1、1专题三 5 大数学思想方法第一节 分类讨论思想类型一 由概念内涵分类(2018山东潍坊中考)如图 1，抛物线 y1ax 2 xc 与 x轴交于点 A和点 B(1，0)，与 y轴交于12点 C(0， )，抛物线 y1的顶点为 G，GMx 轴于点 M.将抛物线 y1平移后得到顶点为 B且对称轴为直线 l34的抛物线 y2.(1)求抛物线 y2的表达式；(2)如图 2，在直线 l上是否存在点 T，使TAC 是等腰三角形？若存在，请求出所有点 T的坐标；若不存在，请说明理由；(3)点 P为抛物线 y1上一动点，过点 P作 y轴的平行线交抛物线 y2于点 Q，点 Q关于直线 l的对称点为R.若以 P，
2、Q，R 为顶点的三角形与AMG 全等，求直线 PR的表达式【分析】(1)应用待定系数法求表达式；(2)设出点 T坐标，表示出TAC 三边，进行分类讨论；(3)设出点 P坐标，表示出 Q，R 坐标及 PQ，QR，根据以 P，Q，R 为顶点的三角形与AMG 全等，分类讨论对应边相等的可能性即可【自主解答】2此类题型与概念的条件有关，如等腰三角形有两条边相等(没有明确哪两条边相等)、直角三角形有一个角是直角(没有明确哪个角是直角)等，解决这类问题的关键是对概念内涵的理解，而且在分类讨论后还要判断是否符合概念本身的要求(如能否组成三角形)1(2018安徽中考改编)若一个数的绝对值是 8，则这个数是(
3、)A8 B8 C8 D18类型二 由公式条件分类(2018浙江嘉兴中考)我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”(1)概念理解：如图 1，在ABC 中，AC6，BC3，ACB30，试判断ABC 是否是“等高底”三角形，请说明理由(2)问题探究：3如图 2，ABC 是“等高底”三角形，BC 是“等底”，作ABC 关于 BC所在直线的对称图形得到ABC，连结 AA交直线 BC于点 D.若点 B是AAC 的重心，求 的值ACBC(3)应用拓展：如图 3，已知 l1 l2， l1与 l2之间的距离为 2.“等高底”ABC 的“等
4、底”BC 在直线 l1上，点 A在直线l2上，有一边的长是 BC的 倍将ABC 绕点 C按顺时针方向旋转 45得到ABC，AC 所在直线2交 l2于点 D.求 CD的值【分析】(1)过 A作 ADBC 于 D，则ADC 是直角三角形，ADC90，依据ACB30，AC6，可得 AD AC3，进而得到 ADBC3，即ABC 是“等高底”三角形；12(2)依据ABC 是“等高底”三角形，BC 是“等底”，可得 ADBC，依据ABC 关于 BC所在直线的对称图形是ABC，点 B是AAC 的重心，即可得到 BC2BD，设 BDx，则 ADBC2x，CD3x，由勾股定理得 AC x，即可得到 ；13ACB
5、C 13x2x 132(3)当 AB BC时，故 DFCFx，根据 AC3x2 ，求出 x ，画出图形分两种情况分别求2 52 53得 CD x 或 CD AC2 ；当 AC BC时，画出图形分两种情况讨论，求得223 10 2 2 2CDABBC2.【自主解答】4题目条件不明确或本身隐含条件是此类题型的特点，解题时，首先要仔细审题，打破思维定势，全面考虑问题，对题目中隐含的条件进行挖掘，这也是此类题型分类讨论的依据2(2018山东菏泽中考改编)一组“数值转换机”按下面的程序计算，如果输入的数是 36，则输出的结果为 106，要使输出的结果为 127，则输入的正整数是_类型三 由位置不确定分类
6、(2018山东潍坊中考)如图，菱形 ABCD 的边长是 4厘米，B60，动点 P以 1厘米/秒的速度自 A点出发沿 AB方向运动至 B点停止，动点 Q以 2厘米/秒的速度自 B点出发沿折线 BCD运动至 D点停止若点 P，Q 同时出发运动了 t秒，记BPQ 的面积为 S厘米 2，下面图象中能表示 S与 t之间的函数关系的是( )【分析】应根据 0t2 和 2t4 两种情况进行讨论把 t当作已知数值，就可以求出 S，从而得到函数的表达式，进一步即可求解5【自主解答】此类题型多为点、线、图形位置的不确定，解题时，依据位置的不同情况进行分类讨论，分类时容易遗漏，考虑问题时务必要全面类型四 由形状不确
7、定分类(2018湖北黄石中考)如图，在 RtPMN 中，P90，PMPN，MN6 cm，矩形 ABCD中 AB2 cm，BC10 cm，点 C和点 M重合，点 B，C(M)，N 在同一直线上，令 RtPMN不动，矩形 ABCD沿 MN所在直线以每秒 1 cm 的速度向右移动，至点 C与点 N重合为止，设移动 x秒后，矩形 ABCD与PMN 重叠部分的面积为 y，则 y与 x的大致图象是( )【分析】在 RtPMN 中解题，要充分运用好垂直关系和 45度角，因为此题也是点的移动问题，可知矩形ABCD以每秒 1 cm的速度开始向右移动到停止，和 RtPMN 重叠部分的形状可分为下列三种情况，(1)
8、0x2；(2)2x4；(3)4x6；根据重叠图形确定面积的求法，作出判断即可【自主解答】6此类题型主要是抓住图形特征进行讨论，如运动过程中对产生的形状不同进行讨论选择不同的分类依据会给问题解决带来不一样的难易程度，所以选择分类依据很重要3(2018云南中考)在ABC 中，AB ，AC5，若 BC边上的高等于 3，则 BC边的长为34_类型五 由对应关系不确定分类(2018湖南常德中考)如图，已知二次函数的图象过点 O(0，0)，A(8，4)，与 x轴交于另一点B，且对称轴是直线 x3.(1)求该二次函数的表达式；(2)若 M是 OB上的一点，作 MNAB 交 OA于 N，当ANM 面积最大时，
9、求 M的坐标；(3)P是 x轴上的点，过 P作 PQx 轴，与抛物线交于 Q.过 A作 ACx 轴于 C，当以 O，P，Q 为顶点的三角形与以 O，A，C 为顶点的三角形相似时，求 P点的坐标【分析】(1)先利用抛物线的对称性确定 B(6，0)，然后设交点式求抛物线表达式；(2)设 M(t，0)，先求出直线 OA，直线 AB，直线 MN的表达式，再通过解方程组 得 N( t， t)，y 12x，y 2x 2t) 43 23接着利用三角形面积公式，利用 SAMN S AOM S NOM 得到 SAMN ，然后根据二次函数的性质解决问题；(3)设 Q(m， m2 m)，根据相似三角形的判定方法，分
10、两种情况讨论，然后分别解关于 m的绝对值方程14 32可得到对应的 P点坐标【自主解答】74(2018新疆乌鲁木齐中考)在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 y x2bxc 经过点 A(2，0)，14B(8，0)(1)求抛物线的表达式；(2)点 C是抛物线与 y轴的交点，连结 BC，设点 P是抛物线上在第一象限内的点，PDBC，垂足为点 D.是否存在点 P，使线段 PD的长度最大？若存在，请求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由；当PDC 与COA 相似时，求点 P的坐标8参考答案类型一【例 1】 (1)由题意知解得c 34，a 12 c 0， ) a 14，c 34， )抛物线 y1的表达式为
11、 y1 x2 x .14 12 34抛物线 y1平移后得到抛物线 y2，且顶点为 B(1，0)，抛物线 y2的表达式为 y2 (x1) 2，14即 y2 x2 x .14 12 14(2)抛物线 y2的对称轴 l为 x1，设 T(1，t)已知 A(3，0)，C(0， )34如图，过点 T作 TEy 轴于点 E，则TC2TE 2CE 21 2( t) 2t 2 t ，34 32 25169TA2AB 2TB 2(13) 2t 2t 216，AC 2 .15316当 TCAC 时，即 t2 t ，32 2516 15316解得 t1 或 t2 ；3 1374 3 1374当 TAAC 时，得 t2
12、16 ，无解；15316当 TATC 时，得 t2 t t 216，解得 t3 .32 2516 778综上可知，在抛物线 y2的对称轴 l上存在点 T，使TAC 是等腰三角形，此时 T点的坐标为 T1(1，)，T 2(1， )，T 3(1， )3 1374 3 1374 778(3)设 P(m， m2 m )，则 Q(m， m2 m )14 12 34 14 12 14Q，R 关于 x1 对称，R(2m， m2 m )14 12 14情况一：当点 P在直线 l的左侧时，PQ m2 m ( m2 m )1m，14 12 34 14 12 14QR22m.10又以 P，Q，R 构成的三角形与AM
13、G 全等，当 PQGM 且 QRAM 时，m0，可求得 P(0， )，即点 P与点 C重合，34R(2， )14设 PR的表达式为 ykxb，则有 解得b 34，2k b 14， ) k 12，b 34， )即 PR的表达式为 y x .12 34当 PQAM 且 QRGM 时，无解情况二：当点 P在直线 l右侧时，PQ m2 m ( m2 m )m1，14 12 14 14 12 34QR2m2，同理可得 P(2， )，R(0， )，54 14PR的表达式为 y x .12 14综上所述，PR 的表达式为 y x 或 y x .12 34 12 14变式训练1C 类型二【例 2】 (1)AB
14、C 是“等高底”三角形理由如下：如图 1，过 A作 ADBC 于 D，则ADC 是直角三角形，ADC90.ACB30，AC6，AD AC3，12ADBC3，即ABC 是“等高底”三角形(2)如图 2，ABC 是“等高底”三角形，BC 是“等底”，11ADBC.ABC 关于 BC所在直线的对称图形是ABC，ADC90.点 B是AAC 的重心，BC2BD.设 BDx，则 ADBC2x，CD3x，由勾股定理得 AC x，13 .ACBC 13x2x 132(3)当 AB BC时，2.如图 3，作 AEBC 于 E，DFAC 于 F.“等高底”ABC 的“等底”为 BC， l1 l2， l1与 l2之
15、间的距离为 2，AB BC，2BCAE2，AB2 ，2BE2，即 EC4，AC2 .5ABC 绕点 C按顺时针方向旋转 45得到ABC，DCF45.设 DFCFx. l1 l2，ACEDAF， ，即 AF2x，DFAF AECE 12AC3x2 ，5x ，CD x .23 5 2 23 10.如图 4，此时ABC 等腰直角三角形12ABC 绕点 C按顺时针方向旋转 45得到ABC，ACD 是等腰直角三角形，CD AC2 .2 2当 AC BC时，2.如图 5，此时ABC 是等腰直角三角形ABC 绕点 C按顺时针方向旋转 45得到ABC，AC l1，CDABBC2.如图 6，作 AEBC 于 E
16、，则 AEBC.AC BC AE，ACE45，2 2ABC 绕点 C按顺时针方向旋转 45，得到ABC 时，点 A在直线 l1上，AC l2，即直线 AC 与 l2无交点综上所述，CD 的值为 ，2 ，2.23 10 2变式训练215 或 43 类型三【例 3】 当 0t2 时，S 2t (4t) t22 t；12 32 32 3当 2t4 时，S 4 (4t) t4 .12 32 3 3只有选项 D的图形符合故选 D.类型四【例 4】 P90，PMPN，13PMNPNM45.由题意得 CMx.分三种情况：当 0x2 时，如图 1，边 CD与 PM交于点 E.PMN45，MEC 是等腰直角三角
17、形，此时矩形 ABCD与PMN 重叠部分是EMC，yS EMC CMCE x2.12 12故选项 B和 D不正确；如图 2，当 D在边 PN上时，过 P作 PFMN 于 F，交 AD于 G.N45，CD2，CNCD2，CM624，即此时 x4.当 2x4 时，如图 3，矩形 ABCD与PMN 重叠部分是四边形 EMCD，过 E作 EFMN 于 F，EFMF2，EDCFx2，yS 梯形 EMCD CD(DECM) 2(x2x)2x2；12 12当 4x6 时，如图 4，矩形 ABCD与PMN 重叠部分是五边形 EMCGF，过 E作 EHMN 于 H，EHMH2，DECHx2，MN6，CMx，CG
18、CN6x，DFDG2(6x)x4，14yS 梯形 EMCDS FDG CD(DECM) DG2 2(x2x) (x4) 2 x26x10.12 12 12 12 12故选项 A正确，故选 A.变式训练31 或 9 类型五【例 5】 (1)抛物线过原点，对称轴是直线 x3，B 点坐标为(6，0)设抛物线表达式为 yax(x6)，把 A(8，4)代入得 a824，解得 a ，14抛物线表达式为 y x(x6)，即 y x2 x.14 14 32(2)设 M(t，0)，易得直线 OA的表达式为 y x.12设直线 AB的表达式为 ykxb，把 B(6，0)，A(8，4)代入得 6k b 0，8k b
19、 4， )解得 k 2，b 12， )直线 AB的表达式为 y2x12.MNAB，设直线 MN的表达式为 y2xn，把 M(t，0)代入得 2tn0，解得 n2t，直线 MN的表达式为 y2x2t.解方程组 得y 12x，y 2x 2t) x 43t，y 23t， )则 N( t， t)，43 23S AMN S AOM S NOM 4t t t12 12 23 t22t13 (t3) 23，13当 t3 时，S AMN 有最大值 3，此时 M点坐标为(3，0)15(3)设 Q(m， m2 m)14 32OPQACO，当 时，PQOCOA，PQOC POAC即 ，PQ8 PO4PQ2PO，即|
20、 m2 m|2|m|，14 32解方程 m2 m2m 得 m10(舍去)，m 214，14 32此时 P点坐标为(14，28)；解方程 m2 m2m 得 m10(舍去)，m 22，14 32此时 P点坐标为(2，4)当 时，PQOCAO，PQAC POOC即 ，PQ4 PO8PQ PO，即| m2 m| |m|，12 14 32 12解方程 m2 m m得 m10(舍去)，m 28(舍去)，14 32 12解方程 m2 m m得 m10(舍去)，m 24，14 32 12此时 P点坐标为(4，2)综上所述，P 点坐标为(14，28)或(2，4)或(4，2)变式训练4解：(1)把 A(2，0)，
21、B(8，0)代入抛物线 y x2bxc 得14 1 2b c 0， 16 8b c 0， )解得 b 32，c 4， )抛物线的表达式为 y x2 x4.14 32(2)由(1)知 C(0，4)，B(8，0)，易得直线 BC的表达式为 y x4.12如图 1，过 P作 PGx 轴于 G，PG 交 BC于 E.16在 RtBOC 中，OC4，OB8，BC 4 .42 82 5在 RtPDE 中，PDPEsinPEDPEsinOCB PE，2 55当线段 PE最长时，PD 的长度最大设 P(t， t2 t4)，14 32则 E(t， t4)，12PG t2 t4，EG t4，14 32 12PEP
22、GEG( t2 t4)( t4) t22t (t4) 24(0t8)14 32 12 14 14当 t4 时，PE 有最大值是 4，此时 P(4，6)，PD 4 ，2 55 8 55即当 P(4，6)时，PD 的长度最大，最大值是 .8 55A(2，0)，B(8，0)，C(0，4)，OA2，OB8，OC4，AC 22 24 220，AB 2(28) 2100，BC 24 28 280，AC 2BC 2AB 2，ACB90，COABOC，当PDC 与COA 相似时，就有PDC 与BOC 相似相似三角形的对应角相等，PCDCBO 或PCDBCO.()若PCDCBO 时，即 RtPDCRtCOB，此
23、时 CPOB.C(0，4)，y P4， t2 t44，14 32解得 x16，x 20(舍去)，即 RtPDCRtCOB 时，P(6，4)17()若PCDBCO 时，即 RtPDCRtBOC，如图 2，过 P作 x轴的垂线 PG，交直线 BC于 F，过 P作 PNy 轴于 N.PFOC，PFCBCO，PCDPFC，PCPF.设 P(n， n2 n4)，则 PF n22n.14 32 14RtPNC 中，PC 2PN 2CN 2PF 2，n 2( n2 n44) 2( n22n) 2，14 32 14解得 n3，即 RtPDCRtBOC 时，P(3， )254综上所述，当PDC 与COA 相似时，点 P的坐标为(6，4)或(3， )254
