1、24.1.2 垂直于弦的直径,问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？,赵州桥主桥拱的半径是多少？,问题情境,可以发现：,圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴,1. 圆的对称性：,不借助任何工具，你能找到圆形纸 片的圆心吗?,由此你能得到什么结论？,如图，AB是O的一条弦，作直径CD，使CDAB，垂足为E（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？
2、为什么？,O,A,B,C,D,E,（1）是轴对称图形直径CD所在的直线是它的对称轴,（2） 线段： AE=BE,垂直于弦的直径平分这条弦, 并且平分弦所对的两条弧.,垂径定理,垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧,CDAB, CD是直径，, AE=BE,O,A,B,C,D,E,归纳：,下列图形是否具备垂径定理的条件？,是,不是,是,不是,深化：,垂径定理的几个基本图形：,CD过圆心,CDAB于E,AE=BE,巩固：,1、如图，AB是O的直径，CD为弦，CDAB于E，则下列结论中不成立的是（ ）,A、COE=DOE,B、CE=DE,C、OE=AE,2、如图，OEAB于E，若O的半径为10
3、cm,OE=6cm,则AB= cm。,O,A,B,E,解：连接OA， OEAB, AB=2AE=16cm,3、如图，在O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求O的半径。,O,A,B,E,解：过点O作OEAB于E，连接OA,即O的半径为5cm.,弦心距：圆心到弦的距离,圆心到弦的距离、半径、弦构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。,4、如图，CD是O的直径，弦ABCD于E，CE=1，AB=10，求直径CD的长。,解：连接OA，, CD是直径，OEAB,设OA=x，则OE=x-1，由勾股定理得,x2=52+(x-1)2,解得：x=13, OA=13, CD=2OA=26,
4、即直径CD的长为26., AE= AB=5,证明：作直径MNAB。,推论：,圆的两条平行弦所夹的弧相等.,如图：在O中,设O半径为R，弦AB=a，弦心距OD=d, 弓形的高DE=h, 且OEAB于D.,己知,求,(1) R,d,a,h,(3) R,a,d,h,(4) d,h,R,a,(2) R,h,a,d,a,R,h,d,A,B,O,D,E,(5) a,h,R,d,归纳,1300多年前, 我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4米,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2米, 你能求出桥拱的半径吗?,解决求赵州桥拱半径的问题,你能利用垂径定理解决求赵州
5、桥拱半径的问题吗?,思考： 如图所示，在RtABC中，C=900 ，AC=5cm，BC=12cm，以C为圆心，AC为半径的圆交斜边于D，求AD的长。,猜想,CDAB,O,B,C,D,E,如图，CD是O的直径，AB为弦， 且AE=BE.,A,如何证明？,探究：,O,A,B,C,D,E,已知：如图，CD是O的直径，AB为弦，且AE=BE.,证明：连接OA，OB，则OA=OB, AE=BE, CDAB,此处的弦可以是直径吗？如果不能，请举出反例。,平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。,垂径定理推论,平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。, CDAB, CD是直径，,AE
6、=BE,O,A,B,C,D,E,新知：, CD是直径, CDAB, AM=BM,如果具备上面五个条件中的任何两个，根据圆的对称性，一定可以得到其他三个结论,一条直线满足:(1)过圆心;(2)垂直于弦;(3)平分弦（不是直径）; (4)平分弦所对优弧;(5)平分弦所对的劣弧.只要具备上述五个条件中任两个,就可以推出其余三个.,推广：,1：判断下列说法的正误,平分弧的直径必平分弧所对的弦,平分弦的直线必垂直弦,垂直于弦的直径平分这条弦,平分弦的直径垂直于这条弦,弦的垂直平分线是圆的直径,平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦,在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦， 必平分此弦所对的弧,圆是轴对称图形，直径是它的对称轴,练习,2、如图，有一段弧AB，你能用尺规将其平分吗？,A,B,3. 如图,巳知：O1与O2相交于A,B两点, 且AB=8, 连结O1O2 , 则 O1O2AB, 已知O2的半径为, O1O2=, 求O1的半径.,O1,O2,A,B,5,4,3,4. 巳知：AB为O的直径，CD为弦，AECD，BFCD，垂足分别为E、F. 求证：EC=DF,F,证明：,过点O作OGCD,根据垂径定理得：CG=GD,5 ：如图，O中CD是弦，AB是直径，AECD于E，BFCD于F，求证：CEDF。,
