1、1课时 2 二次函数与几何图形综合姓名：_ 班级：_ 限时：_分钟角度问题1(2018广东省卷)如图，已知顶点为 C(0，3)的抛物线 yax 2b(a0)与 x轴交于 A、B 两点，直线 yxm 过顶点 C和点 B.(1)求 m的值；(2)求函数 yax 2b(a0)的解析式；(3)抛物线上是否存在点 M，使得MCB15？若存在，求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由2(2018天津)在平面直角坐标系中，点 O(0，0)，点 A(1，0)已知抛物线 yx 2mx2m(m 是常数)顶点为 P.()当抛物线经过点 A时，求顶点 P的坐标；()若点 P在 x轴下方，当AOP45时，求抛物线对应的函
2、数解析式；()无论 m取何值，该抛物线都经过定点 H，当AHP45时，求抛物线对应的函数解析式2面积问题3(2018黄冈)已知直线 l：ykx1 与抛物线 yx 24x.(1)求证：直线 l与该抛物线总有两个交点；(2)设直线 l与该抛物线两交点为 A，B，O 为原点，当 k2 时，求OAB 的面积34(2018陕西)已知抛物线 L：yx 2x6 与 x轴相交于 A、B 两点(点 A在点 B的左侧)，并与 y轴相交于点 C.(1)求 A、B、C 三点的坐标，并求ABC 的面积；(2)将抛物线 L向左或向右平移，得到抛物线 L，且 L与 x轴相交于 A、B两点(点 A在点 B的左侧)，并与 y轴
3、相交于点 C，要使ABC和ABC 的面积相等，求所有满足条件的抛物线的函数表达式5(2018厦门质检)已知二次函数 yax 2bxt1，t0.(1)当 t2 时，4若二次函数图象经过点(1，4)，(1，0)，求 a，b 的值；若 2ab1，对于任意不为零的实数 a，是否存在一条直线 ykxp(k0)，始终与函数图象交于不同的两点？若存在，求出该直线的表达式；若不存在，请说明理由(2)若点 A(1，t)，B(m，tn)(m0，n0)是二次函数图象上的两点，且 SAOB n2t，当121xm 时，点 A是该函数图象的最高点，求 a的取值范围特殊三角形存在性问题6(2018山西)综合与探究如图，抛物
4、线 y x2 x4 与 x轴交于 A，B 两点(点 A在点 B的左侧)，与 y轴交于点 C，连接 AC，BC.13 13点 P是第四象限内抛物线上的一个动点，点 P的横坐标为 m，过点 P作 PMx 轴，垂足为点 M，PM 交 BC于点 Q，过点 P作 PEAC 交 x轴于点 E，交 BC于点 F.(1)求 A，B，C 三点的坐标；(2)试探究在点 P运动的过程中，是否存在这样的点 Q，使得以 A，C，Q 为顶点的三角形是等腰三角形若存在，请直接写出此时点 Q的坐标；若不存在，请说明理由；(3)请用含 m的代数式表示线段 QF的长，并求出 m为何值时 QF有最大值57(2018河南)如图，抛物
5、线 yax 26xc 交 x轴于 A，B 两点，交 y轴于点 C，直线 yx5 经过点B，C.(1)求抛物线的解析式；(2)过点 A的直线交直线 BC于点 M.当 AMBC 时，过抛物线上一动点 P(不与点 B，C 重合)，作直线 AM的平行线交直线 BC于点 Q，若以点A，M，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点 P的横坐标；连接 AC，当直线 AM与直线 BC的夹角等于ACB 的 2倍时，请直接写出点 M的坐标第 7题图 备用图68(2018泉州质检)已知：二次函数 yax 2bxc(a0)的图象与 x轴交于点 A、B(3，0)，顶点为C(1，2)()求该二次函数的解析式；()如图，过
6、 A，C 两点作直线，并将线段 AC沿该直线向上平移，记点 A，C 分别平移到点 D，E 处，若点 F在这个二次函数的图象上，且DEF 是以 EF为斜边的等腰直角三角形，求点 F的坐标；()试确定实数 p，q 的值，使得当 pxq 时，py .52参考答案1解： (1)将(0，3)代入 yxm，得 m3.(2)将 y0 代入 yx3，得 x3.B(3，0)7将(0，3)，(3，0)分别代入 yax 2b，得 ，解得 y x23.b 3，9a b 0， ) a 13，b 3.) 13(3)存在，分以下两种情况：若 M在 BC上方，设 MC交 x轴于点 D，则ODC451560.ODOC tan3
7、0 .3设直线 DC为 ykx3，代入( ，0)，得 k .3 3联立方程组 解得y 3x 3，y 13x2 3， ) x1 0，y1 3， )x2 3 3，y2 6. )M 1(3 ，6)3若 M在 BC下方，设 MC交 x轴于点 E，则OEC451530，OEOC tan603 .3设直线 EC为 ykx3，代入(3 ，0)，得 k .333联立方程组 解得y 33x 3，y 13x2 3， ) x1 0，y1 3， )x2 3，y2 2， )M 2( ，2)3综上所述，M 的坐标为(3 ，6)或( ，2)3 32解： ()抛物线 yx 2mx2m 经过点 A(1，0)，01m2m，解得
8、m1.抛物线对应的函数解析式为 yx 2x2.化为顶点式为 y(x )2 .12 94顶点 P的坐标为( ， )12 94()抛物线 yx 2mx2m 的顶点 P的坐标为( ， )m2 m2 8m4由点 A(1，0)在 x轴正半轴上，点 P在 x轴下方， AOP45，过点 P作 PQx 轴于点 Q，则POQOPQ45，可知 PQOQ，即 ，m2 8m4 m28解得 m10，m 210.当 m0 时，点 P不在第四象限，舍去m10.抛物线对应的函数解析式为 yx 210x20.()由 yx 2mx2m(x2)mx 2可知，当 x2 时，无论 m取何值，y 都等于 4.得点 H的坐标为(2，4)过
9、点 A作 ADAH，交射线 HP于点 D，分别过点 D，H 作 x轴的垂线，垂足分别为 E，G，则DEAAGH90，DAH90，AHD45，ADH45，AHAD.DAEHAGAHGHAG90，DAEAHG.ADEHAG.DEAG1，AEHG4.可得点 D的坐标为(3，1)或(5，1)当点 D的坐标为(3，1)时，可得直线 DH的解析式为 y x .35 145点 P( ， )在直线 y x 上，m2 m2 8m4 35 145 ( ) ，m2 8m4 35 m2 145解得 m14，m 2 . 145当 m4 时，点 P与点 H重合，不符合题意，m .145当点 D的坐标为(5，1)时，可得直
10、线 DH的解析式为 y x .53 223点 P( ， )在直线 y x 上，m2 m2 8m4 53 223 ( ) ，m2 8m4 53 m2 223解得 m14(舍)，m 2 .2239m .223综上，m 或 .145 223故抛物线解析式为 yx 2 x 或 yx 2 x .145 285 223 4433(1)证明：联立 y kx 1，y x2 4x， )化简可得：x 2(4k)x10， (4k) 240，直线 l与该抛物线总有两个交点；(2)解：当 k2 时，y2x1，过点 A作 AFx 轴于 F，过点 B作 BEx 轴于 E，如解图联立 y x2 4x，y 2x 1， )解得：
11、 或x 1 2，y 1 2 2， ) x 1 2，y 2 2 1.)A(1 ，2 1)，B(1 ，12 )2 2 2 2AF2 1，BE12 .2 2易求得：直线 y2x1 与 x轴的交点 C为( ，0)12OC .12S AOB S AOC S BOC OCAF OCBE12 12 OC(AFBE)12 (2 112 )12 12 2 2 .24解： (1)令 y0，得 x2x60.解得 x3 或 x2.10A(3，0)，B(2，0)令 x0，得 y6.C(0，6)AB5，OC6.S ABC ABOC 5615.12 12(2)由题意，得 ABAB5.要使 SABC S ABC ，只要抛物线
12、 L与 y轴交点为 C(0，6)或 C(0，6)即可设所求抛物线 L：yx 2mx6，yx 2nx6.又知，抛物线 L与抛物线 L的顶点纵坐标相同， ， .24 m24 24 14 24 n24 24 14解得 m7，n1(n1 舍去)抛物线 L：yx 27x6，yx 27x6或 yx 2x6.5解： (1)当 t2 时，二次函数为 yax 2bx3.把(1，4)，(1，0)分别代入 yax 2bx3，得 解得a b 3 4，a b 3 0.) a 1，b 2.)即 a1，b2.解法一：2ab1，二次函数为 yax 2(2a1)x3.当 x2 时，y1；当 x0 时，y3.二次函数图象一定经过
13、点(2，1)，(0，3)因为经过这两点的直线的表达式为 ykxp(k0)，所以把(2，1)，(0，3)分别代入，可求得该直线表达式为 yx3.即直线 yx3 始终与二次函数图象交于(2，1)，(0，3)两点解法二：当直线与二次函数图象相交时，有 kxpax 2(2a1)x3.整理可得 ax2(2ak1)x3p0.可得 (2ak1) 24a(3p)若直线与二次函数图象始终有两个不同的交点，则 0.化简可得 4a24a(kp2)(1k) 20.11无论 a取任意不为零的实数，总有 4a20，(1k) 20，当 kp20 时，总有 0.可取 p1，k3.对于任意不为零的实数 a，存在直线 y3x1
14、始终与函数图象交于不同的两点(2)把 A(1，t)代入 yax 2bxt1，可得 ba1.A(1，t)，B(m，tn)(m0，n0)，则直线 AB的解析式为 y (x1)t，nm 1令 x0，解得 y t0，nm 1则 SAOB (t )(m1)，12 nm 1又S AOB n2t，12 (mttn) n2t，解得 m3.12 12A(1，t)，B(3，tn)n0，所以 ttn.当 a0 时，二次函数图象的顶点为最低点，当1x3 时，若点 A为该函数图象最高点，则yAy B，分别把 A(1，t)，B(3，tn) 代入 yax 2bxt1，得tabt1，tn9a3bt1.ttn，abt19a3b
15、t1.可得 2ab0.即 2a(a1)0.解得 a .所以 0a .13 13当 a0 时，由 ttn，可知若 A，B 在对称轴的异侧，当1x3 时，图象的最高点是抛物线的顶点而不是点 A；若 A，B 在对称轴的左侧，因为当 x 时，y 随 x的增大而增大，所以当1x3 时，点 A为该函数图象最低点；若b2aA、B 在对称轴的右侧，当 时，y 随 x的增大而减小，b2a当1x3 时，12点 A为该函数图象最高点，则 1.b2a即 1.解得 a1.a 12a所以1a0.综上，0a 或1a0.136.解：(1)由 y0，得 x2 x40.13 13解，得 x13，x 24.点 A，B 的坐标分别为
16、 A(3，0)，B(4，0)由 x0，得 y4，点 C的坐标为 C(0，4)(2)Q1( ， 4)，Q 2(1，3)5 22 5 22(3)过点 F作 FGPQ 于点 G，则 FGx 轴，由 B(4，0)，C(0，4)，得OBC 为等腰直角三角形OBCQFG45，GQFG FQ.22PEAC，12.FGx 轴，23.13.FGPAOC90，FGPAOC. ，即 .FGAO GPOC FG3 GP4GP FG FQ FQ.43 43 22 2 23QPGQGP FQ FQ FQ.22 2 23 7 26FQ QP.3 27PMx 轴，点 P的横坐标为 m，MBQ45，QMMB4m，PM m2 m
17、4.13 13QPPMQM m2 m4(4m)13 13 m2 m.13 43QF QP ( m2 m)3 27 3 27 13 43 m2 m.27 4 2713 0，QF 有最大值且当 m 2 时，QF 有最大值274 272（ 27）7解：(1)直线 yx5 交 x轴于点 B，交 y轴于点 C，B(5，0)，C(0，5)抛物线 yax 26xc 过点 B，C， ， ，0 25a 30 c 5 c ) a 1c 5)抛物线的解析式为 yx 26x5.(2)OBOC5，BOC90，ABC45.抛物线 yx 26x5 交 x轴于 A，B 两点，A(1，0)，AB4.AMBC，AM2 ，2PQA
18、M，PQBC，若以点 A，M，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形，则 PQAM2 ，2过点 P作 PDx 轴交直线 BC于点 D，则PDQ45，PD PQ4.2设 P(m，m 26m5)，则 D(m，m5)分两种情况讨论如下：()当点 P在直线 BC上方时，PDm 26m5(m5)m 25m4，m 11(舍去)，m 24.()当点 P在直线 BC下方时，PDm5(m 26m5)m 25m4，m 3 ，m 4 .5 412 5 412综上，点 P的横坐标为 4或 或 .5 412 5 41214M( ， )或( ， )136 176 236 768解： ()二次函数的顶点为 C(1，2)，设二次
19、函数的解析式为 ya(x1) 22.把 B(3，0)代入得 a(31) 220，解得 a .12二次函数的解析式为 y (x1) 22.12()由 (x1) 220 得 x13，x 21，12点 A(1，0)过点 C作 CHx 轴于点 H，如解图，点 C(1，2)，CH2，OH1，又AO1，AH2CH，145，AC 2 .AH2 CH2 2在等腰 RtDEF 中，DEDFAC2 ，FDE90，2245，EF 4，DE2 DF212，EFCHy 轴由 A(1，0)，C(1，2)可求得直线 AC对应的函数解析式为 yx1.由题意设点 F (其中 m1)，则点 E(m，m1)，(m，12m2 m 3
20、2)EF (m1) m2 4，(12m2 m 32) 12 12解得 m13，m 23(舍去)点 F(3，6)，()当 y 时， (x1) 22 ，解得 x14，x 22.52 12 52抛物线 y (x1) 22，根据抛物线的性质可知，1215当 x1 时，y 随 x的增大而减小，当 x1 时，y 随 x的增大而增大，当 x1 时，y 的最小值为2.pxq，py ，52可分三种情况讨论当 pq1 时，由增减性得：当 xp4 时，y 最大 ，当 xq 时，y 最小 p42，不合题意，舍去；52当 p1q 时，(i)若(1)pq(1)，由增减性得：当 xp4 时，y 最大 ，当 x1 时，y 最小 2p，不合题意，舍去；52(ii)若(1)pq(1)，由增减性得：当 xq2 时，y 最大 ，当 x1 时，y 最小 p2，符合题意，52p2，q2.当1pq 时，由增减性得：当 xq2 时，y 最大 ，当 xp 时，y 最小 p，52把 xp，yp 代入 y (x1) 22，得 p (p1) 22，12 12解得 p1 ，p 2 1(不合题意，舍去)3 3p ，q2.3综上， 或p 2，q 2 ) p 3，q 2.)
