1、12.3.2 向量数量积的运算律课时过关能力提升1.已知两个非零向量 a,b满足 |a+b|=|a-b|,则下面结论正确的是( )A.ab B.abC.|a|=|b| D.a+b=a-b解析: |a+b|2=|a|2+2ab+|b|2,|a-b|2=|a|2-2ab+|b|2.因为 |a+b|=|a-b|,所以 |a|2+2ab+|b|2=|a|2-2ab+|b|2,即 2ab=-2ab,所以 ab=0,所以 ab .故选 B.答案: B2.设向量 a,b,c满足 a+b+c=0,ab, |a|=1,|b|=2,则 |c|2等于( )A.1 B.2 C.4 D.5解析: 由 a+b+c=0得
2、c=-(a+b),于是|c| 2=|-(a+b)|2=|a|2+2ab+|b|2=1+4=5.答案: D3.已知 |a|=3,|b|=4,且(a +kb)(a -kb),则实数 k的值为( )A. B.43来源:学 +科 +网Z +X+X+KC. D.解析: 由(a +kb)(a -kb)知(a +kb)(a-kb)=0,即 |a|2-k2|b|2=0,因此 9-16k2=0,所以 k= .34答案: A4.已知 a,b是非零向量,满足(a -2b)a,(b -2a)b,则 a与 b的夹角是( )A. B. C. D.6 3 23 56解析: 由已知得(a-2b)a=0,因此|a| 2-2ab
3、=0.2同理(b-2a)b=0,即|b| 2-2ab=0,于是有|a|=|b|,且 ab= |a|2,12从而 cos= ,|=12|2|=12又 0,所以 a与 b的夹角为 .3答案: B5.如图,在菱形 ABCD中,下列关系式不正确的是( )A.B.( )( )+ +C.( )( )=0 D.=来源:学 +科 +网Z +X+X+K解析: 由于 ,=,=所以 ,故 D项不正确 .=答案: D6.如图,在 ABC中, AD AB, ,| |=1,则 等于 ( )=3 A.2 B. C. D.332 33 3解析: 由图可得 =( ) .+=+AD AB, =0.3又 ,=3 ) =0+ |2=
4、 . =0+ .=3 =3(+ 3| 3 3=3答案: D7.已知平面向量 a,b满足 |a|=1,|b|=2,a与 b的夹角为 ,以 a,b为邻边作平行四边形,则此平行四3边形的两条对角线中较短的一条对角线的长度为 . 答案: 38.已知 a+b=2i-8j,a-b=-8i+16j,其中 ij=0,|i|=|j|=1,则 ab= . 答案: -639.设 O,A,B,C为平面上的四个点, =a, =b, =c,且 a+b+c=0,ab=bc=ca=-1,则|a|+|b|+|c|= . 答案: 3 210.在边长为 1的等边三角形 ABC中,设 =2 =3 ,则 = . , 解析: 由已知得
5、), ,=12(+=23,=+=23所以 ) -| |2-=12(+ (23-)=12(23|2 =- .13)=12(23-1-1360) 14答案: -11.设 ab,且 |a|=2,|b|=1,k,t是两个不同时为零的实数 .(1)若 x=a+(t-3)b与 y=-ka+tb垂直,求 k关于 t的函数关系式 k=f(t);(2)求出函数 k=f(t)的最小值 .解: (1) ab, ab=0.又 xy, xy=0,即a +(t-3)b(-ka+tb)=0,-k a2-k(t-3)ab+tab+t(t-3)b2=0.| a|=2,|b|=1,- 4k+t2-3t=0,k= (t2-3t)(
6、t0),144即 k=f(t)= (t2-3t)(t0) .14(2)由(1)知 k=f(t)= (t2-3t)14= ,14(-32)2916故函数 k=f(t)的最小值为 - .91612.已知 |a|= ,|b|=1,向量 a与 b的夹角为 45,求使向量(2a + b)与( a-3b)的夹角为锐角的2 的取值范围 .解: 设向量(2a + b)与( a-3b)的夹角为 . 两向量的夹角为锐角, 0,(2+) (-3)|2+|-3| (2a+ b)( a-3b)0,即 2 a2+( 2-6)ab-3 b20. a2=|a|2=2,b2=|b|2=1,ab=|a|b|cos 45= 1 =1,222 4+ 2-6-3 0,即 2+- 60, 2.设 2a+ b=k( a-3b)=k a-3kb, 2=-6,则 不存在,2=,=-3,即向量(2a + b)与( a-3b)不共线 . 使向量(2a + b)与( a-3b)的夹角为锐角的 的取值范围为 2.
