1、2.4.1抛物线及其标准方程,喷泉,探照灯,当0e 1时， 是椭圆.,当e1时， 是双曲线.,思考1：当e=1时，它又是什么曲线？,复习：椭圆和双曲线的第二定义,平面内到一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹.,(其中定点不在定直线上),如图，点 是定点， 是不经过点 的定直线。 是 上任意一点，过点 作 ，线段FH的垂直平分线m交MH于点M，拖动点H，观察点M的轨迹，你能发现点M满足的几何条件吗？,提出问题：,几何画板观察,问题探究： 当e=1时，即|MF|=|MH| ，点M的轨迹是什么？,探究？,可以发现,点M随着H运动的过程中,始终有|MF|=|MH|,即点M与点F和定直
2、线l的距离相等.点M生成的轨迹是曲线C的形状.(如图),我们把这样的一条曲线叫做抛物线.,二、抛物线的定义：,注意：定点不在定直线上,练习: 平面上到定点A(1, 2) 和到定直线 2xy=0距离相等的点的轨迹为( )(A)直线 (B)抛物线 (C)双曲线 (D)椭圆,想一想：已知点P(x,y)的坐标满足方程:,1.若 ，P的轨迹是何曲线？,2.随 的变化，P的轨迹可以是哪些曲线？,思考2：请自己动手建系探求抛物线的方程，怎样建系方程最简单？,三、抛物线的标准方程：,三、抛物线的标准方程：,抛物线标准方程,把方程 y2 = 2px (p0)叫做抛物线的标准方程.其中 p 为正常数,焦点在 x
3、轴正半轴上.,且 p的几何意义是:,焦点坐标是,准线方程为:,思考3: 坐标系的建立还有没有其它方案也会使抛物线方程的形式简单 ？,方案(1),方案(2),方案(3),方案(4),焦点到准线的距离,向右,向左,向上,向下,四四种抛物线的对比,练习：填表（填标准方程）,例1,（1）已知抛物线的标准方程是 y 2 = 6 x ，求它的焦点坐标及准线方程,（2）已知抛物线的焦点坐标是 F（0，1），求抛物线的标准方程,（3）已知抛物线的准线方程为 x = 1 ，求抛物线的标准方程,（4）求过点A（3，2）的抛物线的标准方程,x 2 =4 y,y 2 =4 x,待定系数法,练习：求抛物线的标准方程,1
4、.焦准距是2； 2.以双曲线 的焦点为焦点； 3.经过点P(-4,-2)；,4.已知动圆M过定点F(2, 0)，且与直线x= 2相切，求动圆圆心M的轨迹方程.,定义法,复习回顾,1.圆锥曲线的统一定义：,平面内到一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹.,则轨迹是椭圆；,则轨迹是抛物线；,则轨迹是双曲线.,定点不在定直线上,2.抛物线的标准方程、焦点、准线.,向右,向左,向上,向下,1. 已知点P(x0, y0)是抛物线y2=2px (p0)上 一点，则P到焦点F的距离|PF|=( ),2.已知点A(2, 1),点M在抛物线y2=4x上 移动，F是抛物线的焦点，则|MF|+|MA
5、| 的最小值是( ),此时M的坐标是 ( ),3.已知M是抛物线 上一动点，M 到其准线的距离为d1 , M到直线x+y=2的 距离为d2 , 则d1+d2的最小值是( ).,3,4. 若点M到点F（4，0）的距离比它到直线l:x50的距离少1，求点M的轨迹方程.,5.如图，一个动圆M与一个定圆C外切，且与定直线l相切，则圆心M的轨迹是什么？,以点C为焦点的抛物线.,例2 一种卫星接收天线的轴截面如图所示，卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处.已知接收天线的口径（直径）为4.8m，深度为0.5m，试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标.,方程：y21
6、1.52x 焦点：（2.88，0）,A,(1)范围 (2)对称性 (3)顶点,x0,yR,关于x轴对称,原点(0,0) 抛物线和它的轴的交点,抛物线的性质,(4)离心率,以y2=2px(p0)为例,e=1,y2 = 2px （p0）,y2 = -2px （p0）,x2 = 2py （p0）,x2 = -2py （p0）,关于x轴对称,关于y轴对称,（0,0）,e=1,F,x,y,思考：你能说出直线与抛物线位置关系吗？,直线与抛物线的位置关系,判断直线与抛物线位置关系的操作程序：,把直线方程代入抛物线方程,得到一元一次方程,得到一元二次方程,直线与抛物线的 对称轴平行,相交（一个交点）,计 算
7、判 别 式,总结：,|AB|8,法1：解出交点坐标,法2：弦长公式,法3：焦半径,例2 求准线平行于x轴，且截直线 yx1所得的弦长为 的抛物线 的标准方程.,x25y或x2y.,y22(x1).,1、在抛物线y2=64x上求一点，使它到直线：4x+3y+46=0的距离最短，并求此距离.,2、已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2，求AB中点纵坐标的最小值.,F,A,B,M,解：,另解：,F,A,B,M,2、已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2，求AB中点纵坐标的最小值.,过焦点弦的几何特征：,y2=2px ( p 0 ) 焦点弦AB的性质,A(x1, y1), B(x2, y2),2.AB为直径的圆与 准线相切,思考：正三角形的一个顶点在原点，另两个顶点A、B在抛物线y22px（p0为常数）上，求这个正三角形的边长.,已知抛物线y2=4x,过定点A(-2, 1)的直 线l的斜率为k,下列情况下分别求k的取值 范围： 1. l与抛物线有且仅有一个公共点； 2. l与抛物线恰有两个公共点； 3. l与抛物线没有公共点.,直线与抛物线的关系,尝试练习,
