1、2018 年上海市崇明县高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，其中 1-6 题每题 4 分，7-12 题每题 5 分）1. 已知集合 ，若 ，则 _ 【答案】【解析】因为集合 ，且 ，所以 ，故答案为 .2. 抛物线 的焦点坐标为_【答案】【解析】抛物线 的焦点在 轴上，且 ，所以抛物线 的焦点坐标为 ，故答案为 .3. 不等式 的解是_【答案】【解析】由 可得， ，所以不等式 的解是 ，故答案为 .4. 若复数 满足 为虚数单位） ，则 _【答案】【解析】试题分析：因为 ，所以 本题也可设 ，因为由复数相等得：考点：复数的四则运算5. 在代数式 的展开式中，一次项
2、的系数是 _ （用数字作答）【答案】【解析】 展开式的通项为 ，令 ，得 ，故答案为 .【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式 ；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数） （2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.6. 若函数 的最小正周期是 ，则 _【答案】【解析】因为函数 的最小正周期是 ，所以 ，解得 ，故答案为.7. 若函数 的反函数的图象经过点 ，则 _【答案】【解析】函数 的反函数的图象经过点 ，所
3、以，函数 的图象经过点 ， ，故答案为 .8. 将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体的体积为 ，则该几何体的侧面积为_ 【答案】【解析】将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积为 ，设正方体的边长为 ，则 ，解得 该圆柱的侧面积为，故答案为 .9. 已知函数 是奇函数，当 时， ，且 ，则 _【答案】【解析】 是奇函数，且当 时， ， ，解得，故答案为 .10. 若无穷等比数列 的各项和为 ，首项 ，公比为 ，且 ，则_【答案】【解析】 无穷等比数列 的前 项和为 ，首项为 ，公比 ，且 ， 或 ， 或 ， ，故答案为 .11. 从 5 男 3 女共 8 名
4、学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2 人组成 4 人志愿者服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有_种不同的选法 （用数字作答）【答案】12. 在 中， 边上的中垂线分别交 于点 若 ，则_【答案】【解析】设 ，则 ， ，又 ，即，故答案为 .二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分）13. 展开式为 的行列式是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ,错误； ，正确; ，错误； ，错误， 故选 B.14. 设 ，若 ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ，当 时， 不成立，根据对数函数的定义，可知真数必需大于零，故 不成立，由于正弦函数具有
5、周期性和再某个区间上为单调函数，故不能比较，故 不成立， 根据指数函数的单调性可知， 正确，故选 D.15. 已知等差数列 的公差为 ，前 项和为 ，则“ ”是“ ”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】 ， ，充分性成立，若“ ”则 ，必要性成立，所以 “ ”是“ ”的充分必要条件，故选 C.【方法点睛】本题通过等差数列前 项和的基本量运算，主要考查充分条件与必要条件，属于中档题. 判断充要条件应注意：首先弄清条件 和结论 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试 .对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助
6、集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.16. 直线 与双曲线 的渐近线交于 两点，设 为双曲线上任一点，若为坐标原点） ，则下列不等式恒成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意，双曲线渐近线方程为 ，联立直线 ，解得 不妨设， ， ， 为双曲线 上的任意一点， ， 时等号成立），可得 ，故选 C.【 方法点睛】本题主要考查双曲线的的渐近线、向量相等的应用以及平面向量的坐标运算、不等式的性质，属于难题向量的运算有两种方法，一是几何运算，往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，
7、运算法则是：（）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差） ；（）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和） ；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答，解答本题的关键是根据坐标运算三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）17. 如图，长方体 中， 与底面 所成的角为 .（1）求四棱锥 的体积；（2）求异面直线 与 所成角的大小【答案】(1) ；（2） .【解析】试题分析：（1）先证明 是 与底面 所成的角，可得，利用棱锥的体积公式可得结果；（2）由 ，可得是异面直线 与 所成角（或所成角的补角） ，利用余弦定理可得结果试题解析：（1）长方体 ABCDA
8、1B1C1D1中，AB=BC=2，AA 1平面 ABCD，AC= =2 ，A 1CA 是 A1C 与底面 ABCD 所成的角，A 1C 与底面 ABCD 所成的角为 60，A 1CA=60，AA 1=ACtan60=2 =2 ，S 正方形 ABCD=ABBC=22=4，四棱锥 A1ABCD 的体积：V= = = （2）BDB 1D1，A 1BD 是异面直线 A1B 与 B1D1所成角（或所成角的补角） BD= ，A 1D=A1B= =2 ，cosA 1BD= = = A 1BD=arccos 异面直线 A1B 与 B 1D1所成角是 arccos 18. 已知 （1）求 的最大值及该函数取得最
9、大值时 的值；（2）在 中， 分别是角 所对的边，若 ，且 ，求边 的值【答案】(1) ， ；（2） .【解析】试题分析：（1）跟据二倍角的正弦、余弦公式以及两角和的正弦公式可得，根据正弦函数的图象与性质可得结果；（2）由 ，得，结合三角形内角的范围可得 或 ，讨论两种情况分别利用余弦定理可求出边的值.试题解析：f（x）=2 sinxcosx+2cos2x1= sin2x+cos2x=2sin（2x+ ）（1）当 2x+ = 时，即 x= （kZ） ，f（x）取得最大值为 2；（2）由 f（ ）= ，即 2sin（A+ ）=可得 sin（A+ ）=0A A A = 或A= 或当 A= 时，co
10、sA= =a= ，b= ，解得：c=4当 A= 时，cosA= =0a= ，b= ，解得：c=219. 2016 年崇明区政府投资 8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目规划从 2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长 记 2016 年为第 1 年， 为第 1 年至此后第 年的累计利润（注：含第 年，累计利润=累计净收入累计投入，单位：千万元） ，且当 为正值时，认为该项目赢利（1）试求 的表达式；（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由【答案】(1
11、) ；（2） .【解析】试题分析：（1）由题意知，第一年至此后第 年的累计投入为（千万元） ，第 年至此后第 年的累计净收入为，利用等比数列数列的求和公式可得 ；（2）由，利用指数函数的单调性即可得出.试题解析：（1）由题意知，第 1 年至此后第 n（nN *）年的累计投入为 8+2（n1）=2n+6（千万元） ，第 1 年至此后第 n（nN *）年的累计净收入为 + + + = （千万元） f（n）= （2n+6）= 2n7（千万元） （2）方法一：f（n+1）f（n）= 2（n+1）7 2n7= 4，当 n3 时，f（n+1）f（n）0，故当 n4 时，f（n）递减；当 n4 时，f（n+
12、1）f（n）0，故当 n4 时，f（n）递增又 f（1）= 0，f（7）= 5 21= 0，f（8）= 232523=20该项目将从第 8 年开始并持续赢利答：该项目将从 2023 年开始并持续赢利；方法二：设 f（x）= 2x7（x1） ，则 f（x）= ，令 f（x）=0，得 = =5，x4从而当 x1，4）时，f（x）0，f（x）递减；当 x（4，+）时，f（x）0，f（x）递增又 f（1）= 0，f（7）= 5 21= 0，f（8）= 232523=20该项目将从第 8 年开始并持续赢利答：该项目将从 2023 年开始并持续赢利20. 在平面直角坐标系中，已知椭圆 的两个焦点分别是 ，
13、直线与椭圆交于 两点（1）若 为椭圆短轴上的一个顶点，且 是直角三角形，求 的值；（2）若 ，且 是以 为直角顶点的直角三角形，求 与 满足的关系；（3）若 ，且 ，求证： 的面积为定值【答案】(1) 或 ；（2） ；（3）证明见解析.【解析】试题分析：（1）根据 为等腰直角三角形，可得 ，两种情况讨论，可得 的值为 或 ；（2）当 时， ，设 ，由 ，即 ，由韦达定理及平面向量数量积公式可得结果；（3）由 可得 ，结合韦达定理可得 ，根据以上结论，利用三角形面积公式化简即可得结论.试题解析：（1）M 为椭圆短轴上的一个顶点，且MF 1F2是直角三角形，MF 1F2为等腰直角三角形，OF 1=
14、OM，当 a1 时， =1，解得 a= ，当 0a1 时， =a，解得 a= ，（2）当 k=1 时，y=x+m，设 A（x 1，y 1） ， （x 2，y 2） ，由 ，即（1+a 2）x 2+2a2mx+a2m2a 2=0，x 1+x2= ，x 1x2= ，y 1y2=（x 1+m） （x 2+m）=x 1x2+m（x 1+x2）+m 2= ，OAB 是以 O 为直角顶点的直角三角形， =0，x 1x2+y1y2=0， + =0，a 2m2a 2+m2a 2=0m 2（a 2+1）=2a 2，（3）证明：当 a=2 时，x 2+4y2=4，设 A（x 1，y 1） ， （x 2，y 2）
15、，k OAkOB= ， = ，x 1x2=4y 1y2，由 ，整理得， （1+4k 2）x 2+8kmx+4m24=0x 1+x2= ，x 1x2= ，y 1y2=（kx 1+m） （kx 2+m）=k 2x1x2+km（x 1+x2）+m 2= + +m2= ， =4 ，2m 24k 2=1，|AB|= = =2 =O 到直线 y=kx+m 的距离 d= = ，S OAB = |AB|d= = = =1.【方法点睛】本题主要考查待定系数法求椭圆标准方程、韦达定理以及平面向量数量积公式、圆锥曲线的定值问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种： 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出
16、定值，再证明这个值与变量无关； 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.21. 若存在常数 ，使得对定义域 内的任意 ，都有 成立，则称函数 在其定义域 上是“ 利普希兹条件函数” （1）若函数 是“ 利普希兹条件函数” ，求常数 的最小值；（2）判断函数 是否是“ 利普希兹条件函数” ，若是，请证明，若不是，请说明理由；（3）若 是周期为 2 的“ 利普希兹条件函数” ，证明：对任意的实数 ,都有【答案】(1) ；（2）不是，理由见解析；（3）证明见解析.【解析】试题分析：（1）不妨设 ，则 恒成立 ，从而可得结果；（2）令 ，则，从而可得函数 不是“ 利普希兹条件函数”
17、 ； （3）设 的最大值为 ，最小值为 ，在一个周期 ，内 ，利用基本不等式的性质可证明 .试题解析：（1）若函数 f（x）= ， （1x4）是“k利普希兹条件函数” ，则对于定义域1，4上任意两个 x1，x 2（x 1x 2） ，均有|f（x 1）f（x 2）|k|x 1x 2|成立，不妨设 x1x 2，则 k = 恒成立1x 2x 14， ，k 的最小值为 （2）f（x）=log 2x 的定义域为（0，+） ，令 x1= ，x 2= ，则 f（ ）f（ ）=log 2 log 2 =1（2）=1，而 2|x1x 2|= ，f（x 1）f（x 2）2|x 1x 2|，函数 f（x）=log 2x 不是“2利普希兹条件函数” （3）设 f（x）的最大值为 M，最小值为 m，在一个周期0，2内 f（a）=M，f（b）=m，则|f（x 1）f（x 2）|Mm=f（a）f（b）|ab|若|ab|1，显然有|f（x 1）f（x 2）|ab|1若|ab|1，不妨设 ab，则 0b+2a1，|f（x 1）f（x 2）|Mm=f（a）f（b+2）|ab2|1综上，|f（x 1）f（x 2）|1
