1、- 1 -江苏省启东中学 2018-2019 学年度第一学期期中考试高二数学（理科） （考试用时：120 分钟 总分：160 分）1、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.命题： 的否定是_2sin,xR2.抛物线 的准线方程是 ，则 _.2ayya3.若直线 与圆 有两个不同交点，则点 与圆 的位置1:bl 12C： baP,C关系是_4.若双曲线 的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的)0,(2ayx离心率为_5.已知以 为圆心的圆与圆 相内切，则圆 C 的方程是_3,4C1:2yxO6在平面直角坐标系 中，直线 与直线
2、互相垂直xym82yx的充要条件是 _.m7. 已知双曲线 的一条渐近线方程是 ，它的一个焦点与)0,(12ba3抛物线 的焦点相同，则双曲线的方程为_xy1628.若命题 有 是假命题，则实数 的取值范围是_,“R“2xm9.已知 为椭圆 的两个焦点，点 在椭圆上，如果线段 的中点在 21,F13yP1PF轴上，且 ，则 的值为_y21tPt10.若直线 始终平分圆 的周长，则0:byaxl 024:2yxM的最小值为_2211.设 分别是椭圆 的左、右焦点， 为椭圆上任一点，点 的坐标为21,F1652PM，则 的最大值为_461PM12.点 是椭圆 上的点，以 为圆心的圆与 轴相切于椭圆
3、的焦)0(2bayx x点 ，圆 与 轴相交于 ，若 是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围FQ,PM- 2 -是_13.已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，离心率为 ，若椭圆上)0(12bayx 21,Fe存在点 ，使得 ，则该离心率 的取值范围是_PeF2e14.在平面直角坐标系 中，已知圆 ， ，动点xOy1:2yx4:2yxO在直线 上，过 点分别作圆 的切线，切点分别为 ，若满足03bP, BA,的点 有且只有两个，则实数 的取值范围是_PAB2b二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本题满分 14 分
4、）已知 p：| x3|2， q：( x m1)( x m1)0，若 p 是 q 的充分而不必要条件，求实数 m 的取值范围16.（本题满分 14 分）已知命题 ：指数函数 在 上单调递减，命题 ：pxaxf62)(Rq关于 的方程 的两个实根均大于 3.若 或 为真， 且 为假，x01232ax p“qp“求实数 的取值范围a- 3 -17.（本题满分 15 分）设中心在原点，焦点在 x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1， F2，且 F1F22 ，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为 4，离心率之比为 37.13(1)求这两曲线方程；(2)若 P 为这两曲线的一个交点，求 cos F1PF2
5、的值18.（本题满分 15 分）已知圆 过两点 ， ，且圆心 在直线M)1,(A),(BM上.02yx(1)求圆 的方程；(2)设 是直线 上的动点， 是圆 的两条切线， 为切点，P0843yxP, BA,求四边形 面积的最小值AB- 4 -19.（本题满分 16 分）已知椭圆的中心为坐标原点 ，椭圆短轴长为 ，动点 ,O2)(tM在椭圆的准线上)0t（(1)求椭圆的标准方程(2)求以 为直径且被直线 截得的弦长为 的圆的方程；OM0543yx(3)设点 是椭圆的右焦点，过点 作 的垂线 ，且与以 为直径的圆交于FFMH点 ，求证：线段 的长为定值，并求出这个定值N20.（本题满分 16 分）
6、 已知椭圆 的离心率为 ，其右焦点到)1(:2bayxC2直线 的距离为 .02byax3(1) 求椭圆 的方程；- 5 -(2) 过点 的直线 交椭圆 于 两点求证：以 为直径的圆过定点)31,0(PlCBA,AB- 6 -江苏省启东中学 2018-2019 学年度第一学期期中考试高二数学（附加题） （考试用时：30 分钟 总分：40 分）【必做题】每题 10 分，共计 40 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤21.过顶点 任作互相垂直的两条直线 与 ，设 与 轴交于点 ， 与 轴交于)4,2(A1l21lxM2ly点 ,求线段 的中点 的轨迹方程.NMP2
7、2.已知 ，求：)0,51(3,B（1）线段 的中点坐标和长度；A（2）到 两点距离相等的点 的坐标 满足的条件., ),(zyxPzyx,23.如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， 平面 ，BCDSASABCD， 是棱 上一点，且 .2,1ABP21(1) 求直线 与 所成角的余弦值；P(2) 求二面角 的余弦值24.如图，直角梯形 与等腰直角三角形 所在的平面互相垂直 ，ABCDABECDAB/， ， .AB2(1) 求证： ；E(2) 求直线 与平面 所成角的正弦值；(3) 线段 上是否存在点 ，使 平面 若存在，求出 ；若不存在，F/CFBD?EAF说明理由- 7 - 8 -江苏省启东中
8、学 2018-2019 学年度第一学期期中考试高二数学（理科） （考试用时：120 分钟 总分：160 分）1、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.命题： 的否定是_2sin,xR解析 全称命题的否定是存在性命题答案 xR， sin x22.抛物线 的准线方程是 ，则 _.2ay2ya解析 抛物线的标准方程为 x2 y，由条件得 2 ， a .1a 14a 18答案 183.若直线 与圆 有两个不同交点，则点 与圆 的位置:byaxl 12C： bP,C关系是_解析 由题意得圆心(0,0)到直线 ax by1 的距离小于 1，即 d
9、 1，所以有1a2 b21，点 P 在圆外a2 b2答案 在圆外4.若双曲线 的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的)0,(2bayx离心率为_解析 焦点( c,0)到渐近线 y x 的距离为 b，则由题意知 b2 a，又ba bca2 b2a2 b2 c2，5 a2 c2，离心率 e .ca 5答案 55.已知以 为圆心的圆与圆 相内切，则圆 C 的方程是_3,4C1:2yxO解析 若圆 C 与圆 O 内切，因为点 C 在圆 O 外，所以 rC15，所以 rC6.答案 ( x4) 2( y3) 2366在平面直角坐标系 中，直线 与直线 互相垂直myx282yx的充要条件是 _.m解
10、析 x( m1) y2 m 与 mx2 y8 垂直1 m( m1)20 m .23- 9 -答案 237. 已知双曲线 的一条渐近线方程是 ，它的一个焦点与)0,(12bayx xy3抛物线 的焦点相同，则双曲线的方程为_y162解析 由已知得Error!解之得Error!双曲线方程为 1.x24 y212答案 1x24 y2128.若命题 有 是假命题，则实数 的取值范围是_,“R“0mxm解析 “xR，有 x2 mx m0，整理得 3b28b805.q： m1 x m1， q： xm1.又 p 是 q 的充分而不必要条件，Error!2 m4.16.已知命题 ：指数函数 在 上单调递减，命
11、题 ：关于 的方程pxaxf62)(Rqx的两个实根均大于 3.若 或 为真， 且 为假，求实数 的01232ax p“qp“a取值范围解：若 p 真，则 f(x)(2a6) x在 R 上单调递减， 02a61， 3a .72若 q 真，令 f(x)x 23ax2a 21，则应满足 （ 3a） 2 4（ 2a2 1） 0， 3a2 3，f（ 3） 9 9a 2a2 10 ) a 2或 a 2，a2，a52， ) a .52又由已知“p 或 q”为真， “p 且 q”为假，则应有 p 真 q 假，或者 p 假 q 真- 12 - 若 p 真 q 假，则 a 无解352， ) 0)，- 13 -根
12、据题意得：Error!解得 a b1， r2，故所求圆 M 的方程为( x1) 2( y1) 24.(2)由题意知，四边形 PAMB 的面积为S S PAM S PBM AMPA BMPB.12 12又 AM BM2， PA PB，所以 S2 PA，而 PA ，PM2 AM2 PM2 4即 S2 .PM2 4因此要求 S 的最小值，只需求 PM 的最小值即可，即在直线 3x4 y80 上找一点 P，使得 PM 的值最小，所以 PMmin 3，|31 41 8|32 42所以四边形 PAMB 面积的最小值为Smin2 2 2 .(PM)min2 4 32 4 519.已知椭圆的中心为坐标原点 ，
13、椭圆短轴长为 ，动点 , 在椭圆的准线O)2(tM0（上(1)求椭圆的标准方程(2)求以 为直径且被直线 截得的弦长为 的圆的方程；M0543yx(3)设点 是椭圆的右焦点，过点 作 的垂线 ，且与以 为直径的圆交于FFHO点 ，求证：线段 的长为定值，并求出这个定值NO解 (1)由 2b2，得 b1.又由点 M 在准线上，得 2.a2c故 2.所以 c1.从而 a .1 c2c 2所以椭圆的方程为 y21.x22(2)以 OM 为直径的圆的方程为 x(x2) y(y t)0，即( x1) 2 2 1.(yt2) t24其圆心为 ，半径 r .(1，t2) t24 1因为以 OM 为直径的圆被
14、直线 3x4 y50 截得的弦长为 2，- 14 -所以圆心到直线 3x4 y50 的距离 d .r2 1t2所以 ，解得 t4.|3 2t 5|5 t2故所求圆的方程为( x1) 2( y2) 25.(3)法一 由平面几何知 ON2 OHOM.直线 OM： y x，直线 FN： y (x1)t2 2t由Error!得 xH .4t2 4所以 ON2 |xH| |xM|1 t24 1 t24 22.(1t24) 4t2 4所以线段 ON 的长为定值 .2法二 设 N(x0， y0)，则 ( x01， y0)， (2， t)，FN OM ( x02， y0 t)， ( x0， y0)MN ON
15、因为 ，所以 2(x01) ty00.所以 2x0 ty02.FN OM 又 ，所以 x0(x02) y0(y0 t)0.MN ON 所以 x y 2 x0 ty02.20 20所以| | 为定值.ON x20 y20 220. 已知椭圆 的离心率为 ，其右焦点到直线)1(:2bayxC2的距离为 .02byax3(1) 求椭圆 的方程；(2) 过点 的直线 交椭圆 于 两点求证：以 为直径的圆过定点)1,(PlCBA,AB(1) 解：由题意，e ，e 2 ，ca 22 a2 b2a2 12所以 a b，cb.2- 15 -又 ，ab1，所以 b1，a 22，|2ac 2|4a2 b2 23故
16、椭圆 C 的方程为 y 21.x22(2) 证明：当 ABx 轴时，以 AB 为直径的圆的方程为 x2y 21.当 ABy 轴时，以 AB 为直径的圆的方程为 x2(y )2 .13 169由 可得x2 y2 1，x2 （ y 13） 2 169， ) x 0，y 1.)由此可知，若以 AB 为直径的圆恒过定点，则该定点必为 Q(0，1)下证 Q(0，1)符合题意设直线 l 的斜率存在，且不为 0，则方程为 ykx ，代入 y 21 并整理得(12k 2)13 x22x2 kx 0，43 169设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 x1x 2 ，x 1x2 ，4k3（ 1 2k2）
17、 169（ 1 2k2）所以 (x 1，y 11)(x 2，y 21)x 1x2(y 11)(y 21)QA QB x 1x2(kx 1 )(kx2 )43 43(1k 2)x1x2 k(x1x 2)43 169(1k 2) k 169（ 1 2k2） 43 4k3（ 1 2k2） 169 0， 16 16k2 16k2 16（ 1 2k2）9（ 1 2k2）故 ，即 Q(0，1)在以 AB 为直径的圆上QA QB 综上，以 AB 为直径的圆恒过定点(0，1)江苏省启东中学 2018-2019 学年度第一学期期中考试高二数学（附加题） （考试用时：30 分钟 总分：40 分）【必做题】每题 1
18、0 分，共计 40 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤- 16 -21.过顶点 任作互相垂直的两条直线 与 ，设 与 轴交于点 ， 与 轴交于)4,2(A1l21lxM2ly点 ,求线段 的中点 的轨迹方程.NMP解：设 P(x,y),则 M(2x,0),N(0,2y),由 2PA=MN,得：x+2y-5=022.已知 ，求：)0,51(3,B（3）线段 的中点坐标和长度；A（4）到 两点距离相等的点 的坐标 满足的条件., ),(zyxPzyx,解：(1)AB 中点坐标（2,3， ）. , .2334AB29|AB(2) 由 PA=PB 得：4x-8y+6z
19、+7=023.如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， 平面 ，CDSSCD， 是棱 上一点，且 .2,1ABPP21(1) 求直线 与 所成角的余弦值；(2) 求二面角 的余弦值解：(1) 如图，分别以 AB，AD，AS 为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，则 A(0，0，0，)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)，S(0，0，2)设 P(x0，y 0，z 0)，由 ，SP 13SD 得(x 0，y 0，z 02) (0，2，2)，13 x 00，y 0 ，z 0 ，点 P 坐标为 .23 43 (0， 23， 43) ， (1，0，0)CP ( 1， 43， 43) AB -
20、 17 -设直线 AB 与 CP 所成的角为 ，则 cos .| 11 ( 43)0 430|1 ( 43)2 (43)2 1 34141(2) 设平面 APC 的一个法向量为 m(x 1，y 1，z 1)，则mAC x1 2y1 0，mAP 23y1 43z1 0.)令 y12，则 x14，z 11， m(4，2，1)设平面 SCD 的一个法向量为 n(x 2，y 2，z 2)，因为 (1，0，0)， (0，2，2)，DC DS 所以 nDC x2 0，nDS 2y2 2z2 0.)令 y21，则 z21， n(0，1，1)设二面角 APCD 的大小为 ，由于 cos m， n 04 1（
21、2） 11221，4242所以由向量 m， n 的方向，得 cos cos m， n .424224.如图，直角梯形 与等腰直角三角形 所在的平面互相垂ABCDABE直 ， ， ， .AB/C2(1) 求证： ；E(2) 求直线 与平面 所成角的正弦值；(3) 线段 上是否存在点 ，使 平面 若存在，求出 ；若不存在，F/FBD?EAF说明理由(1) 证明：取 AB 中点 O，连结 EO，DO.因为 EBEA，所以 EOAB.因为四边形 ABCD 为直角梯形，AB2CD2BC，ABBC，- 18 -所以四边形 OBCD 为正方形，所以 ABOD.所以 AB平面 EOD.所以 ABED.(2)
22、因为平面 ABE平面 ABCD，且 EOAB，所以 EO平面 ABCD，所以 EOOD.由 OB，OD，OE 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz.因为三角形 EAB 为等腰直角三角形，所以 OAOBODOE，设 OB1，所以O(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，E(0，0，1)所以(1，1，1)，平面 ABE 的一个法向量为 (0，1，0)设直线 EC 与平面 ABE 所成的EC OD 角为 ，所以 sin |cos ， | ，即直线 EC 与平面 ABE 所成角的正EC OD |EC OD |EC |OD | 33弦值为 .33(3) 存在点 F，且 时，有 EC平面 FBD.证明如下：EFEA 13由 ，F ，EF 13EA ( 13， 0， 13) ( 13， 0， 23)所以 .FB (43， 0， 23)设平面 FBD 的法向量为 v(a，b，c)，则有 vBD 0，vFD 0.)所以 取 a1，得 v(1，1，2) a b 0，43a 23c 0.)因为 v(1，1，1)(1，1，2)0，且 EC 平面 FBD，所以 EC平面 FBD.即点EC F 满足 时，有 EC平面 FBD.EFEA 13
