1、15.4 二次函数与一元二次方程第 1 课时 二次函数与一元二次方程知|识|目|标1类比一次函数与一元一次方程的关系，结合图像理解二次函数 y ax2 bx c 的图像与 x 轴交点的横坐标与一元二次方程 ax2 bx c0 的根之间的密切联系2根据方程与函数间的关系，能通过一元二次方程根的判别式判断二次函数的图像与x 轴的交点个数，能根据抛物线与 x 轴的交点个数确定参数的取值范围3通过掌握二次函数与一元二次不等式的关系，能结合二次函数的图像解一元二次不等式目标一 理解二次函数与一元二次方程的关系例 1 教材补充例题在平面直角坐标系中画出二次函数 y x22 x3 的图像(1)二次函数图像与
2、 x 轴的交点坐标是什么？(2)当 x 取何值时 y0？这里 x 的取值与方程 x22 x30 有何关系？(3)你能从中得到什么启示？【归纳总结】 (1)求二次函数 y ax2 bx c 的图像与 x 轴的交点坐标，实质是求关于 x 的一元二次方程 ax2 bx c0 的实数根(2)由一元二次方程 ax2 bx c0 的两个根 x1， x2，可知二次函数 y ax2 bx c 的图像与 x 轴的交点坐标为( x1，0)，( x2，0)目标二 掌握抛物线与 x 轴的交点情况和一元二次方程的根的关系例 2 教材补充例题已知抛物线 y x24 kx4 k23 k.(1)当 k 为何值时，抛物线与 x
3、 轴有两个交点？(2)当 k 为何值时，抛物线与 x 轴无交点？【归纳总结】 二次函数的图像与 x 轴的交点个数与一元二次方程根的情况之间的关系判别式 b24 ac0 b24 ac0 b24 ac02方程 ax2 bxc 0 根的情况 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根抛物线 y ax2bx c 与 x 轴的交点个数有两个交点 有一个交点 没有交点目标三 二次函数与不等式的关系例 3 教材补充例题二次函数 y ax2 bx c(a0)的图像如图 541 所示，则使函数值 y0 成立的 x 的取值范围是( )图 541A x4 或 x2 B4 x2 C x4 或 x2 D4 x
4、2知识点一 二次函数与一元二次方程的关系一般地，如果二次函数 y ax2 bx c 的图像与 x 轴有两个公共点( x1，0)，( x2，0)，那么一元二次方程 ax2 bx c0 有两个不相等的实数根，即 x_，反之亦成立知识点二 抛物线与 x 轴的公共点个数同一元二次方程根的情况之间的关系详见例 2归纳总结注意 抛物线 y ax2 bx c 与 x 轴交点的横坐标为一元二次方程 ax2 bx c0 的根知识点三 二次函数与一元二次不等式的关系设抛物线 y ax2 bx c 与 x 轴的交点坐标为( x1，0)，( x2，0)，且 x10 时，一元二次不等式 ax2 bx c0 的解集为 x
5、x2；一元二次不等式 ax2 bx c0 的解集为 x1x2.已知抛物线 y x22 x m1 与 x 轴有交点，求 m 的取值范围小明的解法如下：抛物线 y x22 x m1 与 x 轴有交点， b24 ac2 24( m1)84 m0，3解得 m2.小明的解答过程是否正确？若不正确，请指出错误的原因，并写出正确的解答过程4详解详析【目标突破】例 1 解：二次函数 yx 22x3 的图像如图(1)二次函数图像与 x 轴的交点坐标是(1，0)，(3，0)(2)当 x1 或 x3 时，y0，这里 x 的取值是方程 x22x30 的两个根(3)二次函数 yx 22x3 的图像与 x 轴交点的横坐标
6、是一元二次方程 x22x30的两个根；一元二次方程 x22x30 的两个根就是二次函数 yx 22x3 的图像与 x轴交点的横坐标例 2 解析 根据二次函数与一元二次方程的关系，将抛物线与 x 轴的交点问题转化为一元二次方程根的判别式问题，列出不等式解答解：(1)抛物线与 x 轴有两个交点，b 24ac0，(4k) 24(4k 23k)0，解得 k0.故当 k0 时，抛物线与 x 轴有两个交点(2)抛物线与 x 轴无交点，b 24ac0，(4k) 24(4k 23k)0，解得 k0.故当 k0 时，抛物线与 x 轴没有交点例 3 解析 D 二次函数 yax 2bxc(a0)的图像与 x 轴的交
7、点坐标分别是(4，0)和(2，0)，抛物线开口向下，使函数值 y0 成立的 x 的取值范围是4x2.故选 D.备选探究 二次函数图像与一元二次方程根的关系的综合运用例 已知二次函数 yx 24x5 的图像与 x 轴交于 A，B 两点，P 为抛物线的顶点(1)求PAB 的面积(2)此抛物线上是否存在点 Q 使QAB 的面积等于 36？如果存在，求出点 Q 的坐标；如果不存在，说明理由解析 (1)求出线段 AB 的长及点 P 的坐标，即可求出PAB 的面积；(2)假设存在点 Q 使QAB 的面积为 36，建立方程研究一元二次方程根的情况解答解：(1)令 y0，得 x24x50.解此方程得 x15，
8、x 21，AB6.又P 是抛物线的顶点，点 P 的坐标为(2，9)，5S PAB 6|9|27.12(2)由(1)知 AB6，假设存在点 Q 使QAB 的面积等于 36，不妨设点 Q 的坐标为(x0，y 0)由 SQAB AB|y0|，12得 AB|y0|36，12即|y 0|12，y 012 或 y012.当 y012 时，得 x024x 0512，解得 x02 ；21当 y012 时，得 x024x 0512，此方程无实数根在此抛物线上存在点 Q(2 ，12)或 Q(2 ，12)，使QAB 的面积等于 36.21 21【总结反思】小结 知识点一 x 1或 x2反思 小明的解答过程不正确错误的原因：根据抛物线与 x 轴有交点，得到的结论应该是 b24ac0，而不是 b24ac0.正确的解答过程如下：抛物线 yx 22xm1 与 x 轴有交点，b 24ac2 24(m1)84m0，解得 m2.
