1、天津市耀华中学 2017届高三年级第二次模拟考试理科数学试卷第卷（共 60分）一、选择题：本大题共 12个小题，每小题 5分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若 （为虚数单位） ，则实数的值为（ ）A. 1 B. -1 C. D. 2【答案】B【解析】由题意可得： ，则： ，解得： .本题选择 B 选项.2.实数 满足条件 的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：不等式表示由直线 围成的四边形区域，变形为 结合图形可知过点 时取得最大值为 4考点：线性规划问题3.已知命题 ： ，使 ，命题 ：集合 有 2个子集，下列结论：命题“
2、”真命题；命题“ ”是假命题；命题“ ”是真命题，正确的个数是（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C【解析】，则命题 p 为假命题；集合 ，由有限元素子集个数公式可得其子集的个数为2个，命题 q为真命题，据此有：命题“ ”假命题；命题“ ”是假命题；命题“ ”是真命题.本题选择 C选项.4.在如图所示的计算 的值的程序框图中，判断框内应填入 A. B. C. D. 【答案】D【解析】程序运行过程中，各变量值如下表所示：第一圈：S=0+1，i=5，第二圈：S=1+3，i=9，第三圈：S=1+3+5 ，i=13，依此类推，第 503 圈：1+3+5+2013，i=2017，退出循环
3、，其中判断框内应填入的条件是：i2013，本题选择 D 选项.5.函数 （ ）的部分图像如图所示，则函数表达式为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由图象可知 ， . ， ， .本题选择 B 选项.点睛：已知 f(x)Asin(x )(A0， 0) 的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数 和 ，常用如下两种方法：(1)由 即可求出 ；确定 时，若能求出离原点最近的右侧图象上升( 或下降)的“零点”横坐标 x0，则令 x0 0(或 x0)，即可求出 .(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出 和 ，若对 A
4、， 的符号或对 的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.6.已知等差数列 的前项和为 ，且 ，若记 ，则数列 （ ）A. 是等差数列但不是等比数列 B. 是等比数列但不是等差数列C. 既是等差数列又是等比数列 D. 既不是等差数列又不是等比数列【答案】C【解析】，a9+a13=4,a11=2，a211a9a13=0，bn=1，数列 bn既是等差数列又是等比数列，本题选择 C 选项.7.设正实数 ， 满足 ， ，不等式 恒成立，则 的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】设 因为 ， ， 且 ，则 当且仅当 ，即 时取等号，所以 故选 C.点睛：本题主要考查基本不等式，在
5、用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等. 一正：关系式中，各项均为正数； 二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；三相等：含变量的各项均相等，取得最值.8.设函数 ，其中 ，若存在唯一的整数 使得 ，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】设 g(x)=ex(2x1)，y=axa，由题意知存在唯一的整数 x0使得 g(x0)在直线 y=axa 的下方，g(x)=ex(2x1)+2ex=ex(2x+1)，当 时,g(x)0，当 时,g(x)取最小值 ，当 x=0 时,g(0)=1, 当 x=1 时,g(1)=e0，直线 y=axa 恒过定点(1,
6、0)且斜率为 a，故ag(0)=1 且 g(1)=3e1aa,解得 本题选择 D 选项.视频第卷（共 90分）二、填空题（每题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上）9.已知集合 ，则集合 中的最大整数为_【答案】60【解析】求解绝对值不等式可得：，集合 中的最大整数为 .10.在 中，角 所对的边分别是 ，若 ，则 的值为_【答案】【解析】由题意结合正弦定理可得： ，据此有： ，即： .11.已知圆 的参数方程为 （为参数） ，以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为 ，则直线截圆 所得的弦长是_【答案】【解析】圆 的参数方程化为平面直角坐标方程为 ，直线的极坐标方
7、程化为平面直角坐标方程为 ，如右图所示，圆心到直线的距离 ，故圆 截直线所得的弦长为12.如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为_【答案】3【解析】根据三视图可知几何体是一个组合体：上面是一个直三棱柱、下面是一个长方体，三棱柱的底面是一个等腰直角三角形：两条直角边分别是 1，高为 2，长方体的底面是边长为 1 的正方形，高为 2，几何体的体积 V= 112+112=3，故答案为：3.点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐” ，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法13
8、.若不等式 对任意的实数 恒成立，则实数的取值范围是_【答案】【解析】令 y=|x+1|+|x3|，由绝对值不等式的几何意义可知函数 y=|x+1|+|x3|的最小值为 4，满足题意时，原不等式可化为解得 a=2 或 a0故答案为：(,0) 2.14.已知函数 （ ） ，其中 是半径为 4的圆 的一条弦， 为原点， 为单位圆上的点，设函数 的最小值为，当点 在单位圆上运动时，的最大值为 3，则线段的长度为_【答案】【解析】设 ，则函数 ，其中 P 为单位圆 O 上的点， ，点 A 在直线 MN 上；函数 f(x)的最小值 t 为点 P 到直线 MN 的距离，当 tmax=3 时，如图所示；线段
9、 MN 的长度为 .三、解答题 （本大题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.已知 是直线 与函数 图象的两个相邻交点，且. （）求 的值；（）在锐角 中， 分别是角 的对边，若 的面积为 ，求的值.【答案】 （） ;（） .【解析】试题分析：(1)首先化简三角函数式的值，然后结合周期即可求得 ；(2)利用题意首先求得 ，然后结合面积公式可得 ，最后由余弦定理可得.试题解析：.由函数的图像及 ，得到函数的周期 ，解得 .（）解：因为 所以 .又因为 是锐角三角形，所以 ，即 ，解得 .由 ，解得 .由余弦定理得 ，即 .16.一个袋子内装有 2个绿球，3 个
10、黄球和若干个红球（所有球除颜色外其他均相同） ，从中一次性任取 2个球，每取得 1个绿球得 5分，每取得 1个黄球得 2分，每取得 1个红球得1分，用随机变量 表示 2个球的总得分，已知得 2分的概率为 .（）求袋子内红球的个数；（）求随机变量 的分布列和数学期望.【答案】 （）4 个;（）见解析.【解析】试题分析：(1)利用题意得到关于实数 n 的值，解方程即可求得 n=4，即袋子内共有 4个红球；(2) 随机变量 X的所有可能取值为 2，3，4，6，7，10.据此写出分布列，解得数学期望为 .试题解析：（）设袋子内红球的个数为 ，由题设条件可知，当取得 2个红球时得 2分，其概率为 ，化简
11、得： ，解得 或 （不合题意，舍去）袋子内共有 4个红球.（）随机变量 X的所有可能取值为 2，3，4，6，7，10. ， ， ， ，随机变量 的分布列为：2 3 4 6 7 10 =2 +3 +4 +6 +7 +10 = .点睛：离散型随机变量的分布列指出了随机变量 X 的取值范围以及取各值的概率；要理解两种特殊的概率分布两点分布与超几何分布，并善于灵活运用两性质：一是 pi0(i1,2，)；二是 p1p 2p n1 检验分布列的正误17. （本小题满分 12分）如图，在多面体 中，四边形 是正方形， ， ， ， ， 为 的中点。()求证： 平面 ；()求证： 平面 ；()求二面角 的大小。
12、【答案】【解析】视频18.设正项数列 的前 项和为 ，且满足 ， ， ，各项均为正数的等比数列 满足 .()求数列 和 的通项公式；()若 ，数列 的前 项和为 .若对任意 ， ，均有恒成立，求实数 的取值范围.【答案】() ， ；() .【解析】试题分析：（1） ，可得 时， ，两式相减得，根据数列 的各项均为正数，可得，根据 ，解得 利用等差数列的通项公式即可得出进而利用等比数列的通项公式可得 （2）由（1）可知 利用错位相减法可得 可知若对任意 均有 恒成立，等价于 恒成立，即恒成立，利用数列单调性即可得出试题解析：() ， ， ， 且各项为正，又 ，所以 ，再由 得 ，所以 是首项为
13、1，公差为 3的等差数列， .() 恒成立 ，即 恒成立.设 ，当 时， ； 时， ， .【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法、等价转化方法、不等式的性质，对学生推理能力与计算能力有较高要求19.如图，已知椭圆 ： 的离心率为 ， 的左顶点为 ，上顶点为 ，点在椭圆上，且 的周长为 .（）求椭圆的方程；（）设 是椭圆 上两不同点， ，直线 与 轴， 轴分别交于 两点，且，求 的取值范围.【答案】 （） ；（） .【解析】试题分析：(1)利用题意求得 ，所以椭圆的方程为 ；(2)利用题意求得 的解析式，结合 m 的取值范围可得 的取值范围是.试题解析
14、：（）由题意得：，所以椭圆的方程为 ；（）又 ，所以 .由 ，可直线 的方程为 .由已知得 ，设 .由 ，得： .，所以 ，由 得 .所以 即 ，同理 .所以 .由 所以 .点睛： (1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 x(或 y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为 0 或不存在等特殊情形20.已知 .（1）讨论 的单调性；（2）若 为方程 的两个相异的实根，求证： .【答案】 （1）见解析;（2）见解析.【解析】试题分析：(1)求解导函数分类讨论即可求得函数的单调区间；(2)利用题意构造新函数 ，设 ，据此整理计算即可证得最终结果.试题解析：（1）当 上递增；当 ，单调递增， 单调递减，（2） .所以 .令 ， 在 单调递减， 单调递增.设 .，所以 单调递减，即 .， .所以 .
