1、专题对点练 20 统计与概率1.为了检验学习情况,某培训机构于近期举办一场竞赛活动,分别从甲、乙两班各抽取 10 名学员的成绩进行统计分析,其成绩的茎叶图如图所示(单位:分),假设成绩不低于 90 分者被命名为“优秀学员” .(1)分别求甲、乙两班学员成绩的平均分( 结果保留一位小数);(2)从甲班 4 名优秀学员中抽取 2 人,从乙班 2 名 80 分以下的学员中抽取 1 人,求三人平均分不低于90 分的概率.2.某旅游爱好者计划从 3 个亚洲国家 A1,A2,A3 和 3 个欧洲国家 B1,B2,B3 中选择 2 个国家去旅游.(1)若从这 6 个国家中任选 2 个,求这 2 个国家都是亚
2、洲国家的概率 ;(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选 1 个,求这 2 个国家包括 A1 但不包括 B1 的概率.3.(2018 北京,文 17)电影公司随机收集了电影的有关数据, 经分类整理得到下表:电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类电影部数 140 50 300 200 800 510好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.(1)从电影公司收集的电影中随机选取 1 部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率 ;(2)随机选取 1 部电影,估计这部电影没有获得好评的概率 ;(3)电影公司为增加
3、投资回报,拟改变投资策略,这将导致不同类型电影的好评率发生变化 ,假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化,那么哪类电影的好评率增加 0.1,哪类电影的好评率减少 0.1,使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大?(只需写出结论)4.近年来,我国许多省市雾霾天气频发,为增强市民的环境保护意识,某市面向全市征召 n 名义务宣传志愿者,成立环境保护宣传组织.现把该组织的成员按年龄分成 5 组:第 1 组20,25),第 2 组25,30),第 3组30,35),第 4 组35,40), 第 5 组40,45, 得到的频率分布直方图如图所示,已知第 2 组有 35 人.(1)求该
4、组织的人数;(2)若在第 3,4,5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者参加某社区的宣传活动 ,应从第 3,4,5 组各抽取多少名志愿者?(3)在(2)的条件下,该组织决定在这 6 名志愿者中随机抽取 2 名志愿者介绍宣传经验,求第 3 组至少有1 名志愿者被抽中的概率.5.某校为了解学生对正在进行的一项教学改革的态度,从 500 名高一学生和 400 名高二学生中按分层抽样的方式抽取了 45 名学生进行问卷调查,结果可以分成以下三类:支持、反对、无所谓,调查结果统计如下:支持 无所谓 反对高一年级 18 x 2高二年级 10 6 y(1) 求出表中的 x,y 的值; 从反对的同学中随机选
5、取 2 人进一步了解情况,求恰好抽取高一、高二各 1 人的概率;(2)根据表格统计的数据,完成下面的 22 列联表,并判断是否有 90%的把握认为持支持与就读年级有关.(不支持包括无所谓和反对)高一年级 高二年级 总计支持不支持总计附:K 2= ,其中 n=a+b+c+d.(-)2(+)(+)(+)(+)P(K2k 0) 0.10 0.05 0.01k0 2.706 3.841 6.635专题对点练 20 答案1.解 (1)甲班学员的平均分为 88.1;乙班学员的平均分为 89.0.(2)所有抽取情况为:92,94,78;92,94,79;92,106, 78;92,106,79;92,108
6、,78;92,108,79;94,106,78;94,106,79;94,108,78;94,108,79;106,108,78;106,108,79.总共有 12 种.这 12 种情况中,平均分不低于 90 分的情况有 10 种.所以三人平均分不低于 90 分的概率为 .1012=562.解 (1)由题意知,从 6 个国家中任选两个国家,其一切可能的结果组成的基本事件有:A1,A2,A1,A3,A2,A3,A1,B1,A1,B2,A1,B3,A2,B1,A2,B2,A2,B3,A3,B1,A3,B2,A3,B3,B1,B2,B1,B3,B2,B3,共 15 个.所选两个国家都是亚洲国家的事件
7、所包含的基本事件有:A1,A2,A1,A3,A2,A3,共 3 个,则所求事件的概率为 P= .315=15(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个,其一切可能的结果组成的基本事件有 :A1,B1,A1,B2,A1,B3,A2,B1,A2,B2,A2,B3,A3,B1,A3,B2,A3,B3,共 9 个.包括 A1 但不包括 B1 的事件所包含的基本事件有:A1,B2,A1,B3,共 2 个,则所求事件的概率为 P=.3.解 (1)由题意知,样本中电影的总部数是 140+50+300+200+800+510=2 000.第四类电影中获得好评的电影部数是 2000.25=50,故所求概率为 =0.
8、025.502 000(2)(方法一 )由题意知,样本中获得好评的电影部数是1400.4+500.2+3000.15+2000.25+8000.2+5100.1=56+10+45+50+160+51=372.故估计所求概率为 1- =0.814.3722 000(方法二) 设“随机选取 1 部电影 ,这部电影没有获得好评” 为事件 B.没有获得好评的电影共有 1400.6+500.8+3000.85+2000.75+8000.8+5100.9=1 628(部).由古典概型概率公式,得 P(B)= =0.814.1 6282 000(3)第五类电影的好评率增加 0.1,第二类电影的好评率减少 0
9、.1,使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大.4.解 (1)由题意,得第 2 组的人数为 35=50.07n,得到 n=100,故该组织有 100 人.(2)第 3 组的人数为 0.065100=30,第 4 组的人数为 0.045100=20,第 5 组的人数为0.025100=10,所以第 3,4,5 组共有 60 名志愿者,所以利用分层抽样的方法在 60 名志愿者中抽取 6 名志愿者,每组抽取的人数分别为:第 3 组 6=3;第 4 组 6=2;第 5 组 6=1.3060 2060 1060所以应从第 3,4,5 组中分别抽取 3 人,2 人,1 人.(3)记第 3
10、 组的 3 名志愿者为 A1,A2,A3,第 4 组的 2 名志愿者为 B1,B2,第 5 组的 1 名志愿者为 C1,则从 6 名志愿者中抽取 2 名志愿者有(A 1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2),(A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),共有 15 种.其中第 3 组的 3 名志愿者 A1,A2,A3 至少有一名志愿者被抽中的有(A 1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,
11、 B1),(A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2),(A3,C1),共有 12 种.则第 3 组至少有 1 名志愿者被抽中的概率为 .1215=455.解 (1) 由题可得 x=5,y=4. 假设高一持反对的编号为 A1,A2,高二持反对的编号为 B1,B2,B3,B4,则选取两人的所有结果为(A 1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,B4),(A2, B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,B4),(B1,B2),(B1,B3),(B1,B4),(B2,B3),(B2,B4),(B3,B4). 恰好抽取高一、高二各 1 人包含 8 个事件, 所求概率 P= .815(2)列联表如图:高一年级 高二年级 总计支 持 18 10 28不支持 7 10 17总 计 25 20 45K2= =2.2882.706.45(180-70)228172520故没有 90%的把握认为持支持与就读年级有关 .
