1、2018 年普通高等学校招生模拟考试文科数学一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合 ， ，若全集 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：利用一元二次不等式的解法化简集合 ，然后利用补集的定义求解即可.详解：因为集合 ，集合 ，所以 ，故选 A.点睛：研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合 且不属于集合 的元素的集合.2. 总体由编号为 的 个个体组成，利用下面的随机数表选取 个个体，选取方
2、法是从随机数表第 行的第 列和第 列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第 个个体的编号为（ ）附：第 行至第 列的随机数表：2635 7900 3370 9160 1620 3882 7757 49503211 4919 7306 4916 7677 8733 9974 67322748 6198 7164 4148 7086 2888 8519 16207477 0111 1630 2404 2979 7991 9683 5125A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：从随机数表第 行的第 列和第 列数字开始由左到右依次选取两个数字，列举出选出来的 个个体的编号，即可得结果.
3、详解：从随机数表第 行的第 列和第 列数字开始由左到右依次选取两个数字，列举出选出来编号在 的前 个个体的编号为 ，所以选出来的第 个个体的编号为 ，故选 C.点睛：本题考查选随机数表的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意随机数表示法的合理运用.3. 设是虚数单位，若复数 是纯虚数，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】解： ，由纯虚数的定义可得： .本题选择 D 选项.4. 已知等差数列 的前 项和为 ，若 则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：由 ，可得 ，则化简 ，即可得结果.详解：因为 ，所以可得 ，所以 ，故选 D.点睛：本题主要考查等差数列的通项
4、公式与等差数列的求和公式， 意在考查等差数列基本量运算，解答过程注意避免计算错误.5. 如图所示程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术” ，执行该程序框图，若输入 的分别为 ，则输出的 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的的值.详解：由程序框图可知：输入 ，第一次循环 ， ；第二次循环 ， ；第三次循环 ， ； ，退出循环输出，输出因此输出的为 ，故选 D.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆
5、处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.6. 如图，在正方体 中， 分别是 的中点，则下列说法错误的是（ ）A. B. 平面 C. D. 平面【答案】C【解析】分析：先利用三角形中位线定理证明 ，因为 ， 平面 ,可得 正确从而可得结果.详解：如图：连接 ，由三角形中位线定理可得 与 不可能平行， 错误；因为 在平面 内，由线面平行的判定定理
6、可得， 平面 ， 正确；平面 与 垂直， 正确；因为 平面 ,所以， 平面 ， 正确 ，故选 C.点睛： 本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查正方体中的线面平行于线面垂直关系，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”， 因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.7. 函数 在区间 上的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：用排除法，当 时，函数的零点为 ，可排除选项 ；当 时， ，可排除选项 ，从而可得结果
7、.详解：当 时，由 ，可得函数的零点为 ，可排除选项 ；当 时， ，对应点在 轴下方，可排除选项 ，故选 B.点睛：本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及 时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.8. 某旅行社租用 两种型号的客车安排 名客人旅行， 两种车辆的载客量分别为人和 人，租金分别为 元/辆和 元/辆，旅行社要求租车总数不超过 辆，且 型车不多于 型车 辆，则租金最少
8、为（ ）A. 元 B. 元 C. 元 D. 元【答案】C【解析】设租 A 型车 x 辆， B 型车 y 辆时租金为 z 元则 z1600x2400yx、y 满足画出可行域观察可知，直线 过点 A(5,12)时纵截距最小，zmin51 6002 40012 36800，故租金最少为 36800 元选 C.视频9. 点 是双曲线 右支上一点， 分别为左、右焦点, 的内切圆与 轴相切于点 ，若点 为线段 中点，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：设切点分别为 ，并设 ，根据双曲线的定义可得 ，再根据点 为线段 中点，可得 ，即可得到 从而可得结果.详解：的内切圆与
9、 轴相切于点 ，设切点分别为 ，并设 ，根据双曲线的定义 ，解得 ，点 为线段 中点， ，故选 B.点睛：本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：直接求出 ，从而求出;构造的齐次式，求出;采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解 ;根据圆锥曲线的统一定义求解10. 已知函数 的图象过点 ， 区间 上为单调函数，且 的图象向左平移 个单位后与原来的图象重合，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：由函数 的图象过点 ，可得 ，可求得 的值，由 的图象向左平移 个单位后与原来的图象重合，可得 结合
10、区间上为单调函数可得 的值，从而可得结果.详解：由函数 的图象过点 ，解得 ，又 ，又 的图象向左平移 个单位之后为，由两函数图象完全重合知 ，又 ， ，所以， ，故选 A.点睛：本题考查了三角函数的图象与性质以及利用函数性质求解析式，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.11. 已知函数 与 的图象上存在关于 轴对称的点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：函数 与 的图象上存在关于 轴对称的点，等价于存在 ，使 ，即 在 上有解，从而化为函数上有零点， 进而
11、可得结果.详解：若函数与 图象上存在关于 轴对称的点，则等价为 ，在 时，方程有解，即 在 上有解，令 ，则 在其定义域上是增函数，且 时， ，若 时， 时， ，故 在 上有解，当 时，则 在 上有解可化为，即 ，故 ，综上所述， ，故选 A.点睛：转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题中，函数 与 的图象上存
12、在关于 轴对称的点，转化为存在 ，使 是解题的关键.12. 已知数列 ，定义数列 为数列 的“ 倍差数列” ，若 的“ 倍差数列”的通项公式为 ，且 ，若函数 的前 项和为 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：由 可得 ，从而得数列 表示首项为 ，公差的等差数列，求得 ，再根据错位相减法即可得结果.详解：根据题意得 ，数列 表示首项为 ，公差 的等差数列，故选 B.点睛：本题主要考查等差数列的通项、等比数列求和公式以及错位相减法求数列的前 项和，属于中档题.一般地，如果数列 是等差数列， 是等比数列，求数列 的前 项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等
13、比数列 的公比，然后作差求解, 在写出“ ” 与“ ” 的表达式时应特别注意将两式 “错项对齐”以便下一步准确写出“ ”的表达式.以及错位相减法求数列的前 项和，属于中档题.一般地，如果数列 是等差数列， 是等比数列，求数列 的前 项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列 的公比，然后作差求解, 在写出“ ” 与“” 的表达式时应特别注意将两式 “错项对齐”以便下一步准确写出 “ ”的表达式.二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量 ，其中 ，且 ，则向量 的夹角为_【答案】【解析】分析：由 ，且 ，可得 ，即，从而可求出向量与 的夹
14、角.详解： ，且 ，即 ，解得 ，向量与 的夹角是 ，故答案为 .点睛：本题主要考查向量的夹角及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是 ，二是 ，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时 往往用坐标形式求解） ；（2）求投影，在 上的投影是 ；（3） 向量垂直则 ;(4)求向量 的模（平方后需求 ）.学￥科￥网.学￥科￥网.学￥科￥网.学￥科￥网.学￥科￥网.学￥科￥网.学￥科￥网.学￥科￥网.学￥科￥网.学￥科￥网.学￥科￥网.学￥科￥网.14. 已知曲线 在 处的切线方程为 ，则实数 _【答案】【解析】分析：求得函数 的导数，可得切线的斜率，由切线方程
15、为 可得关于的方程，解方程可得的值.详解：因为 ，所以 ，可得曲线在 处切线斜率为 ，由曲线方程 ，可得 ，即 ，故答案为 .点睛：应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率 ,即求该点处的导数 ；(2) 己知斜率 求切点 即解方程；(3) 巳知切线过某点 (不是切点) 求切点, 设出切点 利用求解.15. 下列命题中，正确的命题序号是_ （请填上所有正确的序号）已知 ，两直线 ，则“ ”是“ ”的充分条件；“ ”的否定是“ ”；“ ”是“ ”的必要条件；已知 ，则“ ”的充要条件是“ ”【答案】【解析】分析：对于，利用直线平行的性质判断即可；对于，利
16、用全称命题的否定判断即可；对于，正弦函数的性质判断即可；对于，利用不等式的性质判断即可.详解：对于 ， 时，把 代入直线方程，得 ，故正确；对于 ，命题 “ ”的否定是“ ”，故错误；对于 ，“ ”不能得到“ ”， “ ”,一定有 “ ”，故正确；对于 ，已知 ，则“ ” “ ”反之也成立，故正确，故答案为.点睛：本题主要考查直线平行的性质、全称命题的否定以及充要条件的判断，属于难题.判断充要条件应注意：首先弄清条件 和结论 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试 .对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转
17、化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.16. 已知三角形 所在平面与矩形 所在平面互相垂直， 若点 都在同一球面上，则此球的表面积等于_【答案】【解析】分析：根据三角形 所在平面与矩形 所在平面互相垂直，可得外接球球心就是三角形 的外接圆圆心，球半径等于圆半径，利用正弦定理求出半径，由球表面积公式可得结果.详解：由 ，由余弦定理可得 ，在矩形 中，设对角线 交于 ，设三角形 的外心为 ，连接 ，则 因为三角形 所在平面与矩形 所在平面互相垂直，则 平面 ，所以 ，由于点 都在同一球面上， ，由正弦定理可得 ，则此球的表面积为 ，故答案为 .点睛：本题主要考查线面垂直的性
18、质、正弦定理与余弦定理的应用，外接球表面积的求法，属于难题.求外接球面积的关键是求出半径，对特殊的三棱锥可转化为求长方体的外接球的半径，本题根据矩形的性质以及面面垂直的性质将球心转化为三角形外接圆圆心，利用正余弦定理求出半径进行解答.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在 中，角 的对边分别为 ，已知（1）求 ；（2）若 ， 边上的中线 ，求 的面积.【答案】 （1）2；（2）4 或 12【解析】分析：（1）由 ，利用诱导公式以及两角和的余弦公式可得，进而 ，由此能求出 ；（2）求出 ，由余弦定理求出，从而利用三角形面积公式可求出
19、 的面积 .详解：（1）由已知得 所以因为在 中， ，所以则（2）由（1）得， ，在 中， ，代入条件得 ，解得 或当 时， ；当 时， .点睛：本题主要考查三角函数的恒等变换以及余弦定理解三角形，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1） ；（2） ，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.18. 在如图所示的多面体 中， 平面 ， 平面 ，且.（1）请在线段 上找到点 的位置，使得恰有直线 平面 ，并证明；（2）在（1）的条件下，求多面体 的体积.【答案】 （1）见解析；（2）【解析】分析：（
20、1）由 均垂直于底面，可以断定两线段平行，且 ，取的中点 ，可得四边形 是平行四边形， ，易证明 平面 ， 平面 ； （2）由 ，即可的结果.详解：（1） 为线段 的中点.证明如下：由已知 平面 ， 平面 ，设 是线段 的中点，连接 ，则 ，且 ，且四边形 是平行四边形， ， ， ， 平面 平面（2） 多面体 的体积为点睛：证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质 ；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.19. 近年来，随着我国汽车消费水平的提高，二手车行业得到迅猛发展，某汽车交易
21、市场对 2017 年成交的二手车交易前的使用时间（以下简称“使用时间” ）进行统计，得到频率分布直方图如图 1.（1）记“在 2017 年成交的二手车中随机选取一辆，该车的使用年限在 ”为事件 ，试估计 的概率；（2）根据该汽车交易市场的历史资料，得到散点图如图 2，其中 （单位：年）表示二手车的使用时间， （单位：万元）表示相应的二手车的平均交易价格.由散点图看出，可采用 作为二手车平均交易价格 关于其使用年限 的回归方程，相关数据如下表（表中 ） ；根据回归方程类型及表中数据，建立 关于 的回归方程；该汽车交易市场对使用 年以内(含 年)的二手车收取成交价格 的佣金，对使用时间年以上(不含
22、 年)的二手车收取成交价格 的佣金.在图 1 对使用时间的分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值.若以 2017 年的数据作为决策依据，计算该汽车交易市场对成交的每辆车收取的平均佣金.附注:对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为参考数据： 【答案】 （1）0.40；（2） ，0.29【解析】分析：（1）由频率分布直方图得，二手车使用时间在 的频率为 ，在 的频率为 ，由互斥事件的概率公式可得结果；（2）由 得，即 关于 的线性回归方程为 求得 ，利用样本中心点的性质求得 ，所以 关于 的线性回归方程为 ，即 关于 的回归方程为 ；根据中的回归方程 和图 1，对成交的二
23、手车可预测各使用时间段上的频率，从而可得该汽车交易市场对于成交的每辆车可获得的平均佣金.详解：（1）由频率分布直方图得，该汽车交易市场 2017 年成交的二手车使用时间在的频率为 ，在 的频率为所以（2）由 得 ，即 关于 的线性回归方程为因为所以 关于 的线性回归方程为 ，即 关于 的回归方程为根据中的回归方程 和图 1，对成交的二手车可预测：使用时间在 的平均成交价格为 ，对应的频率为 ；使用时间在 的平均成交价格为 ，对应的频率为 ；使用时间在 的平均成交价格为 ，对应的频率为 ；使用时间在 的平均成交价格为 ，对应的频率为 ；使用时间在 的平均成交价格为 ，对应的频率为 ；所以该汽车交
24、易市场对于成交的每辆车可获得的平均佣金为：万元点睛：求回归直线方程的步骤：依据样本数据确定两个变量具有线性相关关系；计算的值；计算回归系数 ；写出回归直线方程为 ； 回归直线过样本点中心 是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.20. 已知 是直线 上的动点，点 的坐标是 ，过 的直线与垂直，并且与线段的垂直平分线相交于点 .（1）求点 的轨迹 的方程;（2）设曲线 上的动点 关于 轴的对称点为 ，点 的坐标为 ,直线 与曲线 的另一个交点为 ( 与 不重合)，是否存在一个定点 ，使得 三点共线?若存在，求出点 的坐标;若不存在，请说明理由.【答案】 （1
25、） ；（2）存在定点 ，使得 三点共线【解析】试题分析：（）由题意可知： ，即曲线 为抛物线，焦点坐标为，点 的轨迹 的方程 ；（）设 ，则 ，直线 的方程，代入抛物线方程，求得 的坐标， 的方程为 ，则令 ，则 ，直线 与 轴交于定点 ，即可求得存在一个定点，使得 三点共线.试题解析：（）依题意， ，即曲线 为抛物线，其焦点为 ，准线方程为：，所以曲线 的方程为 （）设 ，则 ，直线 的斜率为 ，直线 的方程为 由方程组 得 设 ，则 ， ， ，所以 ，又 ，所以 的方程为 令 ，得 即直线 与 轴交于定点 因此存在定点 ，使得 ， ， 三点共线21. 已知 ，函数 （ 是自然对数的底数）(
26、1)求函数 的单调区间;(2)若函数 在区间 内无零点，求的最大值.【答案】 （1）见解析；（2）【解析】分析：（1）求出 ，在定义域内，分别令 求得 的范围，可得函数 增区间， 求得 的范围，可得函数 的减区间；（2）求出函数 求其导函数，可知当 时函数 在区间 上单调递减，可得 ，函数在区间 上无零点；当 时，分 和 分类讨论，即可筛选出函数 在区间 内无零点的的范围.详解：（1）当 时，在 上 恒成立， 增区间为 ，无减区间；当 时，令 得的增区间为 ，减区间为.（2）函数 ，当 时， 在 上恒成立，函数 在区间 上单调递减，则 ， 时，函数 在区间 上无零点；当 时，令 得，令 ，得
27、，令 ，得 ，因此，函数 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .（i）当 ，即时 ，函数 的单调递减区间是 ，要使函数 在区间 内无零点，则 ，得 ；（ii）当 ，即 时，函数 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ， 设 在 上单调递减， ，而当 时， ，函数 在区间 内有零点，不合题意.综上，要使函数 在区间 内无零点，则的最大值为点睛：本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主
28、要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.22. 在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数),在以为极点， 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 是圆心在极轴上，且经过极点的圆.已知曲线 上的点 对应的参数 ，射线 与曲线 交于点（1）求曲线 的普通方程和 的直角坐标方程；（2）若点 在曲线 上，求 的值.【答案】 （1） ， ；（2）【解析】试题分析：（1）利用 消去参数，可求得 的方程为 ,对 ，依题意设方程
29、为 ， 的直角坐标为 ，代入求得 ，故圆 的方程为:；（2）曲线 的方程为 ,将 代入可求得，进一步代入 .试题解析：（1）将 及时对应的参数, , 代入 得 ,所以 的方程为 ,设圆 的半径 ,则圆 的方程为 (或 ),将点 代入得: 圆 的方程为: ( 或 ).（2）设曲线 的方程为 ,将 代入得 , ,所以.考点：极坐标与参数方程23. 已知函数 .（1）求 的解集；（2）设函数 ，若 对 成立，求实数 的取值范围【答案】 （1） 或 ；（2）【解析】分析：（1）对 分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果；（2） 即 的图象恒在 ， 图象的上方，作出函数图像，根据直线恒过定点 ，结合函数图象即可的结果.详解：（1） ，即 或 或 解不等式： ；：无解；： ，所以 的解集为 或（2） 即 的图象恒在 ， 图象的上方，可以作出 的图象，而 ， 图象为恒过定点 ，且斜率 变化的一条直线，作出函数 ， 图象如图，其中 ，可求： ，由图可知，要使得 的图象恒在 图象的上方，实数 的取值范围为.点睛：绝对值不等式的常见解法：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；利用 “零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想
