1、二、利用导数解不等式及参数的取值范围,-2-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,利用导数证明不等式 【思考】 如何利用导数证明不等式? 例1已知函数f(x)=ax2-ax-xln x,且f(x)0. (1)求a; (2)证明:f(x)存在唯一的极大值点x0,且e-2f(x0)2-2.,-3-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,-4-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,因为f(x)=h(x),所以x=x0是f(x)的唯一极大值点. 由f(x0)=0得ln x0=2(x0-1),故f(x0)=x0(1-x0). 由x0(0,1)得f(x0)f(e-1)=e-2. 所以e-2f(x0)2-2.
2、,-5-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,题后反思利用导数证明不等式,主要是构造函数,通过导数判断函数的单调性,由函数的单调性证明不等式成立,或通过求函数的最值,当该函数的最大值或最小值使不等式成立时,则不等式是恒成立,从而可将不等式的证明转化为求函数的最值.,-6-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,对点训练1(2018全国,理21)已知函数f(x)=ex-ax2. (1)若a=1,证明:当x0时,f(x)1; (2)若f(x)在区间(0,+)内只有一个零点,求a.,(1)证明 当a=1时,f(x)1等价于(x2+1)e-x-10. 设函数g(x)=(x2+1)e-x-1,则g(x)=
3、-(x2-2x+1)e-x=-(x-1)2e-x. 当x1时,g(x)0,h(x)没有零点; (ii)当a0时,h(x)=ax(x-2)e-x. 当x(0,2)时,h(x)0. 所以h(x)在区间(0,2)内单调递减,在区间(2,+)内单调递增.,-7-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,-8-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,-9-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,-10-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,-11-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,-12-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,利用导数解与不等式恒成立有关的问题 【思考】 求解不等式的恒成立问题和有解问题、无
4、解问题的基本方法有哪些? 例2已知函数f(x)=ax+bx(a0,b0,a1,b1). (1)设a=2,b= . 求方程f(x)=2的根; 若对于任意xR,不等式f(2x)mf(x)-6恒成立,求实数m的最大值; (2)若01,函数g(x)=f(x)-2有且只有1个零点,求ab的值.,-13-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,-14-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,-15-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,-16-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,题后反思1.不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题的解题方法是依据不等式的特点,进行等价变形.构造函数,借助函数的图象观察或参变分
5、离,转化为求函数的最值问题来处理.如不等式f(x)g(x)恒成立的处理方法一般是构造F(x)=f(x)-g(x),F(x)min0;或分离参数,将不等式等价变形为ah(x)或ah(x),进而转化为求函数h(x)的最值.,-17-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,对点训练2已知函数f(x)=ex-ax-1- ,xR. (1)当a=2时,求f(x)的图象在点(0,f(0)处的切线方程; (2)若对任意x0都有f(x)0恒成立,求实数a的取值范围.,-18-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,解: (1)因为当a=2时,f(x)=ex-2x-1- ,所以f(0)=0,f(x)=ex-2-x,所
6、以f(0)=-1.所以所求切线方程为y=-x. (2)f(x)=ex-x-a,令h(x)=f(x)=ex-x-a,则h(x)=ex-1, 当x0时,h(x)0,f(x)单调递增, 所以f(x)f(0)=1-a. 当a1时,f(x)0,f(x)在区间0,+)内单调递增,f(x)f(0)=0恒成立; 当a1时,存在x0(0,+),使f(x0)=0,则f(x)在区间0,x0)内单调递减,在区间(x0,+)内单调递增, 则当x0,x0)时,f(x)f(0)=0,不合题意. 综上所述,实数a的取值范围为(-,1.,-19-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,利用导数解函数中的探索性问题 【思考】 解决
7、探索性问题的常用方法有哪些? 例3设函数f(x)定义在区间(0,+)上,f(1)=0,导函数f(x)= , g(x)=f(x)+f(x). (1)求g(x)的单调区间和最小值. (2)讨论g(x)与g 的大小关系. (3)是否存在x00,使得|g(x)-g(x0)|0成立?若存在,求出x0的取值范围;若不存在,请说明理由.,-20-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,当x(0,1)时,g(x)0,则(1,+)是g(x)的单调递增区间. 所以x=1是g(x)的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值点, 故最小值为g(1)=1.,-21-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,-22-,命题热点一
8、,命题热点二,命题热点三,题后反思解决探索性问题的常用方法: (1)从最简单、最特殊的情况出发,有时也可借助直觉观察或判断,推测出命题的结论,必要时给出严格证明. (2)假设结论存在,若推证无矛盾,则结论存在;若推出矛盾,则结论不存在. (3)使用等价转化思想,找出命题成立的充要条件.,-23-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,对点训练3设函数f(x)=(x+a)ln x,g(x)= .已知曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线与直线2x-y=0平行. (1)求a的值. (2)是否存在自然数k,使得方程f(x)=g(x)在(k,k+1)内存在唯一的根?如果存在,求出k;如果不存在,请说
9、明理由. (3)设函数m(x)=minf(x),g(x)(minp,q表示p,q中的较小值),求m(x)的最大值.,解：(1)由题意知,曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线斜率为2, 所以f(1)=2.,-24-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,-25-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,-26-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,-27-,规律总结,拓展演练,1.无论是不等式的证明、解不等式,还是不等式的恒成立问题、有解问题、无解问题,构造函数,运用函数的思想,利用导数研究函数的性质(单调性和最值),达到解题的目的,是一成不变的思路,合理构思,善于从不同角度分析问题是解题的法宝
10、. 2.当利用导数求解含参数的问题时,首先,要具备必要的基础知识(导数的几何意义、导数在单调性上的应用、函数的极值求法、最值求法等);其次,要灵活掌握各种解题方法和运算技巧,比如参变分离法,分类讨论思想和数形结合思想等.当涉及函数的极值和最值问题时,一般情况下先求导函数,然后观察能否分解因式,若能,则比较根的大小,并与定义域比较位置关系、分段考虑导函数符号,划分单调区间,判断函数的大致图象;若不能,则考虑二次求导,研究函数是否具有单调性.,-28-,规律总结,拓展演练,答案,解析,-29-,规律总结,拓展演练,2.已知函数f(x)=ex-mx+1的图象为曲线C,若曲线C存在与直线y= x垂直的
11、切线,则实数m的取值范围是 .,答案,解析,-30-,规律总结,拓展演练,3.若函数f(x)=2ln x+x2-5x+c在区间(m,m+1)内为减函数,则m的取值范围是 .,答案,解析,-31-,规律总结,拓展演练,4.已知函数f(x)= x2-ax+(a-1)ln x,a1. (1)求f(x)的单调区间; (2)若g(x)=(2-a)x-ln x,f(x)g(x)在区间e,+)上恒成立,求a的取值范围.,故f(x)在区间(0,+)上单调递增. 若a-11,则10. 故f(x)在区间(a-1,1)内单调递减,在区间(0,a-1),(1,+)内单调递增.,-32-,规律总结,拓展演练,若a-11,即a2,同理可得f(x)在区间(1,a-1)内单调递减,在区间(0,1),(a-1,+)内单调递增.,-33-,规律总结,拓展演练,5.已知函数f(x)=x-1-aln x. (1)若f(x)0,求a的值;,-34-,规律总结,拓展演练,解: (1)f(x)的定义域为(0,+).所以f(x)在区间(0,a)单调递减,在区间(a,+)单调递增. 故x=a是f(x)在区间(0,+)的唯一最小值点. 由于f(1)=0,所以当且仅当a=1时,f(x)0. 故a=1.,-35-,规律总结,拓展演练,
