ACB=ABC=60
27、,SABC= AB2. 由(2)可知CD=AC=BC=AB, CBD=D= ACB=30,SBDC=SABC= AB2, 点C是ABD的外心. 故选项A、B、C正确,故选D.,思路分析 先判断ABC的形状,再用边长表示出ABC的面积,由ABC与CBD等底同高, 得SBDC=SABC.,2.(2018东营,15,4分)如图,在RtABC中,B=90,以顶点C为圆心,适当长为半径画弧,分别交 AC,BC于点E,F,再分别以点E,F为圆心,大于 EF的长为半径画弧,两弧交于点P,作射线CP交 AB于点D.若BD=3,AC=10,则ACD的面积是 .,答案 15,解析 由作图知CD是ACB的平分线,点
28、D到ACB两边的距离相等,又B=90,BD=3, 点D到AC边的距离为3,ACD的面积= AC3= 103=15.,3.(2017济宁,14,3分)如图,在平面直角坐标系中,以O为圆心,适当长为半径画弧,交x轴于点M,交 y轴于点N,再分别以点M,N为圆心,大于MN长为半径画弧,两弧在第二象限交于点P.若点P的坐 标为(a,b),则a与b的数量关系为 .,答案 a+b=0,解析 由题意可得射线OP为MON的平分线,其所在直线的解析式为y=-x,故有b=-a,即a+b=0.,4.(2018青岛,15,4分)已知:如图,ABC,射线BC上一点D. 求作:等腰PBD,使线段BD为等腰PBD的底边,点
29、P在ABC内部,且点P到ABC两边的距 离相等.,解析 如图所示:等腰PBD即为所求.,思路分析 根据作图要求可知,点P在线段BD的垂直平分线上,且点P在ABC的平分线上,所 以点P是线段BD的垂直平分线与ABC的平分线的交点. 疑难突破 根据题意,由两个条件确定点P的位置.,B组 20142018年全国中考题组,考点一 轴对称与折叠,1.(2018辽宁沈阳,4,2分)在平面直角坐标系中,点B的坐标是(4,-1),点A与点B关于x轴对称,则点 A的坐标是 ( ) A.(4,1) B.(-1,4) C.(-4,-1) D.(-1,-4),答案 A 关于x轴对称的点,横坐标相同,纵坐标互为相反数.
30、,2.(2018河北,3,3分)图中由“ ”和“ ”组成轴对称图形,该图形的对称轴是直线 ( )A.l1 B.l2 C.l3 D.l4,答案 C 如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合,这个图形叫做轴对 称图形,由此知该图形的对称轴是直线l3,故选C.,3.(2018天津,10,3分)如图,将一个三角形纸片ABC沿过点B的直线折叠,使点C落在AB边上的点 E处,折痕为BD,则下列结论一定正确的是 ( )A.AD=BD B.AE=AC C.ED+EB=DB D.AE+CB=AB,答案 D 由折叠的性质知,BC=BE,AE+CB=AB.故选D.,4.(2017四川内江,6,3分)下
31、列图形:平行四边形、矩形、菱形、圆、等腰三角形,这些图形中只 是轴对称的有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,答案 A 矩形、菱形、圆既是轴对称又是中心对称图形,平行四边形是中心对称图形,可能 是轴对称图形;只有等腰三角形只是轴对称图形,故选A.,5.(2017内蒙古呼和浩特,3,3分)下图中序号(1)(2)(3)(4)对应的四个三角形,都是ABC这个图形 进行了一次变换之后得到的,其中是通过轴对称得到的是 ( )A.(1) B.(2) C.(3) D.(4),答案 A 根据轴对称的性质可知,序号(1)对应的三角形与ABC的对应点所连的线段被一 条直线(对称轴)垂直平分,故选A.
32、,6.(2017辽宁营口,9,3分)如图,在ABC中,AC=BC,ACB=90,点D在BC上,BD=3,DC=1,点P是 AB上的动点,则PC+PD的最小值为 ( ),A.4 B.5 C.6 D.7,答案 B 过点C作COAB于O,延长CO到C,使OC=OC,连接DC,交AB于P,连接CP. 此时DP+CP=DP+PC=DC的值最小. DC=1,BD=3,BC=4, 连接BC,由对称性可知CBO=CBO=45, CBC=90,CBBC,BCC=BCC=45, BC=BC=4,根据勾股定理可得DC= = =5.故选B.,7.(2018四川成都,24,4分)如图,在菱形ABCD中,tan A= ,
33、M,N分别在边AD,BC上,将四边形AMNB 沿MN翻折,使AB的对应线段EF经过顶点D,当EFAD时, 的值为 .,答案,解析 延长NF与DC交于点H, ADF=90,A+FDH=90, DFN+DFH=180,A+B=180,B=DFN, A=DFH, FDH+DFH=90,NHDC. 在RtEDM中,tan E=tan A= , 设DM=4k(k0),则DE=3k,EM=5k, AD=9k=DC,DF=6k. tan A=tanDFH= , 则sinDFH= , DH= DF= k,CH=9k- k= k, cos C=cos A= = , CN= CH=7k,BN=2k, = .,思路
34、分析 延长NF与DC交于点H,由菱形的性质及翻折变换的性质得出NHDC,构造出Rt NHC,在RtNHC和RtDHF中,利用边角关系求得相应线段的长,再求出BN,CN的长,得出答 案.,解题关键 本题主要考查了菱形的性质,翻折变换以及解直角三角形,灵活运用锐角三角函数 表示线段之间的关系是解题的关键.,8.(2017四川成都,25,4分)如图1,把一张正方形纸片对折得到长方形ABCD,再沿ADC的平分 线DE折叠,如图2,点C落在点C处,最后按图3所示方式折叠,使点A落在DE的中点A处,折痕是 FG.若原正方形纸片的边长为6 cm,则FG= cm.,答案,解析 如图,连接AA,作GMAD于点M
35、,作ANAD于点N,设AA与FG交于点O,由题意知DN= DC= cm,AN=AD-DN= cm,AN= cm.在RtAAN中,AA= = cm,由对 称性得FG垂直平分AA,1+3=90,又2+3=90,1=2, RtANARtGMF, = ,GF= cm.,9.(2017甘肃兰州,26,10分)如图1,将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠,顶点C落到点 E处,BE交AD于点F. (1)求证:BDF是等腰三角形; (2)如图2,过点D作DGBE,交BC于点G,连接FG交BD于点O. 判断四边形BFDG的形状,并说明理由; 若AB=6,AD=8,求FG的长.,解析 (1)证明:由折叠得
36、,BDCBDE, DBC=DBF. (1分) 又四边形ABCD是矩形,ADBC, DBC=FDB. (2分) DBF=FDB. DF=BF. BDF是等腰三角形. (3分) (2)四边形BFDG是菱形. (4分) 理由如下: 四边形ABCD是矩形, FDBG, (5分) 又DGBE, 四边形BFDG是平行四边形. (6分) 又DF=BF,四边形BFDG是菱形. (7分) 四边形ABCD是矩形,A=90, BD= = =10. 四边形BFDG是菱形, GFBD,FG=2OF,OD= BD=5. (8分) FDO=BDA,FOD=A=90, OFDABD. (9分) = ,即 = ,OF= . F
37、G=2OF= . (10分),思路分析 (1)利用折叠及矩形的性质得到角的等量关系,再用等角对等边转化成边的等量关 系;(2)先判断四边形BFDG是平行四边形,再利用一组邻边相等即可判断四边形BFDG是菱形; (3)利用相似三角形的性质,把线段OF与矩形的边联系起来,求得线段OF的长,再利用菱形的性 质求出FG的长.,10.(2017江苏徐州,27,9分)如图,将边长为6的正三角形纸片ABC按如下顺序进行两次折叠与展 平后,得折痕AD,BE(如图),点O为其交点. (1)探求AO与OD的数量关系,并说明理由; (2)如图,若P,N分别为BE,BC上的动点, 当PN+PD的长度取得最小值时,求B
38、P的长度; 如图,若点Q在线段BO上,BQ=1,则QN+NP+PD的最小值= .,解析 (1)AO=2OD. 理由:ABC是等边三角形, BAO=ABO=OBD=30, AO=OB, BD=CD, ADBC, BDO=90, OB=2OD, OA=2OD. (2)作点D关于BE的对称点D,过D作DNBC分别交BE、BC于P、N,连接BD,则此时PN+PD的长度取得最小值,BE垂直平分DD, BD=BD, ABC=60, BDD是等边三角形, BN= BD= , PBN=30, = , PB= . .提示:作Q关于BC的对称点Q,作D关于BE的对称点D, 连接PD、QN,QD,则QD即为QN+N
39、P+PD的最小值. 根据轴对称的定义可知:QBN=QBN=30,QBQ=60, BQQ为等边三角形,BDD为等边三角形, DBQ=90, 在RtDBQ中,DQ= = . QN+NP+PD的最小值为 .,思路分析 (1)根据等边三角形的性质得到BAO=ABO=OBD=30,从而得到AO=OB, 根据直角三角形的性质即可得到结论; (2)作点D关于BE的对称点D,过D作DNBC分别交BE、BC于P、N,连接BD,则此时PN+ PD的长度取得最小值,根据线段垂直平分线的性质知BD=BD,从而推出BDD是等边三角形, 得到BN= BD= ,从而可得结论; 作Q关于BC的对称点Q,作D关于BE的对称点D
40、,连接PD、QN,QD,则QD即为QN+NP+PD 的最小值.根据轴对称的定义得到QBN=QBN=30,QBQ=60,从而得到BQQ为等边 三角形,BDD为等边三角形,解直角三角形即可得到结论.,解题关键 本题考查了等边三角形的性质和判定,解直角三角形,最短路径问题,根据轴对称的 定义,找到相等的线段是解题的关键.,考点二 图形的平移,1.(2018江西,5,3分)小军同学在网格纸上将某些图形进行平移操作,他发现平移前后的两个图 形所组成的图形可以是轴对称图形.如图所示,现在他将正方形ABCD从当前位置开始进行一 次平移操作,平移后的正方形的顶点也在格点上,则使平移前后的两个正方形组成轴对称图
41、形 的平移方向有 ( )A.3个 B.4个 C.5个 D.无数个,答案 C 如图所示,正方形ABCD可以向上、向下、向右以及沿射线AC或BD方向平移,平移 后的两个正方形组成轴对称图形.故选C.,2.(2018河北,15,2分)如图,点I为ABC的内心,AB=4,AC=3,BC=2,将ACB平移使其顶点与I重 合,则图中阴影部分的周长为 ( )A.4.5 B.4 C.3 D.2,答案 B 如图,连接AI,BI,点I为ABC的内心,AI平分BAC,BI平分ABC,ACIE, CAI=AIE,EAI=AIE,AE=EI.同理,BF=FI,阴影部分的周长=EI+FI+EF=AE+BF+ EF=AB,
42、 AB=4,阴影部分的周长为4,故选B.,3.(2017贵州铜仁,6,4分)如图,ABC沿着BC方向平移得到ABC,点P是直线AA上任意一点, 若ABC,PBC的面积分别为S1,S2,则下列关系正确的是 ( )A.S1S2 B.S1S2 C.S1=S2 D.S1=2S2,答案 C ABC沿着BC方向平移得到ABC, AABC, 又点P是直线AA上任意一点,ABC,PBC的高相等, S1=S2,故选C.,4.(2017浙江舟山,7,3分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点A( ,0),B(1,1).若平移点A到 点C,使以点O,A,C,B为顶点的四边形是菱形,则正确的平移方法是 ( ),A.
43、向左平移1个单位,再向下平移1个单位 B.向左平移(2 -1)个单位,再向上平移1个单位 C.向右平移 个单位,再向上平移1个单位 D.向右平移1个单位,再向上平移1个单位,答案 D 如图,OB= = ,OA= ,AB= = ,以点O,A,C,B 为顶点的平行四边形有以下三种平移方法:将点A向右移动1个单位,再向上移动1个单位得 点C1( +1,1),此时四边形OAC1B是菱形,故D选项符合条件,C选项不符合条件;将点A向左移 动( +1)个单位,再向向上移动1个单位得点C2(1- ,1),此时四边形OABC2仅仅是平行四边形, 不是菱形,故B选项不符合条件,将点A向左移动1个单位,再向向下移
44、动1个单位得点C3( -1, -1),此时四边形OAC1B仅仅是平行四边形,不是菱形,故A选项不符合条件,故选D.,5.(2017广西百色,16,3分)如图,在正方形OABC中,O为坐标原点,点C在y轴正半轴上,点A的坐标 为(2,0),将正方形OABC沿着OB方向平移 OB个单位,则点C的对应点坐标是 .,答案 (1,3),解析 在正方形OABC中,O为坐标原点,点C在y轴正半轴上,点A的坐标为(2,0), OC=OA=2,C(0,2), 将正方形OABC沿着OB方向平移 OB个单位,即将正方形OABC先向右平移1个单位,再向上 平移1个单位, 点C的对应点坐标是(1,3).,6.(2017
45、安徽,18,8分)如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,给出了格点ABC 和DEF(顶点为网格线的交点),以及过格点的直线l. (1)将ABC向右平移两个单位长度,再向下平移两个单位长度,画出平移后的三角形; (2)画出DEF关于直线l对称的三角形; (3)填空:C+E= .,解析 (1)如图所示. (3分) (2)如图所示. (6分)(3)45. (8分) 提示:A1C1F1=C+E,连接A1F1,易证三角形A1F1C1是等腰直角三角形且A1C1F1=45.,考点三 图形的旋转,1.(2018新疆乌鲁木齐,6,4分)在平面直角坐标系xOy中,将点N(-1,-2)绕点O旋转180,得到的对 应点的坐标是 ( ) A.(1,2) B.(-1,2) C.(-1,-2) D.(1,-2),答案 A 将点N绕点O旋转180后得到的对应点与点N关于原点对称,故对应点的坐标为(1, 2),故选A.,2.(2018云南昆明,5,3分)如图,点A的坐标为(4,2).将点A绕坐标原点O旋转90后,再向左平移1个 单位长度得到点A,则过点A的正比例函数的解析式为 .,
