1、113.2 函数的极值与导数(二)学习目标 1.能根据极值点与极值的情况求参数范围.2.会利用极值解决方程的根与函数图象的交点个数问题1极小值点与极小值(1)特征：函数 y f(x)在点 x a 的函数值 f(a)比它在点 x a 附近其他点的函数值都小，并且 f( a)0.(2)符号：在点 x a 附近的左侧 f( x)0.(3)结论：点 a 叫做函数 y f(x)的极小值点， f(a)叫做函数 y f(x)的极小值2极大值点与极大值(1)特征：函数 y f(x)在点 x b 的函数值 f(b)比它在点 x b 附近其他点的函数值都大，并且 f( b)0.(2)符号：在点 x b 附近的左侧
2、 f( x)0，右侧 f( x)0，解得 a0)上存在极值，求1 ln xx (a， a 12)实数 a 的取值范围考点 利用导数研究函数的极值题点 极值存在性问题解 f(x) ， x0，1 ln xx则 f( x) .ln xx2当 00，当 x1 时， f( x)0)上存在极值，(a， a12)Error! 解得 2)2x 2 2x(x 52)x 2当 x 变化时， g( x)， g(x)的变化情况如下表：x (2,0) 0 (0，)g( x) 0 g(x) 极大值 由上表可知，函数在 x0 处取得极大值，极大值为 g(0)2ln 2 b.结合图象(图略)可知，要使 g(x)0 在区间1,
3、1上恰有两个不同的实数根，只需Error!即Error! 所以2ln 20，解得 a6 或 a0 时，令 f( x)0，解得 x 或 x20 或 m 时， f( x)0；12 12 x 是 f(x)的极值点；12即 f(x)的极值点个数为 1.故选 B.2若 a0， b0，且函数 f(x)4 x3 ax22 bx2 在 x1 处有极值，则 ab 的最大值等于( )A2 B3 C6 D9考点 利用导数研究函数的极值题点 已知极值求参数答案 D解析 f( x)12 x22 ax2 b， f(x)在 x1 处有极值， f(1)122 a2 b0， a b6.又 a0， b0， a b2 ，ab2 6
4、 ， ab9.ab (当 且 仅 当 a b 3时 等 号 成 立 )3若函数 f(x)2 x39 x212 x a 恰好有两个不同的零点，则 a 的值可能为( )A4 B6 C7 D8答案 A8解析 f( x)6 x218 x126( x1)( x2)由 f( x)0，得 x2，由 f( x)1.1a7已知函数 f(x) ax3 bx2 cx 的图象如图所示，且 f(x)在 x x0与 x2 处取得极值，则 f(1) f(1)的值一定( )A等于 0 B大于 0C小于 0 D小于或等于 0考点 函数极值的综合应用题点 函数极值在函数图象上的应用答案 B解析 f( x)3 ax22 bx c.
5、令 f( x)0，则 x0和 2 是该方程的根 x02 0.2b3a ba由题图知， f( x)0，则 b0， f(1) f(1)2 b， f(1) f(1)0.二、填空题8函数 f(x) ax2 bx 在 x 处有极值，则 b 的值为_1a考点 利用导数研究函数的极值题点 已知极值求参数答案 2解析 f( x)2 ax b，10函数 f(x)在 x 处有极值，1a f 2 a b0，即 b2.(1a) 1a9函数 f(x) ax3 x1 有极值的充要条件是_考点 利用导数研究函数的极值题点 极值存在性问题答案 a1，解得 a0，x 取足够小的负数时，有 f(x)0，即 a0， a1，527
6、527当 a (1，)时，曲线 y f(x)与 x 轴仅有一个交点( ， 527)13已知函数 f(x) x4 ax32 x2 b(xR)，其中 a， bR.(1)当 a 时，讨论函数 f(x)的单调性；103(2)若函数 f(x)仅在 x0 处有极值，求 a 的取值范围考点 利用导数研究函数的极值题点 已知极值求参数解 (1) f( x)4 x33 ax24 x x(4x23 ax4)，当 a 时，103f( x) x(4x210 x4)2 x(2x1)( x2)12令 f( x)0，解得 x10， x2 ， x32.12当 x 变化时， f( x)， f(x)的变化情况如下表：x (，0)
7、 0 (0， 12) 12 (12， 2) 2 (2，)f( x) 0 0 0 f(x) 极小值 极大值 极小值 所以 f(x)在区间 ，(2，)上是单调递增函数，在区间(，0)， 上是单调(0，12) (12， 2)递减函数(2)f( x) x(4x23 ax4)，显然 x0 不是方程 4x23 ax40 的根，为使 f(x)仅在x0 处有极值，必须有 4x23 ax40 恒成立，即有 9 a2640，解得 a ，83 83此时， f(0) b 是唯一的极值，因此满足条件的 a 的取值范围是 .83， 83四、探究与拓展14设函数 f(x) sin .若存在 f(x)的极值点 x0满足 x
8、f(x0)23，其中 kZ.由题意，存在整数 k 使得不等式 m2 3 成立当1 (k12)2 1 (k 12)2k1 且 k0 时，必有 21，此时不等式显然不能成立，故 k1 或 k0，此时，(k12)不等式即为 m23，解得 m2.341315已知函数 f(x) ae2x be2 x cx(a， b， cR)的导函数 f( x)为偶函数，且曲线y f(x)在点(0， f(0)处的切线的斜率为 4 c.(1)确定 a， b 的值；(2)若 c3，判断 f(x)的单调性；(3)若 f(x)有极值，求 c 的取值范围考点 利用导数研究函数的极值题点 已知极值求参数解 (1)对 f(x)求导，得
9、 f( x)2 ae2x2 be2 x c，由 f( x)为偶函数，知 f( x) f( x)恒成立，即 2(a b)(e2xe 2 x)0 恒成立，所以 a b.又 f(0)2 a2 b c4 c，故 a1， b1.(2)当 c3 时， f(x)e 2xe 2 x3 x，那么f( x)2e 2x2e 2 x32 310，2e2x2e 2x故 f(x)在 R 上为增函数(3)由(1)知 f( x)2e 2x2e 2 x c，而 2e2x2e 2 x2 4，2e2x2e 2x当 x0 时等号成立下面分三种情况进行讨论当 c0，此时 f(x)无极值；当 c4 时，对任意 x0， f( x)2e 2x2e 2 x40，此时 f(x)无极值；当 c4 时，令 e2x t，注意到方程 2t c0 有两根2tt1 0， t2 0，即 f( x)0 有两个根，c c2 164 c c2 164且 x1 ln t1， x2 ln t2.12 12当 x1x2时， f( x)0，从而 f(x)在 x x2处取得极小值综上，若 f(x)有极值，则 c 的取值范围为(4，)
