1、1第 3 课时 利用二次函数解决距离问题知|识|目|标通过对抛物线形实际问题的探究分析，会用二次函数知识解决有关距离问题目标 会用二次函数知识解决有关距离问题(1)喷水池中的数学问题例 1 如图 554 所示，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子 OA，点 O 恰在圆形水面中心， OA1.25 米，由柱子顶端 A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下为使水流形状较为漂亮，负责人要求设计成水流在离 OA 水平距离为 1 米处达到距水面最大的高度 2.25 米求水流落地点到柱子的距离图 554【归纳总结】 (1)在已知抛物线的顶点坐标时，一般设抛物线的函
2、数表达式为y a(x h)2 k(a0)；(2)要根据实际问题构建适当的平面直角坐标系，便于求出函数表达式，使问题简单化(2)体育运动中的数学问题例 2 教材补充例题在体育测试时，九年级的一名高个子男生推铅球，已知铅球所经过的路线是某二次函数图像的一部分(如图 555)，若这个男生的出手处 A 点的坐标为(0，2)，铅球路线的最高处 B 点的坐标为 B(6，5)(1)求这个二次函数的表达式；(2)该男生把铅球推出去多远？(结果精确到 0.01 米)2图 555【归纳总结】 由抛物线读出最远距离或最大高度的方法(1)抛物线顶点的纵坐标是最大高度；(2)抛物线与 x 轴交点的横坐标是最远距离知识点
3、一 二次函数在喷水中的应用喷水是将水喷射向空中，水滴的运动轨迹呈抛物线状，水流也呈抛物线状在指定的平面直角坐标系内研究平面内一条抛物线问题，用二次函数的知识确定函数表达式，根据函数表达式求解相关问题，如喷水高度、喷水落地的最大距离、确定水池的半径等，体会用数学知识解决生活中实际问题的思想知识点二 二次函数在体育运动项目中的应用在部分体育运动项目中，如跳远、跳高、跳水运动，人体重心运动的路径是抛物线；投抛项目中，铅球、铁饼、标枪等实物重心运动的路径也是抛物线，解决此类问题的方法是在指定的平面直角坐标系内确定抛物线相应的函数表达式，再由二次函数求解具有实际意义的量如图 556，一名男生推铅球，铅球
4、行进高度 y(单位：m)与水平距离 x(单位：m)之间的表达式为 y x2 x .则他将铅球推出的距离是_m.112 23 53图 556某同学的解答如下：当 y0 时， x2 x 0，112 23 53解得 x110， x22，所以他将铅球推出的距离是 12 m.你认为他的解法正确吗？若不正确，请说明理由，并写出正确答案3详解详析【目标突破】例 1 解析 这是一道运用抛物线的有关知识解决实际问题的应用题首先必须将水流抛物线放在直角坐标系中，我们可以求出抛物线对应的函数表达式，再利用二次函数的性质解决问题解：以点 O 为原点，OA 所在的直线为纵轴，过原点的水平线为横轴，建立如图所示的直角坐标
5、系设抛物线的顶点为 B，与 x 轴的交点为 C.由题意，得 A(0，1.25)，B(1，2.25)，因此，设抛物线所对应的函数表达式为 ya(x1) 22.25.将点 A 的坐标代入上式，得 1.25(01) 2a2.25，解得 a1，所以抛物线所对应的函数表达式为 y(x1) 22.25.当 y0 时，即(x1) 22.250，解得 x 10.5(不合题意，舍去)，x 22.5.所以水流落地点到柱子的距离为 2.5 米. 例 2 解：(1)设二次函数的表达式为 ya(xh) 2k.二次函数图像的顶点坐标为(6，5)，ya(x6) 25.又点 A(0，2)在二次函数图像上，26 2a5，解得
6、a ，112二次函数的表达式为 y (x6) 25，112整理，得 y x2x2.112(2)当 y0 时，即 x2x20，112解得 x162 ，x 262 (不合题意，舍去)，15 15x62 13.75.15答：该男生把铅球推出去约 13.75 米备选例题 某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点 A 处的正上方，假设每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上在乒乓球运行时，设乒乓球与端点 A 的水平距离为 x(米)，与桌面的高度为 y(米)，运行时间为 t(秒)，经多次测试后，得到如下部分数据：t(秒) 0 0.16 0.2 0.4 0.6 0.64 0.8 x(米
7、) 0 0.4 0.5 1 1.5 1.6 2 y(米) 0.25 0.378 0.4 0.45 0.4 0.378 0.25 4(1)当 t 为何值时，乒乓球达到最大高度？(2)乒乓球落在桌面上时，与端点 A 的水平距离是多少？(3)乒乓球落在桌面上弹起后，y 与 x 满足 ya(x3) 2k.用含 a 的代数式表示 k；球网高度为 0.14 米，球桌长(1.42)米若球弹起后，恰好有唯一的击球点，可以将球沿直线扣杀到点 A，求 a 的值解析 (1)利用表格中数据直接得出乒乓球达到最大高度时的时间；(2)首先求出函数表达式，进而求出乒乓球落在桌面时，与端点 A 的水平距离；(3)由(2)得乒
8、乓球落在桌面上时，得出对应点坐标，再利用待定系数法求出函数表达式即可；由题意可得，扣杀路线在直线 y x 上，由得，ya(x3) 2 a，利用根的判110 14别式求出 a 的值，进而求出 x 的值解：以点 A 为原点，以桌面中线为 x 轴，乒乓球水平运动方向为正方向，建立平面直角坐标系(1)由表格中数据，可得 t0.4 秒时乒乓球达到最大高度(2)由表格中数据，可得 y 是 x 的二次函数，可设 ym(x1) 20.45，将(0，0.25)代入，解得 m ，15则 y (x1) 20.45，15当 y0 时，0 (x1) 20.45，15解得 x1 ，x 2 (舍去)，52 12即乒乓球与端
9、点 A 的水平距离是 m.52(3)由(2)得乒乓球落在桌面上时，对应的点为( ，0)，代入 ya(x3) 2k，得52( 3) 2ak0，52化简，得 k a.14由得 ya(x3) 2 a.14由题意可知，扣杀路线应过网，即(1.4，0.14)，设扣杀路线为 ykx，将(1.4，0.14)代入上式，可得 k ，则扣杀路线为 y x.110 110令 a(x3) 2 a x，14 1105整理，得 20ax2(120a2)x175a0，当(120a2) 2420a175a0 时符合题意，解方程得a1 ，a 2 ，当 a1 时，解得 x ，不符合题意，舍去； 6 3510 6 3510 6 3510 352当 a2 时，解得 x ，符合题意 6 3510 352故 a . 6 3510【总结反思】反思 不正确，错误原因是对“铅球推出的距离”理解不清，铅球推出的距离实际上是当铅球行进的高度为 0 时相应的点的横坐标(正数)，而不是方程两根的差的绝对值，所以将铅球推出的距离应是 10 m.
