1、天津市耀华中学 2017届高三年级第二次模拟考试理科数学试卷第卷（共 60分）一、选择题：本大题共 12个小题，每小题 5分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若 125aii（ 为虚数单位） ，则实数 a的值为（ ）A1 B-1 C 1 D22.实数 ,xy满足条件40,2,xy，则 zxy的最大值为（ ）A-1 B0 C2 D43.已知命题 p： xR，使 sinco3x，命题 q：集合 210,| xxR有 2个子集，下列结论：命题“ q”真命题；命题“ p”是假命题；命题“ q”是真命题，正确的个数是（ ）A0 B1 C2 D3 4.在如图所示的计算
2、5901 的程序框图中，判断框内应填入（ ）A 504i B 209i C. 2013i D 2013i5.函数 (n)siyx（ |,xR）的部分图像如图所示，则函数表达式为（ ）A 4sin8yx B 4sin8yx C. 4sin8yx D 4sin8yx6.已知等差数列 na的前项和为 nS，且 21，若记 2193anb，则数列 nb（ ）A是等差数列但不是等比数列 B是等比数列但不是等差数列 C.既是等差数列又是等比数列 D既不是等差数列又不是等比数列7.设正实数 ,xy满足 1,2y，不等式241xym恒成立，则 的最大值为（ ）A 2 B4 C.8 D168.设函数 1xfea
3、x，其中 ，若存在唯一的整数 0x，使得 0fx，则 a的取值范围是（ ）A- 32e，1） B- 32e， 4） C. 32e， 4） D 32e，1）第卷（共 90分）二、填空题（每题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上）9.已知集合 |12xR，则集合 A中的最大整数为 10.在 ABC中，角 ,所对的边分别是 ,abc，若 oscosCBa，则 csB的值为 11.已知圆 的参数方程为 cos,in2xy（ 为参数） ，以原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为 1，则直线截圆 C所得的弦长是 12.如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为 13.若不
4、等式 413xa对任意的实数 x恒成立，则实数 a的取值范围是 14.已知函数 ()fMPxNR，其中 MN是半径为 4的圆 O的一条弦， 为原点， P为单位圆上的点，设函数 的最小值为 t，当点 P在单位圆上运动时， t的最大值为 3，则线段 MN的长度为 三、解答题 （本大题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.已知 ,AB是直线 0y与函数 2cos()()031fxx图象的两个相邻交点，且2. （）求 的值；（）在锐角 ABC中， ,abc分别是角 ,ABC的对边，若 3,2fAcABC的面积为 3，求a的值.16.一个袋子内装有 2个绿球，3 个黄
5、球和若干个红球（所有球除颜色外其他均相同） ，从中一次性任取 2个球，每取得 1个绿球得 5分，每取得 1个黄球得 2分，每取得 1个红球得 1分，用随机变量 X表示 2个球的总得分，已知得 2分的概率为 6.（）求袋子内红球的个数；（）求随机变量 X的分布列和数学期望. 17.如图，在多面体 ABCDEF中，四边形 ABCD是正方形， /EFAB， F， 2ABE，90BF， ， H为 的中点.（）求证： /FH平面 EDB；（）求证： AC平面 ；（）求二面角 的大小.18.各项均为正数的数列 na的前 项和为 nS，且满足 2*214,691,nnaSN，各项均为正数的等比数列 nb满足
6、 132,b.（）求数列 、 n的通项公式；（）若 32nc，数列 nc的前 项和为 nT，求 T；若对任意 *,N，均有 256315nTm恒成立，求实数 m的取值范围.19. 如图，已知椭圆 E：21(0)xyab的离心率为 32， E的左顶点为 A，上顶点为 B，点P在椭圆上，且 12PF的周长为 43.（）求椭圆的方程；（）设 ,CD是椭圆 E上两不同点， /CDAB，直线 与 x轴， y轴分别交于 ,MN两点，且,MN，求 的取值范围.20. 已知 1()2axfxeR.（1）讨论 的单调性；（2）若 12,x为方程 fx的两个相异的实根，求证： 12xa.试卷答案一、选择题1-5:
7、BDCDB 6-8:CCD 二、填空题9.60 10. 3 11. 2 12.3 13. (),02 14. 43三、解答题15.解： 13cossin3sin2()fxxxx.由函数的图像及 AB，得到函数的周期 2T，解得 2.（）解：因为 33sin2fA所以 3sinA.又因为 C是锐角三角形，所以 2，即 23A，解得 3.由 1sin2BCbSc，解得 4b.由余弦定理得 2 21cos332aA，即 1a.16.解：（）设袋子内红球的个数为 n，由题设条件可知，当取得 2个红球时得 2分，其概率为 25146nCPX，化简得： 2340n，解得 或 n（不合题意，舍去）袋子内共有
8、 4个红球.（）随机变量 X的所有可能取值为 2，3，4，6，7，10. 126P， 129CP，3294CX，12496X，123976CPX， 291036CPX ，随机变量 的分布列为：2 3 4 6 7 10P161122916136 EX=2 +33+4 2+6 9+7 6+103= 0.17.解法 1.（）设 AC与 BD交于点 G，则 G为 的中点，连接 ,EH，又 H为 的中点，所以 1/2AB，又 1/2EFAB，所以 F.所以四边形 为平行四边形，所以 /,G平面 ,EDBH平面 EB，所以 FH平面 .（）由四边形 AC为正方形，有 AC，又 /FA，所以 EFBC.而
9、EB，又 B，所以 E平面 B.因为 平面 ，所以 FH，因为 /，所以 H.又 ,FH为 的中点，所以 ，又 ABC，所以 平面 ABCD，又 平面 D，所以 F，因为 /EGF，所以 EG.因为四边形 是正方形，所以 ，又 B，所以 AC平面 B.（）由（） EFB，又 平面 EFCD，则 B平面 CD，所以 ，在平面 内，作 K交 延长线于 K.又 K，所以 平面 ，所以 B，因此 F为二面角 BE的一个平面角.设 1E，则 2,2AFC.因为 GHD，所以 3.因为 /F，所以 KE，2sinsi3FCEC.iFK.tan3B，所以 60FKB.所以二面角 BDEC为 60.解法 2.
10、以 H为坐标原点， ,BHF的正方向为 ,xz轴建立空间直角坐标系.设 1BHF，则1,0,201,BAC， 120,1,0,DE.（）设 与 交于点 G.则 G为 的中点，连接 ,E，则 ,.0,1E，而 01HF，所以 /FH，而 平面 ,DB平面 B，所以 /平面 .（） 2,0,1ACGE，则 0ACGE，于是 ACGE.因为四边形 B是正方形，所以 BD，又 EGBD，所以 AC平面 EDB.（） 1,2,0.设平面 的法向量为 1nyz，则11,20BEnyzD解得 11,0,n.0,C.设平面 E的法向量为 21,nyz，则2210,nyzD解得 22,1,0n.设 1与 2的夹
11、角为 ，则 12cos. 6.所以二面角 BEC为 60.18.解：（） 2191naS， 2169naS， 21)(na， 3，又数列 各项均为正数， 12()n数列 n从 2开始成等差数列，又 24a 169a， 1a， 213a， na为公差为 3的等差数列， 3n， b 4， 1b；（2） 2nnc，（） 01132nT ，124n n ， 13n ，1622nnnT， 5； 23315nmn恒成立， 235276135nnnm，即 27nm恒成立，设 72nnk， 111922nnnnk ，当 4时， 1,5n时， k ， 5max32nk， .19.解：（）由题意得：243ace2
12、4,1ab，所以椭圆的方程为 241xy；（）又 ,0,AB，所以 ABk.由 /CD，可直线 C的方程为 2yxm.由已知得 2,MmN，设 12,Dy.由214yx，得： 220x.2220mm，所以 1212,xx，由 MCN得 1,yxy.所以 112xmx即 1，同理 21mMDNx.所以 122mx12xm21m.由 22,()所以 ,(),(.20. 解：（1）当 0a上递增；当 0,ln()a，单调递增， 12(ln),a单调递减，（2） 21xfxa.所以 120,aee.令 lngxx， g在 10,a单调递减， 1(),a单调递增.设 1,Gxa.0x，所以 x单调递减，即 11,0,gxaa.12x， 1212,0x.1211gggxaa.所以 21x.
