1、- 1 -探索与表达规律(30 分钟 50 分)一、选择题(每小题 4 分,共 12 分)1.某校生物教师李老师在生物实验室做试验时,将水稻种子分组进行发芽试验:第 1 组取 3 粒,第 2 组取 5粒,第 3 组取 7 粒即每组所取种子数目比该组前一组增加 2 粒,按此规律,那么请你推测第 n 组应该有种子数 ( )A.(2n+1)粒 B.(2n-1)粒C.2n 粒 D.(n+2)粒2.一列数 a1,a2,a3,其中 a1= ,an= (n 为不小于 2 的整数),则 a4的值为 ( )A. B. C. D.3.如图,第个图形中一共有 1 个平行四边形,第个图形中一共有 5 个平行四边形,第
2、个图形中一共有11 个平行四边形,则第个图形中平行四边形的个数是 ( )A.54 B.110 C.19 D.109二、填空题(每小题 4 分,共 12 分)4.观察下列各式的计算过程:55=01100+251515=12100+25,2525=23100+25,3535=34100+25,试猜测,第 n 个算式(n 为正整数)应表示为 .5.下列图形是由一些小正方形和实心圆按一定规律排列而成的,如图所示,按此规律排列下去,第 20 个图形中有 个实心圆.6.当 n 等于 1,2,3,时,由白色小正方形和黑色小正方形组成的图形分别如图所示.则第 n 个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等
3、于 (用 n 表示,n 是正整数).- 2 -三、解答题(共 26 分)7.(8 分)从 2 开始,连续的偶数相加,和的情况如下:2=2=12;2+4=6=23;2+4+6=12=34;2+4+6+8=20=45;(1)请推测从 2 开始,n 个连续偶数相加,和是多少?(2)取 n=6,验证(1)的结论是否正确.8.(8 分)有规律排列的一列数:2,4,6,8,10,12,它的每一项可用式子 2n(n 是正整数)来表示.有规律排列的一列数:1,-2,3,-4,5,-6,7,-8,(1)它的每一项你认为可用怎样的式子来表示?(2)它的第 100 个数是多少?(3)2015 是不是这列数中的数?如
4、果是,是其中的第几个数?【变式训练】把正整数从小到大依次排列成如下形式:12 34 5 67 8 9 10观察规律,求出第 10 行的最后一个数和第 20 行的第一个数.【培优训练】9.(10 分)观察下列等式:12231=13221,- 3 -13341=14331,23352=25332,34473=37443,62286=68226,以上每个等式中两边数字是分别对称的,且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律,我们称这类等式为“数字对称等式”.(1)根据上述各式反映的规律填空,使式子称为“数字对称等式”:52 = 25; 396=693 .(2)设这类等式左边两位数的十位数字
5、为 a,个位数字为 b,且 2a+b9,写出表示“数字对称等式”一般规律的式子(含 a,b 且 ab0).课时提升作业(二十六)探索与表达规律(30 分钟 50 分)一、选择题(每小题 4 分,共 12 分)1.某校生物教师李老师在生物实验室做试验时,将水稻种子分组进行发芽试验:第 1 组取 3 粒,第 2 组取 5粒,第 3 组取 7 粒即每组所取种子数目比该组前一组增加 2 粒,按此规律,那么请你推测第 n 组应该有种子数 ( )A.(2n+1)粒 B.(2n-1)粒C.2n 粒 D.(n+2)粒【解析】选 A.由题意得取得种子数为 3,5,7,从 3 开始的奇数,故第 n 组应该有种子数
6、为(2n+1)粒.2.一列数 a1,a2,a3,其中 a1= ,an= (n 为不小于 2 的整数),则 a4的值为 ( )A. B. C. D.【解析】选 A.因为 a1= ,an= ,所以 a2= = ,同理 a3= = ,a4= = .3.如图,第个图形中一共有 1 个平行四边形,第个图形中一共有 5 个平行四边形,第个图形中一共有11 个平行四边形,则第个图形中平行四边形的个数是 ( )- 4 -A.54 B.110 C.19 D.109【解析】选 D.第个图形中有 1 个平行四边形;第个图形中有 1+4=5 个平行四边形;第个图形中有1+4+6=11 个平行四边形;第个图形中有 1+
7、4+6+8=19 个平行四边形;第 n 个图形中有 1+2(2+3+4+n)个平行四边形;所以第个图形中有 1+2(2+3+4+5+6+7+8+9+10)=109 个平行四边形.二、填空题(每小题 4 分,共 12 分)4.观察下列各式的计算过程:55=01100+251515=12100+25,2525=23100+25,3535=34100+25,试猜测,第 n 个算式(n 为正整数)应表示为 .【解析】方法一:左边两个因数是相同的两个数,十位数字从 0 开始依次增加 1,个数数字为 5,故左边第 n个算式表示为10(n-1)+510(n-1)+5;等号右边为左边十位数字乘以比它大 1 的
8、数字再乘以 100,然后加上 25,故表示为 100n(n-1)+25,所以第 n 个算式表示为10(n-1)+510(n-1)+5=100n(n-1)+25.方法二:左边的两个相同的因数分别看作是 51,53,55,故第 n 个是 5(2n-1),等号右边为左边十位数字乘以比它大 1 的数字再乘以 100,然后加上 25,所以第 n 个算式表示为 5(2n-1)5(2n-1)=100n(n-1)+25.答案:10(n-1)+510(n-1)+5=100n(n-1)+25(或 5(2n-1)5(2n-1)=100n(n-1)+25)5.下列图形是由一些小正方形和实心圆按一定规律排列而成的,如图
9、所示,按此规律排列下去,第 20 个图形中有 个实心圆.【解析】第(1)个图形中有 4+20=4 个实心圆;第(2)个图形中有 4+21=6 个实心圆;第(3)个图形中有4+22=8 个实心圆;第(n)个图形中有 4+2(n-1)=2n+2 个实心圆,所以第 20 个图形中有 220+2=42 个实心圆.答案:426.当 n 等于 1,2,3,时,由白色小正方形和黑色小正方形组成的图形分别如图所示.则第 n 个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于 (用 n 表示,n 是正整数).【解题指南】解答本题的三个步骤1.观察图案的变化趋势.2.从第 1 个图形进行分析,运用从特殊到一般的探索
10、方式,找出黑白正方形个数增加的变化规律.3.用含有 n 的代数式进行表示.【解析】第 1 个图形中有 1 个白色小正方形和 41 个黑色小正方形;第 2 个图形中有 22个白色小正方形- 5 -和 42 个黑色小正方形;第 3 个图形中有 32个白色小正方形和 43 个黑色小正方形;第 n 个图形中有n2个白色小正方形和 4n 个黑色小正方形;因此第 n 个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于 n2+4n.答案:n 2+4n三、解答题(共 26 分)7.(8 分)从 2 开始,连续的偶数相加,和的情况如下:2=2=12;2+4=6=23;2+4+6=12=34;2+4+6+8=20=
11、45;(1)请推测从 2 开始,n 个连续偶数相加,和是多少?(2)取 n=6,验证(1)的结论是否正确.【解析】(1)由题中规律可得.n 个连续偶数相加,即 2+4+6+8+2n=n(n+1).(2)当 n=6 时,2+4+6+8+10+12=42=6(6+1),所以(1)的结论正确.8.(8 分)有规律排列的一列数:2,4,6,8,10,12,它的每一项可用式子 2n(n 是正整数)来表示.有规律排列的一列数:1,-2,3,-4,5,-6,7,-8,(1)它的每一项你认为可用怎样的式子来表示?(2)它的第 100 个数是多少?(3)2015 是不是这列数中的数?如果是,是其中的第几个数?【
12、解析】(1)它的每一项可以用式子(-1) n+1n(n 是正整数)表示.(2)它的第 100 个数是(-1) 100+1100=-100.(3)当 n=2015 时,(-1) 2015+12015=2015,所以 2015 是其中的第 2015 个数.【变式训练】把正整数从小到大依次排列成如下形式:12 34 5 67 8 9 10观察规律,求出第 10 行的最后一个数和第 20 行的第一个数.【解析】观察规律得第 1 行 1 个数,第 2 行 2 个数,所以第 10 行为 10 个数,且为 1+2+3+10=55.第 19 行的最后一个数为:1+2+3+19=190,则第 20 行的第一个数
13、为 191.【培优训练】9.(10 分)观察下列等式:12231=13221,13341=14331,23352=25332,34473=37443,- 6 -62286=68226,以上每个等式中两边数字是分别对称的,且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律,我们称这类等式为“数字对称等式”.(1)根据上述各式反映的规律填空,使式子称为“数字对称等式”:52 = 25; 396=693 .(2)设这类等式左边两位数的十位数字为 a,个位数字为 b,且 2a+b9,写出表示“数字对称等式”一般规律的式子(含 a,b 且 ab0).【解析】(1)因为 5+2=7,所以左边的三位数是 275,右边的三位数是 572,所以 52275=57225.因为左边的三位数是 396,所以左边的两位数是 63,右边的两位数是 36,63396=69336.(2)因为左边两位数的十位数字为 a,个位数字为 b,所以左边的两位数是 10a+b,三位数是 100b+10(a+b)+a,右边的两位数是 10b+a,三位数是 100a+10(a+b)+b,所以一般规律的式子为:(10a+b)100b+10(a+b)+a=100a+10(a+b)+b(10b+a).
