1、八年级 上册13.4 课题学习 最短路径问题引言：前面我们研究过一些关于 “ 两点的所有连线中， 线段最短 ” 、 “连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， 垂线段最短 ” 等的问题，我们称它们为最短路径问题现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的 “ 将军饮马问题 ” 引入新知问题 1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题： 从图中的 A 地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到 B地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？探索新知BAl精通数学、物理学的海伦稍加思索，利
2、用轴对称的知识回答了这个问题这个问题后来被称为 “ 将军饮马问题 ” 你能将这个问题抽象为数学问题吗 ？ 探索新知BAl追问 1 这是一个实际问题，你打算首先做什么 ？ 将 A， B 两地抽象为两个点，将河 l 抽象为一条直 线 探索新知BAl探索新知现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线 l上的点设 C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为： 当点 C 在 l 的什么位置时， AC 与 CB 的 和最小 （如图 ） BAlC作法：（ 1）作点 B 关于直线 l 的对称点 B ；（ 2）连接 AB ，与直线 l 相交于点 C则点 C 即为所求 探索新知如图，点 A， B 在直线
3、l 的同侧 ,点 C 是直线上的一个动点，当点 C 在 l 的什么位置时， AC 与 CB 的和最小 ？ BlA BC证明 ： 如图 ,在直线 l 上任取一点 C(与点 C 不重合） ,连接 AC, BC, BC.则BC =B C， BC= B C AC +BC= AC +BC = AB，AC+BC= AC+BC你能用所学的知识证明 AC +BC最短吗 ？ BlA BCC在 ABC中 ，AB AC+BC， AC +BC AC+BC即 AC +BC 最短 探索新知回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的 ？ BlA BCC运用新知如图，一个旅游船从大桥 AB 的 P 处前往山
4、脚下的 Q 处接游客，然后将游客送往河岸 BC 上，再返回 P 处，请画出旅游船的 最短路径 A BCPQ山 河岸大桥运用新知基本思路：由于两点之间线段最短，所以首先可连接 PQ，线段 PQ 为旅游船最短路径中的必经线路将河岸抽象为一条直线 BC，这样问题就转化为 “点 P， Q 在直线 BC 的同侧，如何在 BC上找到一点 R，使 PR与 QR 的和最小 ” A BCPQ山 河岸大桥造桥选址问题如图， A和 B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥 MN.桥造在何处才能使从 A到 B的路径 AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直 ）BA思路分析BA1.如图假定任选位置造桥，连
5、接和，从 A到 B的路径是 AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢 ？2.如何利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢 ？我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢 ？思维火花思维火花1、把 A平移到岸边 .2、把 B平移到岸边 .3、把桥平移到和 A相连 .4、把桥平移到和 B相连 .BAA1 MN如图，平移 A到 A1，使 AA1等于河宽，连接 A1交河岸于作桥，此时路径最短 .理由； 另任作桥 M1N1，连接 AM1,BN1, A1N1. 由平移性质可知 ，AM A1N, AM1 A1N1.AA1 MN M1N1， AM+MN+BN=AA1
6、 A1B， AM1+M1N1+BN1=AA1 A1N1 BN1.在 1 1B中， A1N1+BN1 A1B因此 AM1+M1N1+BN1 AM+MN+BN问题延伸一如图， A和 B两地之间有两条河，现要在两条河上各造一座桥 MN和 PQ.桥分别建在何处才能使从 A到 B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）思维分析如图，问题中所走总路径是AM+MN+NP+PQ+桥 MN和 PQ在中间，且方向不能改变，仍无法直接利用 “两点之间，线段最短 ”解决问题，只有利用平移变换转移到两侧或同一侧先走桥长 .平移的方法有三种：两个桥长都平移到 A点处、都平移到 B点处、 MN平移到 A点处
7、， PQ平移到 B点处思维方法一1、沿垂直于第一条河岸的方向平移 A点至AA1使 AA1=MN，此时问题转化为问题基本题型两点（ A1、 B点）和一条河建桥（ PQ）2、利用基本问题的解决方法确定桥 PQ：（ 1）在沿垂直于第二条河岸的方向平移 A1至 A2，使 A1A2=PQ.（ 2）连接 A2B交 A2的对岸 Q点，在点处建桥 PQ.3、确定 PQ的位置，也确定了 BQ和 PQ，此时问题可转化为由 A点、 P点和第一条河确定桥 MN的位置 .连接 A1P交的对岸于点，在点处建桥问题解决沿垂直于河岸方向依次把点、，使， ；连接交于点相邻河岸于点，建桥；连接交的对岸于点，建桥；从点到点的最短路
8、径为 M MN思维方法二沿垂直于第一条河岸方向平移点至 点，沿垂直于第二条河岸方向平移点至点，连接 A1B1 分别交 A、 B的对岸于 N、 P两点，建桥 MN和 PQ.最短路径AM+MN+NP+PQ+QB转化为AA1+A1B1+BB1.思维方法三沿垂直于河岸方向依次把B点平移至 B、 B，使BB PQ， B B MN ；连接 B A交于 A点相邻河岸于 M点，建桥 MN；连接 B N交 B的对岸于P点，建桥 PQ；从点到点的最短路径为 M MN NP转化为 AB2+B2B1+B1B问题延伸二如图， A和 B两地之间有三条河，现要在两条河上各造一座桥 MN、 PQ和 GH.桥分别建在何处才能使
9、从 A到 B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）思维分析如图，问题中所走总路径是AM+MN+NP+PQ+ G+GH+HB桥 MN、 PQ和 GH在中间，且方向不能改变，仍无法直接利用 “两点之间，线段最短 ”解决问题，只有利用平移变换转移到两侧或同一侧先走桥长 .平移的方法有四种：三个桥长都平移到 A点处；都平移到 B点处； MN、 PQ平移到 A点处； PQ、 GH平移到 B点处问题解决沿垂直于河岸方向依次把 A点平移至 A、 A、 A3，使 AA MN， A A PQ， A2A3 =GH ；连接 A3B交于 B点相邻河岸于 H点，建桥 GH；连接 A2G交第二河与 G对
10、岸的 P点，建桥 PQ；连接 A1P交第一条河与 A的对岸于 N点，建桥 MN.此时从 A到 B点路径最短 .沿垂直于河岸方向依次把 A点平移至 A、 A、 A3，使 AA MN， A A PQ， A2A3 =GH ；连接 A3B交于 B点相邻河岸于 H点，建桥 GH；连接 A2G交第二河与 G对岸的 P点，建桥 PQ；连接 A1P交第一条河与 A的对岸于 N点，建桥 MN.此时从 A到 B点路径最短 .问题解决沿垂直于河岸方向依次把 A点平移至 A，使 AA MN，平移 B点至B1、 B2 ,使 BB1 GH， B1B2 =PQ ；连接 A1B2交第一条河与 A点相对河岸于 N点，交第二条河
11、与 N相邻河岸于 P点，建桥 MN、 PQ；连接 B1Q交第三条河与 Q相邻河岸的 G点，建桥 GH；此时从 A到 B点路径最短 .问题解决沿垂直于河岸方向依次把 A点平移至 A、 A2，使 AA MN，平移 B点至 B1 ,使 BB1 GH ；连接 A B交第三条河与点相对河岸于点，交第二条河与相邻河岸于点，建桥、 PQ；连接 1交第一条河与相邻河岸的点，建桥；此时从 A到 B点路径最短 .问题解决延伸小结延伸小结同样，当、两点之间有、，条河时，我们仍可以利用平移转化桥长来解决问题例如 ： 沿垂直于河岸方向平移点依次至、 3 ，An,平移距离分别等于各自河宽， AnB交第 n条河近 B点河岸于 Nn,建桥MnNn,连接 MnAn-1交第 (n-1）条河近B点河岸与 Nn-1,建桥 Mn-1Nn-1， .，连接 M1A交第一条河近 B点河岸于 N1，建桥 M1N1,此时所走路径最短 .
