1、- 1 -2019 届高三第二次模拟考试试题数学（理科）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设集合 M x|x2 x60， N x|1 x3，则 M N( )A1,2) B1,2 C(2,3 D2,32若(12ai)i1bi，其中 a，bR，则|abi|( )A B C D 3. 观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量 之间关系最强的是xy，A B C D4.命题 为真命题的一个充分不必要条件是（ ）:“,ln0“pxeaA B C D 1a1a5. 已知 xlog 23log 2 ， ylog 0.5， z
2、0.9 1.1 ，则( )3A x y z B z y x C y z x D y x z6. 设等差数列 na满足 158a，且 01， nS为其前 项和，则数列 nS的最大项为( )A 23S B 25S C 24 D 267. 执行如图所示的程序框图，若输出的 k，则输入的整数p的最大值为( )A. 7 B. 15 C. 31 D. 638. 将 5 本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本至多两本，则不同的分法种数是（ ）输 入开 始 p,0输 出 k开 始2S否是- 2 -A.60 B.90 C.120 D.1809.已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为 4
3、的等腰直角三角形，正视图为直角梯形，则此几何体的体积 V为（ ） A32B163C 403D 40 10. 已知点 ， ， 在圆 21xy上运动，且 ABC，若点P的坐标为 (2,0)，则 PA的最大值为（ ）A.6 B.7 C.8 D.911. 设 、 分别为双曲线 的左右焦点，1F221(0,)xyab双曲线上存在一点 使得 ， ，则该双曲线的离心率为P12|3F129|4PFab（ ）（A） （B） （C） （D）4395312. 若关于 x的方程 +a =2ax-2（ e为自然对数 的底数）有且仅有 6个不等的实数解，则实数 a的取值范围是（ ）A2(,)1eB (,)e C (1,)
4、e D2(1,)e二、 填空题（每题 5 分，满分 20 分）13. 已知 满足不等式 ，则 的最 大值 .yx,01xyyxz214.如图，在边长为 （ 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部e分的概率为_.(图中曲线为 y= 和 y= )第 9 题图- 3 -15. 4()(1ax的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32，则 a_16. 已知函数 的图象与直线 恰有三个公共点，这 三个点sinf0()kyk的横坐标从小到大分别为 ，则 .123,x231tan()x三、解答题17. 在 中，已知 ， .ABC45cosB(1)求 的值； (2)若 ， 为 的中点，
5、求 的长.cos2CDACD18.随着工业化以及城市车辆的增加，城市的空气污染越来越严重，空气质量指数 API 一直居高不下，对人体的呼吸系 统造成了严重的影响现调查了某市 500 名居民的工作场所和呼吸系统健康，得到 2列联表如下：室外工作 室内工作 合计有呼吸系统疾病 150无呼吸系统疾病 100合计 200（）补全 2列联表；（）你是否有 95%的把握认为感染呼吸系统疾病与工作场所有关；（）现采用分层抽样从室内工作的居民中抽取一个容量为 6 的样本，将该样本看成一个总体，从中随机的抽取两人，求两人都有呼吸系统疾病的概率参考公式与临界值表：K22()(nadbcP(K2k0) 0100 0
6、050 0025 0010 0001k0 2706 3841 5024 6635 1082819.如图，在四棱锥 中， / ， ，PABCDBCAD， ，平面 平面 ，AB24EP（）求证：平面 平面 ；（）若直线 与平面 所成的角的正弦值为 ，求二面E5角 的平面角的余弦值PC（第 19 题图）- 4 -20. 已知抛物线 ： 和 ： 的焦点分别为 ， 交于1C24yx2py(0)12,F12,C两点（ 为坐标原点） ，且 .,OA1FOA（1）求抛物线 的方程；（2）过点 的直线交 的下半部分于点 ，交 的左半部分于点 ，点 坐标为1M2CNP，求 面积的最小值.(,)PN21已知函数 （
7、 ） ， （ ）.2lnfxaxRFxbR（1）讨论 的单调性；（2）设 ， ，若 （ ）是 的两个零点，且agxfx12,120xgx，试问曲线 在点 处的切线能否与 轴平行？请说明理由. 120xy022.（本小题满分 10 分） 【选修 44：坐标系与参数方程】在极坐标系中，曲线 的方程为 ，点 以极点 为原点，极轴为C2cos9(23,)6PO轴的正半轴建立直角坐标系x（1）求直线 的参数方程和曲线 的直角坐标方程；OP（2）若直线 与曲线 交于 、 B两点，求 1|PAB的值A- 5 - 6 -2019 届高三第二次模拟考试数学（理科）参考答案一、选择题：（本大题共 12 小题，每小
8、题 5 分，共 60 分 ）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A C D B D B B B C B C D13.2 14. 15.3 16. 2e1217、解：（1） 且 0,， 5cos25sin1cos2分 3coscos4CAB. 32510sin4:6 分（2）由（1）得， 103cos1sin2C由正弦定理得 ，即 ，解得 . siiBCA52AB69 分由余弦定理， ，所以 .1222 2553CD5CD分18. 列联表如下室外工作 室内工作 合计有呼吸系统疾病 150 200 350无呼吸系统疾病 50 100 150合计 200 300 500-
9、 7 -4 分， 7 分所以有 95%的把握认为感染呼吸系统疾病与工作场所有关. 8 分采用分层抽样从室内工作的居民中抽取 6 名进行座谈，有呼吸系统疾病的抽 4 人，记为A、B、C、D，无呼吸系统疾病的抽 2 人，记为 E、F，从中抽两人，共有 15 种抽法，A=“从中随机的抽取两人，两人都有呼吸系统 疾病”有 624C种，P(A)=2/5. 12 分19.法一（）取 中点 ，连接 ，则 ，ADFB/FDE四边形 是平行四边形， /FBE直角 和直角 中，C2A直角 直角 ，易知A:BFC 2 分D平面 平面 ，平面 平面 PBDPADAB 平面AC ， 4 分E P 平面 . 5 分D平面
10、 平面 . 6 分PAC（）设 交 于 ，连接 ，则 是直线 与平面 所成的角.设EGEPGPAC1BE由 ，知 ，A:23DE 2B ，35EG5 sinP ， 325,APEA9 分作 于 ，由 ，知 平面 ，GHPCDCHDG ，D 是二面角 的平面角. A10 分 ，:- 8 - ，而PACGH265EG 305 ，6tanD ，即二面角 的平面角的余弦值为 . 1cos5GHAPCD1512 分法二：（）平面 平面 ，B平面 平面 ，PABCD 平面又 ，故可如图建立空间直角坐标系 oxyz2 分由已知 ， ， ， （ ）(0,2)(,10)E(2,40)C(,)P0 ， ，,4AC
11、,AP,1DE ， ，0DE0 ， ， 平面 . 4 分PA平面 平面 6 分C（）由（） ，平面 的一个法向量是 ，(2,10)DE(2,1)PE设直线 与平面 所成的角为 ，E ，2415sin|cos,|5PD 0 ，即 2(,2)8 分设平面 的一个法向量为 ， ，PCDn0(,)xyz(2,0)DC(,2)P由 ，n ，令 ，则 02xyz01xn(,1)10 分11cosn2153DE- 9 -分显然二面角 的平面角是锐角，APCD二面角 的平面角的余弦值为 .1520. 【解析】 （1）由已知得： ， ， 1 分1(,0)F2(,)p12(,)pF联立 解得 或 ，即 ， ，24
12、yxpy36x0,O233(16,)Ap 3 分233(16,)OA ， ，即 ，解得 ，2F12F0OA233160p2p的方程为 5 分C4xy法二设 ，有 ，由题意知， ， ，1(,)0A214xpy1(,0)F2(,)1 分12,pF ， ，有 ，O12F0A102pxy解得 ， 3 分1pyx将其代入式解得 ，从而求得 ，14,yp所以 的方程为 5 分2C2x（2）设过 的直线方程为Oykx(0)联立 得 ，联立 得 7 分24ykx2(,)M242(,)Nk在直线 上，设点 到直线 的距离为 ，点 到直线(1,)Pyx1dN的距离为yx2d则 8 分12()PMNSO: 224|
13、4|()k- 10 -221(|)k10 分 2112()()8k当且仅当 时， “ ”成立，即当过原点直线为 时，11 分kyx 面积取得最小值 12 分PMN8法二联立 得 ，24yx2(,)k联立 得 ， 7 分2kyx2(,)(0从而 ，2244|1|1()MNkk点 到直线 的距离 ，进而(,)P2|d9 分221|4()MNkSk令3222()11(2)(1)kkk，有 ， 11 分1()tt()PMNSt当 ，即 时，即当过原点直线为 时， 面积取2kyxPMN得最小值 12 分821.解：（） 2,0axfx(1)当 时， ， 在 单调递增， 0a0ff,上（2）当 时， 有2
14、afx得x0,2a ,2a- 11 -fx- 0 +f 极小值 2afaaa0fx0, ,22 所 以 时 ， 的 单 调 减 区 间 是 ， 单 调 增 区 间 是() 2lngb假设 在 处的切线能平行于 轴.yx0x 2,由假设及题意得： .211ln0gxxb22ln0gxb.10. 002gxb由- 得， 211212ln0xxbx即 . 由得， 201lnbx 1122lnxx令 ， .则上式可化为 ， 12tx12,1xtl1t设函数 ，则ln0thtt, 22114ttt 所以函数 在 上单调递增.lnht0,于是，当 时，有 ，即 与矛盾.01t1h2ln01t- 12 -所以 在 处的切线不能平行于 轴. yfx0x22解：（1） （ 为参数） ， ；（2） . 321ty29y试题解析：（1）化为直角坐标可得 ， ，(3,)P=6直线 的参数方程为：OP,213.xty ，22cosin9曲线 的直角坐标方程： ，得： 24360tt，C2xy ， 1260t，1243t 1212|tPABt
