1、集合结构图,集合,集合含义与表示,集合间关系,集合基本运算,列举法,描述法,图示法,子集,真子集,补集,并集,交集,(1)确定性：集合中的元素必须是确定的.,1.集合中元素的性质:,(2)互异性：一个给定的集合中的元素是互不相同的.,(3)无序性：集合中的元素是没有先后顺序的.,自然数集（非负整数集）：记作 N,正整数集：记作N*或N+,整数集：记作 Z,有理数集：记作 Q,实数集：记作 R,2.常用的数集及其记法,（含0）,（不含0）,ex1.集合A=1,0,x,且x2A,则x,-1,子集：AB任意xA xB. 真子集：,AB xA，xB，但存在 x0B且x0A.,集合相等：AB AB且BA
2、.,空集：.,性质：A，若A非空， 则A.AA. AB，BCAC.,3.集合间的关系:,子集、真子集个数：,一般地，集合A含有n个元素，,A的非空真子集 个.,则A的子集共有 个;,A的真子集共有 个;,A的非空子集 个;,2n,2n1,2n-1,2n-2,4.并集:,5.交集:,6.全集:,一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集.,7.补集:,类比并集的相关性质,并集的性质 交集的性质,知识结构,概念,三要素,图象,性质,指数函数,应用,大小比较,方程解的个数,不等式的解,实际应用,对数函数,第二章,函数的概念,函数的三要素：定义域，值域，对应法则,A
3、.B是两个非空的集合,如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，这样的对应叫做从A到B的一个函数。,函数的定义域：,使函数有意义的x的取值范围。,求定义域的主要依据,1、分式的分母不为零. 2、偶次方根的被开方数不小于零. 3、零次幂的底数不为零. 4、对数函数的真数大于零. 5、指、对数函数的底数大于零且不为1.,6、实际问题中函数的定义域例如,一个函数的三要素为：定义域、对应关系和值域，值域是由对应法则和定义域决定的,判断两个函数相等的方法：,1、定义域是否相等 （定义域不同的函数，不是相等的函数）,2、对应法则是否一致 （对应关系不同，两个函
4、数也不同）,例、下列函数中哪个与函数y=x相等,1、已知函数f (x)=,x+2, (x1),x2, (1x2),2x, ( x2 ),若f(x)=3, 则x的值是( ),A. 1,B. 1或,C. 1, ,D.,D,函数的性质：单调性,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当 x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数.,一般地，设函数 f(x)的定义域为I:,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当 x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.,3.(定义法)证明
5、函数单调性的步骤:,简单函数的单调性,1、一次函数 y=kx+b 2、二次函数 y=ax2+bx+c 3、反比例函数 y=k/x 4、指数函数 y=ax 5、对数函数 y=logax 6、幂函数 y=xa,证明：,设x1，x2（0，+），且x1x2，则,f（x）在定义域 上是减函数吗？,减函数,例1：判断函数f(x)=1/x在区间(0,+)上是增函数还是减函数？并证明你的结论。,若二次函数 在区间 上单调递增，求a的取值范围。,解：二次函数 的对称轴为 ,由图象可知只要 ，即 即可.,练习,已知函数 y = | x 2 x |， ( 1 ) 作出函数的草图；( 2 ) 写出函数的单调区间。,由
6、图知：此函数的单调递增区间为,单调递减区间为,单调性的应用：,一、函数的奇偶性定义,前提条件：定义域关于数“原点”对称。,1、奇函数 f (-x)= - f (x) 或 f (-x)+f (x) = 0,2、偶函数 f (-x) = f (x) 或f (-x) - f (x) = 0,二、奇函数、偶函数的图象特点,1、奇函数的图象关于原点成中心对称图形。,2、偶函数的图象关于y轴成轴对称图形。,奇函数里的定值：如果奇函数y=f(x)的 定义域内有0，则f(0)=0.,如果函数的定义域不关于原点对称，则 此函数既不是奇函数，又不是偶函数。,奇函数关于原点对称的两个区间上的 单调性一致；偶函数则相
7、反。,利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否 关于原点对称；确定f(-x)与f(x)的关系作出相应结论：若f(-x)=f(x) 则f(x)是偶函数若f(-x)=-f(x) 则f(x)是奇函数.,已知 f ( x ) 是奇函数，当 x 0 时， f ( x ) = x 2 2x，求当 x 0 时， f ( x ) 的解析式，并画出此函数 f ( x ) 的图象。,解： f ( x ) 是奇函数, f (x ) = f ( x ),即 f ( x ) = f ( x ),当 x 0 时， f ( x ) = x 2 2x, 当 x 0 时， f ( x ) =
8、f ( x ),= (x ) 2 2(x ) ,= ( x 2 + 2x ),例题,基本初等函数, aras=ar+s (a0,r,sQ)； (ar)s=ars (a0,r,sQ)； (ab)r=ar br (a0,b0,rQ).,指数幂的运算,7,18,1. 对数的运算性质:,(2),(3),如果 a 0，a 1，M 0， N 0 有：,指数函数,1、定义域 . 2、值域,3、图象,a1,0a1,R+,y,x,o,1,y,x,o,1,对数函数,1、定义域 . 2、值域,3、图象,a1,0a1,R+,1,1,指数函数与对数函数,在R上是增函数,在R上是减函数,在( 0 , + )上是增函数,在
9、( 0 , + )上是减函数,(1, 0),(0, 1),单调性相同,指数函数与对数函数,B,总结：在第一象限， 越靠近y轴，底数就越大,指数函数与对数函数,若图象C1，C2，C3，C4对应y=logax, y=logbx, y=logcx, y=logdx,则（ ）A.0ab1cd B.0ba1dcC.0dc1ba D.0cd1ab,D,规律：在x轴 上方图象自左 向右底数越来 越大！,在同一平面直角坐标系内作出幂函数y=x，y=x2，y=x3，y=x1/2，y=x-1的图象：,（1）图象都过（0，0）点和（1，1）点；,（2）在第一象限内，函数值随x 的增大而增大，即在（0，+)上是增函
10、数。,（1）图象都过（1，1）点；,（2）在第一象限内，函数值随x 的增大而减小，即在（0，+）上是减函数。,（3）在第一象限，图象向上与y 轴无限接近，向右与 x 轴无限接近。,三、幂函数的性质:,.所有的幂函数在(0,+)都有定义,并且函数图象都通过点(1,1);,幂函数的定义域、奇偶性、单调性，因函数式中的不同而各异.,如果0,则幂函数 在(0,+)上为减函数。,3.如果0,则幂函数在(0,+)上为增函数;,2.当为奇数时,幂函数为奇函数,当为偶数时,幂函数为偶函数.,对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点。,第三章函数与方程,若f(x)是单调函数
11、,函数与方程,？函数在区间（a,b）上有零点，则f(a)f(b)0,？函数在区间（a,b）上有f(a)f(b)0，则在区间（a,b）上有零点,如何判断函数零点的个数 如何判断零点所在的区间,？,二分法的步骤,例：关于 x 的方程 x 2 ( k + 1 )x + 2k = 0 的两根异号，则实数 k 的取值 范围是 _,解： 令 f ( x ) = x 2 ( k + 1 )x + 2k,( , 0 ),由图可知： f ( 0 ) 0,例：已知方程(m)x2mx至少有一个正根，求实数m的范围,解: 若m,方程为x，x符合条件,若m,设f(x)(m)x2mx, f()， 方程f(x)无零根,如方程有异号两实根，则x1x2，m, m,由此得，实数m的范围是m .,实际问题,数学模型,数学模型的解,实际问题的解,答,求解数学应用问题的思路和方法，我们可以用 示意图表示为：,数学模型,函数模型及其应用,
