1、第八节 函数与方程考纲传真 (教师用书独具) 结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数(对应学生用书第 27 页)基础知识填充1函数的零点(1)定义：对于函数 yf(x)(xD )，把使 f(x)0 成立的实数 x 叫做函数yf (x)(xD)的零点(2)函数零点与方程根的关系：方程 f(x)0 有实根 函数 yf (x)的图象与 x轴有交点函数 yf (x)有零点(3)零点存在性定理：如果函数 yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)f(b)0，那么函数 yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在 x0( a，b) ，
2、使得 f(x0)0.2二次函数 yax bxc(a0)的图象与零点的关系2 b 4ac2 0 0 0二次函数y ax bxc 2 (a0) 的图象与 x 轴的交点 (x1,0)，(x 2,0) (x1,0) 无交点零点个数 2 1 0知识拓展 有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数 f(x)在定义域上是单调函数，则 f(x)至多有一个零点(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号基本能力自测1(思考辨析) 判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)函数的零点就是函数的图象与 x 轴的交点( )(2
3、)函数 yf(x)在区间(a，b)内有零点( 函数图象连续不断)，则 f(a)f(b)0.( )(3)若函数 f(x)在(a，b)上单调且 f(a)f(b)0，则函数 f(x)在a，b上有且只有一个零点( )(4)二次函数 yax bxc 在 b 4ac 0 时没有零点( )2 2 答案 (1) (2) (3) (4)2函数 f(x)ln x 的零点所在的区间是( )2xA(1,2) B(2,3)C 和(3,4) D(4，)(1e，1)B 易知 f(x)为增函数，由 f(2)ln 210，f(3)ln 3 0，得 f(2)f(3)230.故选 B 3下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )A
4、ycos x Bysin xCyln x Dyx 12 A 由于 ysin x 是奇函数； yln x 是非奇非偶函数，yx 1 是偶函数2 但没有零点，只有 ycos x 是偶函数又有零点4(教材改编) 函数 f(x)e 3x 的零点个数是( )x A0 B1 C2 D3B f( 1) 30， f(0)10，1ef(x)在(1,0)内有零点，又 f(x)为增函数，函数 f(x)有且只有一个零点 5函数 f(x)ax12a 在区间(1,1)上存在一个零点，则实数 a 的取值范围是_ 函数 f(x)的图象为直线，(13，1)由题意可得 f(1)f(1) 0 ，(3 a1)(1a)0，解得 a1，
5、13实数 a 的取值范围是 .(13，1)(对应学生用书第 28 页)判断函数零点所在区间(1)已知函数 f(x)ln x 的零点为 x0，则 x0 所在的区间是( )(12)x 2 A(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3,4)(2)(2018北京东城区综合练习 (二)已知函数 f(x)ln x2x6 的零点在(kZ) 内，那么 k_.(k2，k 12 )(1)C (2) 5 (1)f(x )ln x 在(0，) 上是增函数，(12)x 2 又 f(1)ln 1 ln 120，(12) 1 f(2)ln 2 0，(12)0 f(3)ln 3 0，(12)1 x 0(2,3)，故选 C(
6、2)f(x) 20，x(0，)，f(x )在 x(0，)上单调递增，且1xf ln 10，f(3)ln 30，f( x)的零点在 内，则整数 k5.(52) 52 (52，3)规律方法 判断函数零点所在区间的方法1解方程，当对应方程易解时，可通过解方程，看方程是否有根落在给定区间上来判断.2利用零点存在性定理进行判断.3数形结合画出函数图象，通过观察图象与 x 轴在给定区间内是否有交点来判断.跟踪训练 (1)设 f(x)ln xx 2，则函数 f(x)的零点所在的区间为( )A(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3,4)(2)函数 f(x)x 3x 18 在区间1,8 上_(填“存在”或
7、“不存在”)2 零点(1)B (2)存在 (1)函数 f(x)的零点所在的区间可转化为函数 g(x)ln x，h( x)x2 图象交点的横坐标所在的取值范围作图如右：可知 f(x)的零点所在的区间为 (1,2)(2)法一：f (1)1 3118200，2 f(8)8 3 81822 0，2 f(1)f(8)0 ，又 f(x)x 3x18，x 1,8 的图象是连续的，2 故 f(x)x 3x18 在 x1,8 上存在零点2 法二：令 f(x)0，得 x 3x180，2 (x6)(x3)0.x61,8，x31,8，f(x)x 3x18 在 x1,8 上存在零点2 判断函数零点的个数(1)函数 f(
8、x)|x 2|ln x 在定义域内的零点的个数为( )A0 B1C2 D3(2)(2017秦皇岛模拟)函数 f(x)Error! 的零点个数是_. (1)C (2) 3 (1)由题意可知 f(x)的定义域为(0，)在同一直角坐标系中画出函数 y|x2|(x0)，yln x (x0)的图象，如图所示：由图可知函数 f(x)在定义域内的零点个数为 2.(2)当 x0 时，作函数 yln x 和 yx 2x 的图象，2 由图知，当 x0 时，f (x)有 2 个零点；当 x0 时，由 f(x)0 得 x ，14综上，f( x)有 3 个零点规律方法 判断函数零点个数的三种方法1解方程法：所对应方程
9、fx0 有几个不同的实数解就有几个零点 .2零点存在性定理法：利用零点存在性定理并结合函数的性质进行判断.数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题.先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数.跟踪训练 (1)函数 f(x)0.9 x 的零点个数是( )x 221A0 个 B1 个C2 个 D3 个(2)函数 f(x)2 |log0.5x| 1 的零点个数为( )x A1 B2C3 D4(1)B (2)B (1)因为 f(x)0.9 x，则函数 f(x)为减函数，值域为 R，所x 221以函数 f(x)的图象必与 x 轴有一个交点，即方程 0.9 x0 有一解
10、x 221(2)令 f(x)2 |log0.5x|1 0，x 可得|log 0.5x| .(12)x 设 g(x)|log 0.5x|，h(x ) ，在同一坐标系下分别画出函数 g(x)，h(x )的图(12)x 象，可以发现两个函数图象一定有 2 个交点，因此函数 f(x)有 2 个零点函数零点的应用(1)设函数 f(x)e x 2，g(x)ln xx 3.若实数 a，b 满足 f(a)x 2 0，g( b)0 ，则( )Ag(a )0 f(b) Bf(b)0g(a)C0 g(a)f( b) Df(b)g(a) 0(2)(2016山东高考)已知函数 f(x)Error! 其中 m0.若存在实
11、数 b，使得关于 x 的方程 f(x)b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是 _(1)A (2)(3 ， ) (1)f(x )e x 2，x f(x)e 10，x 则 f(x)在 R 上为增函数，又 f(0)e 020，f(1)e10，且 f(a)0， 0a1.g(x)ln xx 3，2 g(x) 2x.1x当 x(0，)时，g(x)0，g(x)在(0 ， ) 上为增函数，又 g(1)ln 1 220，g(2) ln 210，且 g(b)0，1b2，ab，Error!故选 A(2)作出 f(x)的图象如图所示当 xm 时，x 2mx 4m(xm )2 4mm ，要使方程 f(x)b 有三个不
12、同的根，则有 4mm 0.又 m0，解得 m3.2 规律方法 已知函数有零点求参数取值范围常用的方法1直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围.2分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决.3数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.跟踪训练 (1)已知函数 f(x)e x，g(x)ln xx，h(x)ln x1 的零点x 依次为 a，b，c ，则( )Aabc BcbaCcab Dbac(2)函数 f(x)2 a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数 a 的取值范围是( ) x 2xA(1,3) B(1,2)C(0,3) D(0,2)(1)A (2) C (1)e aa，a0，ln bb，且 b0，0b1，ln c1，c e1，故选 A(2)函数 f(x)2 a 在区间(1,2)上单调递增，又函数 f(x)2 ax 2x x 2x的一个零点在区间(1,2) 内，则有 f(1)f(2)0，( a)(41a)0，即 a(a3)0，0a3.
