1、标准实用文案文档导数选择题之构造函数法解不等式的一类题一、单选题1定义在 上的函数 的导函数为 ，若对任意实数 ，有 ，且 为奇函数，R f(x) f(x) x f(x)f(x) f(x)+2018则不等式 的解集为 f(x)+2018ex0 xA B (-, -1) (0,1) (-, -1) (-1,0)C D (0,1) (1,+) (-1,0) (0,+)3定义在 上的偶函数 的导函数 ，若对任意的正实数 ，都有 恒成立，则R f(x) f(x) x 2f(x)+xf(x)0 xf/(x)-f(x)，则不等式 的解集为( )f(2)=0 f(x)0A B (-2，0) (0，2) (-
2、 ， -2) (2， + )C D (- ， -2) (0，2) (-2，0) (2， + )5定义在 上的函数 满足 ， ，则不等式(-1,+ ) f(x) f(x)sinx+x+1A B C D (-,0) (-1,0) (0,+ ) (-1,1)6设定义在 上的函数 满足任意 都有 ，且 时，有R y=f(x) x R f(x+2)=-f(x) x (0,4，则 的大小关系是 （ ）f(x)f(2016)4f(2017)C D 4f(2017)2f(2018)f(2016) 4f(2017)6, f(1)=2 f(x)3-1x2A B x|x2 x| -11 x| -21-f(x),f(
3、0)=0,f(x)f(x)（其中 e 为自然对数的底数）的解集为( )exf(x)ex-1A B C D (-, -1) (0,+) (0,+) (-,0) (1,+)(1,+)9已知定义在 上的函数 的导函数为 ，满足 ，且 ，则不等式R y=f(x) f(x) f(x)f(x) f(0)=2的解集为（ ）f(x)2exA B C D (-,0) (0,+ ) (-,2) (2,+ )10定义在 上的函数 f(x)满足 ，则不等式 的解集为(0,+ ) xf(x)+10,f(2)=-ln2 f(ex)+x0A B C D (0,2ln2) (0,ln2) (ln2,+ ) (ln2,1)11
4、已知定义在 上的函数 满足 ，其中 是函数 的导函(0,+) f(x) xf(x)-f(x)(m-2018)f(2)mA B C D (0,2018) (2018,+) (2020,+) (2018,2020)12已知函数 f(x)是定义在 R 上的可导函数，且对于 xR ，均有 f(x)f( x)，则有（ ）A e 2017f(2017)e2017f(0) B e 2017f(2017) f(0)， f(2017)e2017f(0) D e 2017f(2017) f(0)， f(2017)0的解集为f(2017+x)-(x+2017)2f(-1)0则不等式 的解集为（ ）(x+2018)2
5、f(x+2018)-2017 x|x3f( 2) 2f(1)f(2)16已知函数 满足条件：当 时， ，则下列不等式正确的是（ ）f(x) x0 f(x)+12xf(x)1A B f(1)+34f(2) f(2)+34f(4)C D f(1)+8f(x)tanxA B 2f( 4)f( 3) 3f( 6)2cos1f(1)C D 2f( 4)0若 ，则（ ）10 lnxf(x)0 xA B C D (-2,0) (0,2) (-, -2) (2,+) (-2,0) (2,+)(-, -2) (0,2)标准实用文案文档参考答案1B【解析】 【分析】构造函数 ，则得 的单调性，再根据 为奇函数得
6、，转化不等式为g(x)=f(x)ex g(x) f(x)+2018 g(0)，最后根据单调性性质解不等式.g(x)0【点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如 构造 ， 构造 ，f(x)f(x)所以当 时， 恒大于零，x0 g(x)=f(x)x又 g(-1)=f(-1)-1 =0函数 的图象性质类似如图， g(x)数形结合可得，不等式 ，f(x)0xg(x)0或 ，x0g(x)0 x0 x (-, -1) (0,1)点睛：本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题. 联系
7、已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：根据导函数的“形状”变换不等式“形状” ；若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.标准实用文案文档3A【解析】【详解】分析：构造新函数 ，利用导数确定它的单调性，从而可得题中不等式的解g(x)=x2f(x)-x2详解：设 ，则 ，由已知g(x)=x2f(x)-x2 g(x)=2xf
8、(x)+x2f(x)-2x =x(2f(x)+xf(x)-2)当 时， ， 在 上是减函数，又 是偶函数，x0 g(x)=x(2f(x)+xf(x)-21 x1故选 A点睛：本题考查用导数研究函数的单调性，然后解函数不等式解题关键是构造新函数新函数的结构可结合已知导数的不等式和待解的不等式的形式构造如 ， ， ，g(x)=xf(x)g(x)=f(x)x g(x)=exf(x)等等g(x)=f(x)ex4B【解析】分析：设 ，结合求导法则，以及题中的条件，可以断定函数在相应区间上的单调性，g(x)=f(x)x根据函数的单调性和函数的奇偶性求出不等式的解集即可.详解：设 ，所以 ，g(x)=f(x
9、)x g(x)=xf(x)-f(x)x2因为当 时，有 恒成立，x0 xf(x)-f(x)0所以当 时 ，所以 在 上递增，x0 g(x)0 g(x)(0,+)因为 ，所以 ，所以 是奇函数，f(-x)=f(x) g(-x)=f(-x)-x =-g(x) g(x)所以 在 上递增，因为 ，所以 ，g(x)(-,0) f(2)=0 g(2)=f(2)2 =0标准实用文案文档当 时， 等价于 ，所以 ，所以 ，x0 f(x)0f(x)x 0 g(x)0=g(2） x2当 时， 等价于 ，所以 ，所以 ，x0f(x)x g(0)析可得答案.详解：根据题意，设 ，g(x)=f(x)-sinx-x则 ，
10、g(x)=f(x)-cosx-1又由函数 定义在 上，且有 ，f(x) (-1,+ ) f(x)sinx+x+1f(x)-sinx-x1g(x)g(0)则 ，-1g(2)g(4) f(1)f(2)2 f(4)4 (2016)=f(4), f(2017)=f(1),f(2018)=f(2)有 ，变形可得 ，故选 C.f(2017)f(2018)2 f(2016)4 4f(2017)2f(2018)f(2016)【方法点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数
11、，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：根据导函数的“形状”变换不等式“形状” ；若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.7C【解析】【分析】构造函数 ，由 可得 在 递增，结合奇偶性转化F(x)=x2f(x)-3x2+1 2f(x)+xf(x)6 F(x) (0,+ )原不等式为 从而可得结果.|x|1,【详解】由 得 ，f(x)3-1x2 x2f(x)-3x2+1 0令 ，F(x)=x2f(x)-3x2+1F(x)=2xf(x)+x
12、2f(x)-6x，=x2xf(x)+xf(x)-6标准实用文案文档时， 递增， x0 F(x)0,F(x)又 时， F(1)=f(1)-2=0,不等式 等价于f(x)3-1x2F(x)F(1)是偶函数， 也是偶函数， f(x) F(x)可得 或 ，|x|1, x1 x3-1x2 x| x1 x1-f(x) f(x)+f(x)-10标准实用文案文档则 ， 在定义域内单调递增g(x)0 y=g(x)， exf(x)ex-1， g(x)-1g(0)=e0f(0)-e0=-1， g(x)g(0) x0则不等式的解集为 (0， + )故选 B【点睛】本题主要考查了函数单调性，结合已知条件构造函数，然后用
13、导数判断函数的单调性是解题的关键。9A【解析】分析：先构造函数 ，再根据函数单调性解不等式.g(x)=f(x)ex详解：令 ，因为 ，g(x)=f(x)ex g(x)=f(x)-f(x)ex 2exg(x)g(0)x0 g(x)（ 0， +）等价于 ，利用单调性可得结果.g(ex)g(2)【详解】设 ，g(x)=f(x)+lnx由 可得 ，xf(x)+10 g(x)=f(x)+1x0所以 在 上单调递增，g(x)（ 0， +）又因为 ，g(2)=f(2)+ln2=0不等式 等价于f(ex)+x0，g(ex)=f(ex)+x0=g(2)因此 ， ，ex2 xln2即等式 的解集为 ，故选 C.f
14、(ex)+x0 (ln2,+ )【点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：根据导函数的“形状”变换不等式“形状” ；若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.11D【解析】【分析】根据题意，构造函数 ， ，利用导数研究其单调性，可得 在 上h(x)=f(x)x
15、 x (0,+ ) h(x) (0,+ )标准实用文案文档单调递减，将 ， ，转化为 ，即2f(m-2018)(m-2018)f(2)m-20180f(m-2018)m-2018f(2)2，从而可得实数 的取值范围.h(m-2018)h(2) m【详解】令 ， ，则 .h(x)=f(x)x x (0,+ ) h(x)=xf(x)-f(x)x2 xf(x)-f(x)(m-2018)f(2)m-20180 ，即 .f(m-2018)m-2018f(2)2 h(m-2018)h(2) 且 ，解得 .m-20180 2018(m-2018)f(2) h(x)=f(x)x12D【解析】【分析】构造函数
16、，由 可得函数 在 上单调递减，利用单调性可得结果.g(x)=f(x)ex f(x)f(x) g(x)=f(x)ex R【详解】标准实用文案文档构造函数 ，则 ，g(x)=f(x)ex g(x)=f(x)ex-(ex)f(x)(ex)2 =f(x)-f(x)ex因为 ，均有 ，并且 ，x R f(x)f(x) ex0, g(x)g(0),g(2017)f(0)f(2017)e2017f(0),f(2017)-1 -20180详解： x2f(x)=2xf(x)+x2f(x)=x2f(x)+xf(x),xf(x)+2f(x)0,x0,则函数 是区间 上的增函数. x2f(x)0, g(x)=x2f
17、(x) (0,+)由不等式 ，得(x+2018)2f(x+2018)0 x-2018.x (-2018,-2014)故选 C.点睛：该题考查的是有关解不等式的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点应用导数研究函数的单调性，构造新函数，结合题意求得对应的不等式的解集.标准实用文案文档15D【解析】分析：由题意构造函数 ，结合函数的单调性整理计算即可求得最终结果.g(x)=f(x)x2(x0)详解：令 ，g(x)=f(x)x2(x0)则： ，g(x)=f(x)x2-f(x)2xx4 =xf(x)-2f(x)x3由 ，都有 成立，可得 在区间 内恒成立，x (0,+ ) xf(x)g(2)f(1)12
18、f(2)22 4f(1)f(2)本题选择 D 选项.点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.16C【解析】【分析】令 ，得到 在 递增，有 ，从而得到答案g(x)=x2f(x)-x2
19、g(x) (0,+ ) g(1)0 x (0,+ )立， 在 上是增函数， g(x) (0,+ ) 10乘以 不等号不变， ，所以cosx （f (x)-f(x)tanx）cosx=f(x)cosx-f(x)sinx=f(x)cosx0原函数 单增函数，由此 ，g(x)=f(x)cosx g( 6) 6f( 6)故选 D。【点睛】：已知抽象函数的性质解不等式的基本解法有两种：（1）构造满足题目条件的特殊函数， （2）还原抽象函数，利用抽象函数的性质求解。标准实用文案文档18B【解析】分析：先根据函数图象的平移，得到函数 的图象关于直线 对称，再通过讨论导数的符f(x) x=2号得到函数 的单调
20、性，将 ， ， 转化到同一个单调区间上进行比较大小f(x) 4a log3a 3详解： 是偶函数，图象关于 轴对称， g(x) y的图象关于直线 对称 f(x)=g(x-2) x=2当 时， ，x2 f(x)0即函数 在 上为增函数f(x)(2， + )， ， ， 10) g(x) (0,+ )和 上，都有 ，结合函数的奇偶性可得在区间 和 上，都有(0,1) (1,+ ) f(x)0 x2-40f(x)0 x2-40)其导数 ，g(x)=(lnx)f(x)+lnxf(x)=1xf(x)+lnxf(x)标准实用文案文档又由当 时， ，x0 lnxf(x)0又由 ，则 ，lnx0 f(x)0或
21、，(x2-1)f(x)0x2-40f(x)0 x2-40f(x)0 解可得 或 ，x-2 0x2则 的取值范围是 ，故选 D.x (-, -2) (0,2)点睛：利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：根据导函数的“形状”变换不等式“形状” ；若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.
