1、15 向心加速度学习目标 1.理解向心加速度的概念.2.知道向心加速度和线速度、角速度的关系式.3.能够运用向心加速度公式求解有关问题.一、向心加速度的方向1.定义：任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指向圆心，这个加速度叫做向心加速度.2.向心加速度的作用：向心加速度的方向总是与速度方向垂直，故向心加速度的作用只改变速度的方向，对速度的大小无影响.二、向心加速度的大小1.向心加速度公式(1)基本公式 an 2r.v2r(2)拓展公式 an r v.4 2T22.向心加速度的公式既适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动.1.判断下列说法的正误.(1)匀速圆周运动的加速度始终不变.( )(2)
2、匀速圆周运动是匀变速运动.( )(3)匀速圆周运动的向心加速度的方向指向圆心，大小不变.( )(4)根据 an 知加速度 an与半径 r成反比.( )v2r(5)根据 an 2r知加速度 an与半径 r成正比.( )2.在长 0.2m的细绳的一端系一小球，绳的另一端固定在水平桌面上，使小球以 0.6m/s的速度在桌面上做匀速圆周运动，则小球运动的角速度为_，向心加速度为_.答案 3rad/s 1.8 m/s 2解析 角速度 rad/s3 rad/svr 0.60.2小球运动的向心加速度 an m/s21.8 m/s 2.v2r 0.620.2【考点】向心加速度公式的有关计算【题点】应用向心加速
3、度公式的计算2一、向心加速度及其方向如图 1甲所示，表示地球绕太阳做匀速圆周运动(近似的)；如图乙所示，表示光滑桌面上一个小球由于细线的牵引，绕桌面上的图钉做匀速圆周运动.图 1(1)在匀速圆周运动过程中，地球、小球的运动状态发生变化吗？若变化，变化的原因是什么？(2)地球受到的力沿什么方向？小球受到几个力的作用，合力沿什么方向？(3)地球和小球的加速度方向变化吗？匀速圆周运动是一种什么性质的运动呢？答案 (1)地球和小球的速度方向不断发生变化，所以运动状态发生变化.运动状态发生变化的原因是受到力的作用.(2)地球受到太阳的引力作用，方向沿半径指向圆心.小球受到重力、支持力、线的拉力作用，合力
4、等于线的拉力，方向沿半径指向圆心.(3)物体的加速度方向跟它所受合力方向一致，所以地球和小球的加速度都是时刻沿半径指向圆心，即加速度方向是变化的.匀速圆周运动是一种变加速曲线运动.对向心加速度及其方向的理解(1)向心加速度的方向：总指向圆心，方向时刻改变.(2)向心加速度的作用：向心加速度的方向总是与速度方向垂直，故向心加速度只改变速度的方向，对速度的大小无影响.(3)圆周运动的性质：不论向心加速度 an的大小是否变化，其方向时刻改变，所以圆周运动的加速度时刻发生变化，圆周运动是变加速曲线运动.(4)变速圆周运动的向心加速度：变速圆周运动的加速度并不指向圆心，该加速度有两个分3量：一是向心加速
5、度，二是切向加速度.向心加速度表示速度方向变化的快慢，切向加速度表示速度大小变化的快慢，所以变速圆周运动中，向心加速度的方向也总是指向圆心.例 1 关于向心加速度，以下说法中错误的是( )A.向心加速度的方向始终与线速度方向垂直B.向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小C.物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心D.物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心答案 C解析 向心加速度的方向沿半径指向圆心，线速度方向则沿圆周的切线方向，所以，向心加速度的方向始终与线速度方向垂直，只改变线速度的方向；物体做匀速圆周运动时，只具有向心加速度，加速度方向始终指向圆心；一般情况下，圆周运动的向
6、心加速度与切向加速度的合加速度的方向不一定始终指向圆心，故 A、B、D 正确，C 错误.【考点】对向心加速度的理解【题点】向心加速度的方向二、向心加速度的大小1.向心加速度的几种表达式： an 2r r v .v2r 4 2T22.向心加速度与半径的关系(如图 2所示)图 2例 2 如图 3所示，一球体绕轴 O1O2以角速度 匀速旋转， A、 B为球体上两点，下列几种说法中正确的是( )图 3A.A、 B两点具有相同的角速度B.A、 B两点具有相同的线速度C.A、 B两点的向心加速度的方向都指向球心D.A、 B两点的向心加速度之比为 214答案 A解析 A、 B为球体上两点，因此， A、 B两
7、点的角速度与球体绕轴 O1O2旋转的角速度相同，A对；如图所示， A以 P为圆心做圆周运动， B以 Q为圆心做圆周运动，因此， A、 B两点的向心加速度方向分别指向 P、 Q，C 错；设球的半径为 R，则 A运动的半径 rA Rsin60，B运动的半径 rB Rsin30， ，B 错； ，D 错.vAvB rA rB sin60sin30 3 aAaB 2rA 2rB 3【考点】向心加速度公式的有关计算【题点】向心加速度有关的比值问题例 3 如图 4所示， O1为皮带传动的主动轮的轴心，主动轮半径为 r1， O2为从动轮的轴心，从动轮半径为 r2， r3为固定在从动轮上的小轮半径.已知 r22
8、 r1， r31.5 r1.A、 B、 C分别是三个轮边缘上的点，则点 A、 B、 C的向心加速度之比是(假设皮带不打滑)( )图 4A.123 B.243C.843 D.362答案 C解析 因为皮带不打滑， A点与 B点的线速度大小相等，都等于皮带运动的速率.根据向心加速度公式 an ，可得 aA aB r2 r121.由于 B、 C是固定在一起的轮上的两点，v2r所以它们的角速度相同.根据向心加速度公式 an r 2，可得 aB aC r2 r321.5.由此得 aA aB aC843，故选 C.【考点】与向心加速度有关的传动问题分析【题点】与向心加速度有关的综合传动问题向心加速度公式的应
9、用技巧向心加速度的每一个公式都涉及三个物理量的变化关系，必须在某一物理量不变时分析另外两个物理量之间的关系.在比较转动物体上做圆周运动的各点的向心加速度的大小时，应按以下步骤进行：5(1)先确定各点是线速度大小相等，还是角速度相同.(2)在线速度大小相等时，向心加速度与半径成反比，在角速度相同时，向心加速度与半径成正比.针对训练 如图 5所示，一个大轮通过皮带拉着小轮转动，皮带和两轮之间无滑动，大轮的半径是小轮的 2倍，大轮上的一点 S与转动轴的距离是半径的 ，当大轮边上 P点的向心13加速度是 12m/s2时，大轮上的 S点和小轮边缘上的 Q点的向心加速度分别为多大？图 5答案 4m/s 2
10、 24 m/s 2解析 设 S和 P到大轮轴心的距离分别为 rS和 rP，由向心加速度公式 an r 2，且 S P可知， S与 P两点的向心加速度之比 aSaP rSrP解得 aS aP4m/s 2rSrP设小轮半径为 rQ，由向心加速度公式 an ，且 vP vQ可得 Q与 P两点的向心加速度之比v2raQaP rPrQ解得 aQ aP24m/s 2.rPrQ【考点】与向心加速度有关的传动问题分析【题点】与向心加速度有关的综合传动问题1.(向心加速度公式的理解)关于质点的匀速圆周运动，下列说法中正确的是( )A.由 an 可知， an与 r成反比v2rB.由 an 2r可知， an与 r成
11、正比C.由 v r 可知， 与 r成反比D.由 2 f可知， 与 f成正比答案 D解析 质点做匀速圆周运动的向心加速度与质点的线速度、角速度、半径有关.但向心加速度与半径的关系要在一定前提条件下才能给出.当线速度一定时，向心加速度与半径成反比；当角速度一定时，向心加速度与半径成正比，对线速度和角速度与半径的关系也可以同样6进行讨论，正确答案为 D.【考点】对向心加速度的理解【题点】对向心加速度的大小及向心加速度公式的理解2.(向心加速度公式的应用)如图 6所示为一磁带式放音机的转动系统，在倒带时，主动轮以恒定的角速度逆时针转动， P和 Q分别为主动轮和从动轮边缘上的点，则( )图 6A.主动轮
12、上的 P点线速度方向不变B.主动轮上的 P点线速度逐渐增大C.主动轮上的 P点的向心加速度逐渐增大D.从动轮上的 Q点的向心加速度逐渐增大答案 D解析 圆周运动的线速度方向时刻变化，A 错误； P点线速度 vP r P，因为 不变， rP不变，故 vP大小不变，B 错误；由 aP 2rP知，C 错误；由于主动轮边缘的线速度逐渐增大，则从动轮边缘的线速度也逐渐增大，而边缘的半径减小，故从动轮角速度增大，由aQ 2rQ知， aQ逐渐增大，D 正确.【考点】对向心加速度的理解【题点】向心加速度的大小及对向心加速度公式的理解3.(传动装置中向心加速度的计算)科技馆的科普器材中常有如图 7所示的匀速率的
13、传动装置：在大齿轮盘内嵌有三个等大的小齿轮.若齿轮的齿很小，大齿轮的半径(内径)是小齿轮半径的 3倍，则当大齿轮顺时针匀速转动时，下列说法正确的是( )图 7A.小齿轮和大齿轮转速相同B.小齿轮每个齿的线速度均相同C.小齿轮的角速度是大齿轮角速度的 3倍D.大齿轮每个齿的向心加速度大小是小齿轮每个齿的向心加速度的 3倍答案 C7解析 因为大齿轮和小齿轮相扣，故大齿轮和小齿轮的线速度大小相等，小齿轮的每个齿的线速度方向不同，B 错误；根据 v r 可知，大齿轮半径(内径)是小齿轮半径的 3倍时，小齿轮的角速度是大齿轮角速度的 3倍，根据 2 n可知小齿轮转速是大齿轮转速的 3倍，A 错误，C 正
14、确；根据 an ，大齿轮半径(内径)是小齿轮半径的 3倍，可知小齿轮v2r每个齿的向心加速度大小是大齿轮每个齿的向心加速度的 3倍，D 错误.【考点】与向心加速度有关的传动问题分析【题点】与向心加速度有关的综合传动问题4.(传动装置中向心加速度的计算)自行车的小齿轮 A、大齿轮 B、后轮 C是相互关联的三个转动部分，且半径 RB4 RA、 RC8 RA，如图 8所示.当自行车正常骑行时 A、 B、 C三轮边缘上的点的向心加速度的大小之比 aA aB aC等于( )图 8A.118 B.414C.4132 D.124答案 C解析 由于 A轮和 C轮共轴，故两轮角速度相同，由 an R 2可得，
15、aA aC18；由于A轮和 B轮是链条传动，故 A、 B两轮边缘上点的线速度相等，由 an ，可得v2RaA aB41，所以 aA aB aC4132，C 正确.【考点】与向心加速度有关的传动问题分析【题点】与向心加速度有关的综合传动问题一、选择题考点一 向心加速度的理解1.关于向心加速度，下列说法正确的是( )A.由 an 知，匀速圆周运动的向心加速度恒定v2rB.匀速圆周运动不属于匀速运动C.向心加速度越大，物体速率变化越快D.做圆周运动的物体，加速度时刻指向圆心8答案 B解析 向心加速度是矢量，且方向始终指向圆心，因此向心加速度不是恒定的，所以 A错；匀速运动是匀速直线运动的简称，匀速圆
16、周运动其实是匀速率圆周运动，存在向心加速度，B正确；向心加速度不改变速率，C 错；只有匀速圆周运动的加速度才时刻指向圆心，D 错.【考点】对向心加速度的理解【题点】向心加速度的意义2.如图 1所示是 A、 B两物体做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图象，其中 A为双曲线的一支，由图可知( )图 1A.A物体运动的线速度大小不变B.A物体运动的角速度大小不变C.B物体运动的角速度大小是变化的D.B物体运动的线速度大小不变答案 A解析 根据 an 知，当线速度 v大小为定值时， an与 r成反比，其图象为双曲线的一支；v2r根据 an r 2知，当角速度 大小为定值时， an与 r成正比，其图
17、象为过原点的倾斜直线，所以 A正确.【考点】对向心加速度的理解【题点】对向心加速度的大小及向心加速度公式的理解3.如图 2所示，质量为 m的木块从半径为 R的半球形碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果由于摩擦力的作用使木块的速率不变，那么木块( )图 2A.加速度为零B.加速度恒定C.加速度大小不变，方向时刻改变，但不一定指向圆心D.加速度大小不变，方向时刻指向圆心答案 D解析 由题意知，木块做匀速圆周运动，木块的加速度大小不变，方向时刻指向圆心，D9正确，A、B、C 错误.【考点】对向心加速度的理解【题点】向心加速度的方向4.(多选)一小球质量为 m，用长为 L的悬线(不可伸长，质量不计)固定
18、于 O点，在 O点正下方 处钉有一颗光滑小钉子.如图 3所示，将悬线沿水平方向拉直无初速度释放后，当悬L2线碰到钉子后的瞬间，则( )图 3A.小球的角速度突然增大B.小球的线速度突然减小到零C.小球的向心加速度突然增大D.小球的向心加速度不变答案 AC解析 由于悬线与钉子接触时小球在水平方向上不受力，故小球的线速度不能发生突变，由于做圆周运动的半径变为原来的一半，由 v r 知，角速度变为原来的两倍，A 正确，B错误；由 an 知，小球的向心加速度变为原来的两倍，C 正确，D 错误.v2r【考点】对向心加速度的理解【题点】对向心加速度的大小及向心加速度公式的理解考点二 向心加速度的大小5.甲
19、、乙两个物体都做匀速圆周运动，转动半径之比为 94，转动的周期之比为 34，则它们的向心加速度之比为( )A.14 B.41C.49 D.94答案 B解析 根据题意 ， ，由 an r得： 2 4，B 选项正确.r1r2 94 T1T2 34 4 2T2 a1a2 r1r2 (T2T1) 94 4232【考点】向心加速度公式的有关计算【题点】向心加速度有关的比值问题6.(多选)一小物块以大小为 an4m/s 2的向心加速度做匀速圆周运动，半径 R1m，则下列说法正确的是( )10A.小物块运动的角速度为 2rad/sB.小物块做圆周运动的周期为 sC.小物块在 t s内通过的位移大小为 m4
20、20D.小物块在 s 内通过的路程为零答案 AB解析 因为 an 2R，所以小物块运动的角速度为 2rad/s，周期 T s，anR 2选项 A、B 正确；小物块在 s内转过 ，通过的位移大小为 m，在 s 内转过一周，通4 2 2过的路程为 2m，选项 C、D 错误.【考点】向心加速度公式的有关计算【题点】应用向心加速度公式的计算考点三 传动装置中向心加速度大小的比较7.如图 4所示， A、 B是两个摩擦传动轮(不打滑)，两轮半径大小关系为 RA2 RB，则两轮边缘上的( )图 4A.角速度之比 A B21B.周期之比 TA TB12C.转速之比 nA nB12D.向心加速度之比 aA aB
21、21答案 C解析 两轮边缘上的线速度相等，由 知， A B RB RA12，A 错.由 Tvr知， TA TB B A21，B 错.由 2 n知， nA nB A B12，C 对.由2an 知， aA aB RB RA12，D 错.v2r【考点】与向心加速度有关的传动问题分析【题点】与向心加速度有关的皮带(或齿轮)传动问题8.(多选)如图 5所示，一个球绕中心轴线 OO以角速度 做匀速圆周运动， 30，则( )11图 5A.a、 b两点的线速度相同B.a、 b两点的角速度相同C.a、 b两点的线速度之比 va vb2 3D.a、 b两点的向心加速度之比 aa ab 23答案 BD解析 球绕中心
22、轴线转动，球上各点应具有相同的周期和角速度，即 a b，B 对；因为 a、 b两点做圆周运动的半径不同， rb ra，根据 v r 知 vb va，A 错； 30，设球半径为 R，则 rb R， ra Rcos30 R，故 ，C 错；又根据 an 2r知32 vavb ara brb 32 ，D 对.aaab a2ra b2rb 32【考点】与向心加速度有关的传动问题分析【题点】与向心加速度有关的同轴传动问题9.(多选)如图 6所示的靠轮传动装置中右轮半径为 2r， a为它边缘上的一点， b为轮上的一点， b距轴的距离为 r.左侧为一轮轴，大轮的半径为 4r， d为它边缘上的一点，小轮的半径为
23、 r， c为它边缘上的一点.若传动中靠轮不打滑，则( )图 6A.b点与 d点的线速度大小相等B.a点与 c点的线速度大小相等C.c点与 b点的角速度大小相等D.a点与 d点的向心加速度大小之比为 18答案 BD解析 c、 d轮共轴转动，角速度相等，根据 v r 知， d点的线速度大于 c点的线速度，而 a、 c的线速度大小相等， a、 b两点的角速度相等，则 a点的线速度大于 b点的线速度，所以 d点的线速度大于 b点的线速度，A 错误，B 正确. a、 c两点的线速度相等，半径之比12为 21，根据 ，知 a、 c两点的角速度之比为 12， a、 b两点的角速度相等，所以vrb、 c两点的
24、角速度大小不等，C 错误. a、 c两点的线速度大小相等，半径之比为 21，根据 an 知 a、 c两点的向心加速度之比为 12， c、 d轮共轴转动，角速度相等，半径之v2r比为 14，根据 an 2r知 c、 d两点的向心加速度之比为 14，所以 a、 d两点的向心加速度之比为 18，D 正确.【考点】与向心加速度有关的传动问题分析【题点】与向心加速度有关的综合传动问题10.(多选)如图 7所示，皮带传动装置中，右边两轮连在一起共轴转动，图中三轮半径分别为 r13 r， r22 r， r34 r； A、 B、 C三点为三个轮边缘上的点，向心加速度分别为a1、 a2、 a3，皮带不打滑，则下
25、列比例关系正确的是( )图 7A. B. a1a2 32 a1a2 23C. D. a2a3 21 a2a3 12答案 BD解析 由于皮带不打滑， v1 v2， an ，故 ，A 错，B 对.由于右边两轮共轴转v2r a1a2 r2r1 23动， 2 3， an r 2， ，C 错，D 对.a2a3 r2r3 12【考点】与向心加速度有关的传动问题分析【题点】与向心加速度有关的综合传动问题二、非选择题11.(向心加速度公式的应用)飞机由俯冲转为上升的一段轨迹可以看成圆弧，如图 8所示，如果这段圆弧的半径 r800m，飞行员能承受的向心加速度最大为 8g，则飞机在最低点 P的速率不得超过多少？(
26、 g10m/s 2)图 8答案 80 m/s1013解析 飞机在最低点做圆周运动，其向心加速度最大不得超过 8g才能保证飞行员安全，由an 得 v m/s80 m/s.故飞机在最低点 P的速率不得超过 80v2r anr 810800 10m/s.10【考点】向心加速度公式的有关计算【题点】应用向心加速度公式的计算12.(向心加速度的计算)如图 9所示，在男女双人花样滑冰运动中，男运动员以自身为转动轴拉着女运动员做匀速圆周运动.若运动员的转速为 30 r/min，女运动员触地冰鞋的线速度大小为 4.8 m/s，求女运动员做圆周运动的角速度、触地冰鞋做圆周运动的半径及向心加速度大小.图 9答案
27、3.14 rad/s 1.53 m 15.1 m/s 2解析 男女运动员的转速、角速度是相同的.由 2 n得 rad/s3.14 rad/s23.143060由 v r 得 r m1.53mv 4.83.14由 an 2r得 an3.14 21.53m/s215.1 m/s 2.【考点】向心加速度公式的有关计算【题点】应用向心加速度公式的计算13.(向心加速度的计算)如图 10所示，甲、乙两物体自同一水平线上同时开始运动，甲沿顺时针方向做匀速圆周运动，圆半径为 R；乙做自由落体运动，当乙下落至 A点时，甲恰好第一次运动到最高点 B，求甲物体做匀速圆周运动的向心加速度的大小.(重力加速度为 g)图 10答案 2g98解析 设乙下落到 A点所用时间为 t，则对乙，满足 R gt2，得 t ，12 2Rg14这段时间内甲运动了 T，即34T 34 2Rg又由于 an 2R R4 2T2由得 an 2g.98【考点】向心加速度公式的有关计算【题点】应用向心加速度公式的计算
