1、12.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义课后篇巩固探究1.若 p与 q是相反向量,且 |p|=3,则 pq等于( )A.9 B.0 C.-3 D.-9解析由已知得 pq=33cos 180=-9.答案 D2.已知 |a|=4,|b|=3,(2a-3b)(2a+b)=61,则 |a+b|=( )A. B. C.13 D.2113 26解析由(2a -3b)(2a+b)=61,得 4|a|2-4ab-3|b|2=61.将 |a|=4,|b|=3代入上式,求得 ab=-6.|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2ab+|b|2=13,所以 |a+b|= .13答案 A3.已知 |a|=2,|b
2、|=1,|a+2b|=2 ,则 a与 b的夹角为 ( )3A. B. C. D.6 3 2 23解析 | a+2b|=2 ,3 (a+2b)2=a2+4ab+4b2=12.2| a|=2,|b|=1, ab=1.设 a与 b的夹角为 ,则 |a|b|cos = 2cos = 1, cos = .12又 0 , = .3答案 B4.已知向量 a,b满足 |a|=3,|b|=2 ,且 a(a +b),则 b在 a方向上的投影为( )3A.3 B.-3 C.- D.332 332解析由 a(a +b),得 a(a+b)=0,即 |a|2+ab=0,于是 ab=-9,因此 b在 a方向上的投影为=-3
3、.|=-93答案 B5.在平行四边形 ABCD中, AD=1, BAD=60,E为 CD的中点 .若 ,则 AB的长为( )=12A. B.1 C. D.212 32解析设 AB的长为 a,因为 ,=所以 ( )=| |2+ =1+1 cos 120= ,解得 a=2.= + 2 12答案 D6.若两个非零向量 a,b满足 |a+b|=|a-b|=2|a|,则向量 a+b与 a的夹角为( )A. B. C. D.6 3 23 56解析设 a+b与 a的夹角为 .由 |a+b|=|a-b|可得 ab=0,由 |a+b|=2|a|可得 |b|= |a|,3于是 cos= ,故所求夹角为 .(+)|
4、+|=|22|2=12 33答案 B7.已知 a,b,c是三个非零向量,则下列命题中真命题的个数为( ) |ab|=|a|b|ab; a,b反向ab=-|a|b|; ab|a+b|=|a-b|; |a|=|b|ac|=|bc|.A.1 B.2 C.3 D.4解析需对以上四个命题逐一判断,依据有两条:一是向量数量积的定义;二是向量加法与减法的平行四边形法则 . ab=|a|b|cos ( 为 a与 b的夹角), 由 |ab|=|a|b|及 a,b为非零向量可得 |cos |= 1,= 0或 , ab 且以上各步均可逆 .故命题 是真命题 . 若 a,b反向,则 a,b的夹角为 , ab=|a|b
5、|cos =-|a|b|且以上各步均可逆 .故命题 是真命题 . 当 ab 时,将向量 a,b的起点移至同一点,则以向量 a,b为邻边作平行四边形,则该平行四边形必为矩形,于是它的两对角线长相等,即有 |a+b|=|a-b|.反过来,若 |a+b|=|a-b|,则以 a,b为邻边的四边形为矩形,所以有 ab .故命题 是真命题 . 当 |a|=|b|但 a与 c的夹角和 b与 c的夹角不等时,就有 |ac| |bc|,反过来由|ac|=|bc|也推不出 |a|=|b|.故命题 是假命题 .答案 C8.已知 a,b为共线的两个向量,且 |a|=1,|b|=2,则 |2a-b|= . 解析 |2a
6、-b|= .42-4+2=8-4 a,b为共线的两个向量,设 a,b的夹角为 ,则 = 0或 180,当 = 0时,ab =2;当 = 180时,ab =-2.| 2a-b|=0或 4.答案 0或 49.正三角形 ABC边长为 2,设 =2 =3 ,则 = . , 解析 )( )=12(+ = )12(+ (13-)4=16122+132= 2- 4+ 4-2=- .16 12 13 73答案 -7310.已知 |a|=2,向量 a在向量 b上的投影为 ,则 a与 b的夹角为 . 3解析记向量 a与向量 b的夹角为 ,则 a在 b上的投影为 |a|cos = 2cos . 因为 a在 b上的投
7、影为 ,所以 cos = .因为 0,所以 = .332 6答案611.如图所示,在 Rt ABC中, A=90,AB=1,则 的值是 . 解析(方法一) =| | |cos(180- B)=-| | |cos B=-| | | =-| |2=-1.| (方法二) | |=1,即 为单位向量, =- =-| | |cos ABC,而B | |cos ABC=| |,所以 =-| |2=-1. 答案 -112.已知 |a|=|b|=2,a,b的夹角为 60,则使向量 a+ b与 a+b的夹角为锐角的 的取值范围是 .解析由 a+ b与 a+b的夹角为锐角,得(a + b)( a+b)0,即 a2
8、+( 2+1)ab+ b20,从而 2+4+ 10,解得 - 2+ .3 3当 = 1时,a + b与 a+b共线同向,故 的取值范围是( - ,-2- )( -2+ ,1)(1, + ).3 35答案( - ,-2- )( -2+ ,1)(1, + )3 313. 导学号 68254084已知平面上三个向量 a,b,c的模均为 1,它们相互之间的夹角均为 120.求证:(a -b)c .证明(a -b)c=ac-bc=|a|c|cos 120-|b|c|cos 120=11 -11 =0,(-12) (-12)故(a -b)c .14.如图,在四边形 ABCD中, =a, =b, =c, =
9、d,且 ab=bc=cd=da,且 ac=bd,则四 边形 ABCD是什么形状?解 a+b+c+d=0, a+b=-(c+d), (a+b)2=(c+d)2,即 a2+2ab+b2=c2+2cd+d2.又 ab=cd, a2+b2=c2+d2,即 |a|2+|b|2=|c|2+|d|2. 同理可得 |a|2+|d|2=|b|2+|c|2. - ,得 |b|2=|d|2, 变形为 |a|2-|d|2=|c|2-|b|2,再加 式得 |a|2=|c|2,即 |b|=|d|,|a|=|c|.同理可得 |a|=|b|,|c|=|d|,故四边形 ABCD是菱形 . , a=-c.又 ab=bc, b(a-c)=0,即 b(2a)=0. ab=0, .故四边形 ABCD为正方形 .15. 导学号 68254085如图,在平面内将两块直角三角板接在一起,已知 ABC=45, BCD=60,记 =a, =b.6(1)试用 a,b表示向量 ;,(2)若 |b|=1,求 .解(1) =a-b,由题意可知, AC BD,BD= BC= AC.3 3 b,则 =a+ b,=3 =+ 3=a+( -1)b.= 3(2)| b|=1,| a|= ,ab= cos 45=1,2 2则 =aa+( -1)b 3=a2+( -1)ab=2+ -1= +1.3 3 3
