（全国通用版）2018-2019版高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入学案（打包5套）新人教A版选修2-2.zip

13．1.1 数系的扩充和复数的概念学习目标 1.了解引进虚数单位 i 的必要性，了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．知识点一 复数的概念及代数表示思考 为解决方程 x2＝2 在有理数范围内无根的问题，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程 x2＋1＝0 在实数系中无根的问题呢？答案 设想引入新数 i，使 i 是方程 x2＋1＝0 的根，即 i·i＝－1，方程 x2＋1＝0 有解，同时得到一些新数．梳理 (1)复数①定义：把集合 C＝{ a＋ bi|a， b∈R}中的数，即形如 a＋ bi(a， b∈R)的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位． a 叫做复数的实部， b 叫做复数的虚部．②表示方法：复数通常用字母 z 表示，即 z＝ a＋ bi(a， b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式．(2)复数集①定义：全体复数所成的集合叫做复数集．②表示：通常用大写字母 C 表示．知识点二 两个复数相等的充要条件在复数集 C＝{ a＋ bi|a， b∈R}中任取两个数 a＋ bi， c＋ di (a， b， c， d∈R)，我们规定：a＋ bi 与 c＋ di 相等的充要条件是 a＝ c 且 b＝ d.2知识点三 复数的分类(1)复数( a＋ bi， a， b∈R)Error!(2)集合表示：1．若 a， b 为实数，则 z＝ a＋ bi 为虚数．( × )2．复数 z＝ bi 是纯虚数．( × )3．若两个复数的实部的差和虚部的差都等于 0，那么这两个复数相等．( √ )类型一 复数的概念例 1 (1)给出下列几个命题：①若 z∈C，则 z2≥0；②2i－1 虚部是 2i；③2i 的实部是 0；④若实数 a 与 ai 对应，则实数集与纯虚数集一一对应；⑤实数集的补集是虚数集．其中真命题的个数为( )A．0 B．1C．2 D．3(2)已知复数 z＝ a2－(2－ b)i 的实部和虚部分别是 2 和 3，则实数 a， b 的值分别是________．考点 复数的概念题点 复数的概念及分类答案 (1)C (2)± ，52解析 (1)令 z＝i∈C，则 i2＝－12a＋3，即 a2－2 a－30，解得 a3 或 a3 或 a1，则实数 x 的值是________．考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数答案 －2解析 由题意知Error!得 x＝－2.1．对于复数 z＝ a＋ bi(a， b∈R)，可以限制 a， b 的值得到复数 z 的不同情况．2．两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的充要条件进行判断.一、选择题1．设 a， b∈R， “a＝0”是“复数 a＋ bi 是纯虚数”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件7D．既不充分也不必要条件考点 复数的概念题点 复数的概念及分类答案 B解析 因为 a， b∈R，当“ a＝0”时“复数 a＋ bi 不一定是纯虚数，也可能 b＝0，即a＋ bi＝0∈R” ．而当“复数 a＋ bi 是纯虚数” ，则“ a＝0”一定成立．所以 a， b∈R， “a＝0”是“复数 a＋ bi 是纯虚数”的必要不充分条件．2．以－ ＋2i 的虚部为实部，以 i＋2i 2的实部为虚部的新复数是( )5 5A．2－2i B．－ ＋ i5 5C．2＋i D. ＋ i5 5考点 复数的概念题点 求复数的实部和虚部答案 A解析 设所求新复数 z＝ a＋ bi(a， b∈R)，由题意知复数－ ＋2i 的虚部为 2，复数 i＋2i 2＝ i＋2×(－1)＝－2＋ i 的实部为5 5 5 5－2，则所求的 z＝2－2i.故选 A.3．若( x＋ y)i＝ x－1( x， y∈R)，则 2x＋ y的值为( )A. B．2 C．0 D．112考点 复数相等题点 由复数相等求参数答案 D解析 由复数相等的充要条件知，Error!解得 Error!∴ x＋ y＝0.∴2 x＋ y＝2 0＝1.4．下列命题中：①若 x， y∈C，则 x＋ yi＝1＋i 的充要条件是 x＝ y＝1；②纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集；③若( z1－ z2)2＋( z2－ z3)2＝0，则 z1＝ z2＝ z3.正确命题的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3考点 复数的概念8题点 复数的概念及分类答案 A解析 ①取 x＝i， y＝－i，则 x＋ yi＝1＋i，但不满足 x＝ y＝1，故①错；②③错，故选 A.5．若 sin 2θ －1＋i( cos θ ＋1)是纯虚数，则 θ 的值为( )2A．2 kπ－ (k∈Z) B．2 kπ＋ (k∈Z)π 4 π 4C．2 kπ± (k∈Z) D. π＋ (k∈Z)π 4 k2 π 4考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数答案 B解析 由题意，得Error!解得Error! (k∈Z)，∴ θ ＝2 kπ＋ ， k∈Z.π 46．若复数 z＝ ＋ i 是纯虚数(i 为虚数单位)，则 tan 的值为(cos θ －45) (sin θ － 35) (θ － π 4)( )A．7 B．－17C．－7 D．－7 或－17考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数答案 C解析 ∵复数 z＝ ＋ i 是纯虚数，(cos θ －45) (sin θ － 35)∴cos θ － ＝0，sin θ － ≠0，45 35∴sin θ ＝－ ，∴tan θ ＝－ ，35 34则 tan ＝ ＝ ＝－7.(θ －π 4) tan θ － 11＋ tan θ－ 34－ 11－ 347．已知关于 x 的方程 x2＋( m＋2i) x＋2＋2i＝0( m∈R)有实数根 n，且 z＝ m＋ ni，则复数 z等于( )A．3＋i B．3－iC．－3－i D．－3＋i9考点 复数相等题点 由复数相等求参数答案 B解析 由题意知 n2＋( m＋2i) n＋2＋2i＝0，即Error! 解得Error!∴ z＝3－i，故选 B.二、填空题8．设 m∈R， m2＋ m－2＋( m2－1)i 是纯虚数，其中 i 是虚数单位，则 m＝________.考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数答案 －2解析 由Error!即 m＝－2.9．已知 z1＝( m2＋ m＋1)＋( m2＋ m－4)i， m∈R， z2＝3－2i.则 m＝1 是 z1＝ z2的______条件．考点 复数相等题点 由复数相等求参数答案 充分不必要解析 当 z1＝ z2时，必有 m2＋ m＋1＝3， m2＋ m－4＝－2，解得 m＝－2 或 m＝1，显然 m＝1是 z1＝ z2的充分不必要条件．10．已知复数 z＝ m2(1＋i)－ m(m＋i)( m∈R)，若 z 是实数，则 m 的值为________．考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数答案 0 或 1解析 z＝ m2＋ m2i－ m2－ mi＝( m2－ m)i，所以 m2－ m＝0，所以 m＝0 或 1.11．复数 z＝( a2－2 a－3)＋(| a－2|－1)i 不是纯虚数，则实数 a 的取值范围是________________．考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数答案 (－∞，－1)∪(－1，＋∞)解析 若复数 z＝( a2－2 a－3)＋(| a－2|－1)i 是纯虚数，则a2－2 a－3＝0，| a－2|－1≠0，解得 a＝－1，∴当 a≠－1 时，复数 z＝( a2－2 a－3)＋(| a－2|－1)i 不是纯虚数．1012．已知 log 12(m＋ n)－( m2－ 3m)i≥－1，且 n∈N *，则 m＋ n＝________.考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数答案 1 或 2解析 由题意得Error!由②，得 m＝0 或 m＝3.当 m＝0 时，由 12log(m＋ n)≥－1，得 0n≤2，∴ n＝1 或 n＝2.当 m＝3 时，由 12l(m＋ n)≥－1，得 0n＋3≤2，∴－3 n≤－1，即 n 无自然数解．∴ m， n 的值分别为 m＝0， n＝1 或 m＝0， n＝2.故 m＋ n 的值为 1 或 2.三、解答题13．实数 m 为何值时，复数 z＝ ＋( m2＋2 m－3)i 分别是 (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚mm＋ 2m－ 1数．考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数解 (1)要使 z 是实数， m 需满足 m2＋2 m－3＝0，且 有意义，即 m－1≠0，解得mm＋ 2m－ 1m＝－3.(2)要使 z 是虚数， m 需满足 m2＋2 m－3≠0，且 有意义，即 m－1≠0，解得 m≠1 且mm＋ 2m－ 1m≠－3.(3)要使 z 是纯虚数， m 需满足 ＝0， m－1≠0，mm＋ 2m－ 1且 m2＋2 m－3≠0，解得 m＝0 或 m＝－2.四、探究与拓展14．定义运算 ＝ ad－ bc，如果( x＋ y)＋( x＋3)i＝ ，求实数 x， y 的值．|a bc d| |3x＋ 2y i－ y 1|考点 复数相等题点 由复数相等求参数解 由定义运算 ＝ ad－ bc，|a bc d|11得 ＝3 x＋2 y＋ yi，|3x＋ 2y i－ y 1|故有( x＋ y)＋( x＋3)i＝3 x＋2 y＋ yi.因为 x， y 为实数，所以Error!得Error! 得 x＝－1， y＝2.15．已知集合 M＝{( a＋3)＋( b2－1)i,8}，集合 N＝{3i，( a2－1)＋( b＋2)i}满足 M∩ N⊆M，且 M∩ N≠∅，求整数 a， b 的值．考点 复数相等题点 由复数相等求参数解 由题意，得( a＋3)＋( b2－1)i＝3i，①或 8＝( a2－1)＋( b＋2)i，②或( a＋3)＋( b2－1)i＝( a2－1)＋( b＋2)i.③由①，得 a＝－3， b＝±2，由②，得 a＝±3， b＝－2，③中， a， b 无整数解，不符合题意．综上， a＝－3， b＝2 或 a＝－3， b＝－2 或 a＝3， b＝－2.13.1.2 复数的几何意义学习目标 1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模等概念.3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法．知识点一 复平面建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， x 轴叫做实轴， y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．知识点二 复数的几何意义知识点三 复数的模复数 z＝ a＋ bi(a， b∈R)，对应的向量为 ，则向量 的模 r 叫做复数 z＝ a＋ bi 的模，记OZ→ OZ→ 作| z|或| a＋ bi|.由模的定义可知：| z|＝| a＋ bi|＝ r＝ (r≥0， r∈R)．a2＋ b21．在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．( √ )2．在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．( × )3．若| z1|＝| z2|，则 z1＝ z2.( × )类型一 复数与复平面内的点的关系例 1 实数 x 分别取什么值时，复数 z＝( x2＋ x－6)＋( x2－2 x－15)i 对应的点 Z 在：(1)第三象限；(2)直线 x－ y－3＝0 上．考点 复数的几何意义题点 复数与点对应的关系2解 因为 x 是实数，所以 x2＋ x－6， x2－2 x－15 也是实数．(1)当实数 x 满足Error!即当－31 B．－11 D． a0考点 复数的模的定义与应用5题点 利用模的定义求参数答案 B解析 因为| z1|＝ ，| z2|＝ ＝ ，a2＋ 4 4＋ 1 5所以 0，cos 3 ，即 A － B，sin Acos B，cos π 2 π 2B－tan A＝cos B－ 0，所以点(cos B－tan A，tan B)在sin Acos A第二象限，故选 B.15．已知复数 z 对应的向量为 (O 为坐标原点)， 与实轴正方向的夹角为 120°，且复数OZ→ OZ→ z 的模为 2，求复数 z.考点 复数的几何意义题点 复数与向量的对应关系解 根据题意可画图形如图所示，设点 Z 的坐标为( a， b)，∵| |＝| z|＝2，∠ xOZ＝120°，OZ→ ∴ a＝－1， b＝± ，3即点 Z 的坐标为(－1， )或(－1，－ )，3 3∴ z＝－1＋ i 或 z＝－1－ i.3 313．2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义学习目标 1.熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则.2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题．知识点一 复数代数形式的加减法思考 类比多项式的加减法运算，想一想复数如何进行加减法运算？答案 两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即( a＋ bi)±(c＋ di)＝( a±c)＋( b±d)i.梳理 (1)运算法则设 z1＝ a＋ bi， z2＝ c＋ di 是任意两个复数，那么( a＋ bi)＋( c＋ di)＝( a＋ c)＋( b＋ d)i，( a＋ bi)－( c＋ di)＝( a－ c)＋( b－ d)i.(2)加法运算律对任意 z1， z2， z3∈C，有 z1＋ z2＝ z2＋ z1，( z1＋ z2)＋ z3＝ z1＋( z2＋ z3)．知识点二 复数加减法的几何意义思考 1 复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗？答案 如图，设 ， 分别与复数 a＋ bi， c＋ di 对应，OZ1→ OZ2→ 则 ＝( a， b)， ＝( c， d)，OZ1→ OZ2→ 由平面向量的坐标运算，得 ＋ ＝( a＋ c， b＋ d)，OZ1→ OZ2→ 所以 ＋ 与复数( a＋ c)＋( b＋ d)i 对应，复数的加法可以按照向量的加法来进行．OZ1→ OZ2→ 思考 2 怎样作出与复数 z1－ z2对应的向量？答案 z1－ z2可以看作 z1＋(－ z2)．因为复数的加法可以按照向量的加法来进行．所以可以按照平行四边形法则或三角形法则作出与 z1－ z2对应的向量(如图)．图中 对应复数 z1，OZ1→ 2对应复数 z2，则 对应复数 z1－ z2.OZ2→ Z2Z1→ 梳理复数加法的几何意义复数 z1＋ z2是以 ， 为邻边的平行四边OZ1→ OZ2→ 形的对角线 所对应的复数OZ→ 复数减法的几何意义复数 z1－ z2是从向量 的终点指向向量OZ2→ 的终点的向量 所对应OZ1→ Z2Z1- - - - - → 的复数1．两个虚数的和或差可能是实数．( √ )2．在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部．( √ )3．复数的减法不满足结合律，即( z1－ z2)－ z3＝ z1－( z2＋ z3)可能不成立．( × )类型一 复数的加法、减法运算例 1 (1)若 z1＝2＋i， z2＝3＋ ai(a∈R)，复数 z1＋ z2所对应的点在实轴上，则a＝________.(2)已知复数 z 满足| z|i＋ z＝1＋3i，则 z＝________.考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的综合应用答案 (1)－1 (2)1＋ i43解析 (1) z1＋ z2＝(2＋i)＋(3＋ ai)＝5＋( a＋1)i，由题意得 a＋1＝0，则 a＝－1.(2)设 z＝ x＋ yi(x， y∈R)，则| z|＝ ，x2＋ y2∴| z|i＋ z＝ i＋ x＋ yi＝ x＋( ＋ y)ix2＋ y2 x2＋ y2＝1＋3i，∴Error! 解得Error!3∴ z＝1＋ i.43反思与感悟 (1)复数的加减运算就是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．(2)当一个等式中同时含有| z|与 z 时，一般用待定系数法，设 z＝ x＋ yi(x， y∈R)．跟踪训练 1 (1)若复数 z 满足 z＋i－3＝3－i，则 z＝________.(2)(a＋ bi)－(2 a－3 bi)－3i＝________( a， b∈R)．(3)已知复数 z 满足| z|＋ z＝1＋3i，则 z＝________.考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的运算法则答案 (1)6－2i (2)－ a＋(4 b－3)i (3)－4＋3i解析 (1)∵ z＋i－3＝3－i，∴ z＝6－2i.(2)(a＋ bi)－(2 a－3 bi)－3i＝( a－2 a)＋( b＋3 b－3)i＝－ a＋(4 b－3)i.(3)设 z＝ x＋ yi(x， y∈R)，| z|＝ ，x2＋ y2∴| z|＋ z＝( ＋ x)＋ yi＝1＋3i，x2＋ y2∴Error! 解得Error!∴ z＝－4＋3i.类型二 复数加、减法的几何意义例 2 (1)如图所示，平行四边形 OABC 的顶点 O， A， C 分别对应的复数为0，3＋2i，－2＋4i.求：① 表示的复数；AO→ ② 表示的复数；CA→ ③ 表示的复数．OB→ 考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法与向量的对应解 ∵ A， C 对应的复数分别为 3＋2i，－2＋4i，由复数的几何意义，知 与 表示的复数分别为 3＋2i，－2＋4i.OA→ OC→ ①因为 ＝－ ，所以 表示的复数为－3－2i.AO→ OA→ AO→ 4②因为 ＝ － ，CA→ OA→ OC→ 所以 表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.CA→ ③ ＝ ＋ ，OB→ OA→ OC→ 所以 表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.OB→ (2)已知 z1， z2∈C，| z1|＝| z2|＝1，| z1＋ z2|＝ ，求| z1－ z2|.3考点 复数加减法的几何意义及应用题点 与加减法几何意义有关的模的问题解 根据复数加减法的几何意义，由| z1|＝| z2|知，以 ， 为邻边的平行四边形 OACB 是OA→ OB→ 菱形．如图， 对应的复数为 z1， 对应的复数为 z2，OA→ OB→ ∴| |＝| |， 对应的复数为 z1＋ z2，∴| |＝ .OA→ OB→ OC→ OC→ 3在△ AOC 中，| |＝| |＝1，| |＝ ，OA→ AC→ OC→ 3∴∠ AOC＝30°.同理得∠ BOC＝30°，∴△ OAB 为等边三角形，则| |＝1， 对应的复数为 z1－ z2，∴| z1－ z2|＝1.BA→ BA→ 引申探究 若将本例(2)中的条件“| z1＋ z2|＝ ”改为“| z1－ z2|＝1” ，求| z1＋ z2|.3解 如例 2(2)图，向量 表示的复数为 z1－ z2，BA→ ∴| |＝1，则△ AOB 为等边三角形，∴∠ AOC＝30°，BA→ 则| |＝ ，∴| |＝ ， 表示的复数为 z1＋ z2，OD→ 32 OC→ 3 OC→ ∴| z1＋ z2|＝ .3反思与感悟 (1)常用技巧①形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理；②数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．(2)常 见 结 论 ： 在 复 平 面 内 ， z1， z2对 应 的 点 分 别 为 A， B， z1＋ z2对 应 的 点 为 C， O 为 坐 标 原点．5①四边形 OACB 为平行四边形；②若| z1＋ z2|＝| z1－ z2|，则四边形 OACB 为矩形；③若| z1|＝| z2|，则四边形 OACB 为菱形；④若| z1|＝| z2|且| z1＋ z2|＝| z1－ z2|，则四边形 OACB 为正方形．跟踪训练 2 (1)已知复平面内的平面向量 ， 表示的复数分别是－2＋i,3＋2i，则OA→ AB→ | |＝________.OB→ (2)若 z1＝2＋i， z2＝3＋ ai，复数 z2－ z1所对应的点在第四象限上，则实数 a 的取值范围是__________．考点 复数的加减法运算法则题点 复数的加减法与向量的对应答案 (1) (2)(－∞，1)10解析 (1)∵ ＝ ＋ ，OB→ OA→ AB→ ∴ 表示的复数为(－2＋i)＋(3＋2i)＝1＋3i，OB→ ∴| |＝ ＝ .OB→ 12＋ 32 10(2)z2－ z1＝1＋( a－1)i，由题意知 a－10，即 a1.1．设 z1＝3－4i， z2＝－2＋3i，则 z1－ z2在复平面内对应的点位于( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法与点的对应答案 D解析 ∵ z1－ z2＝5－7i，∴ z1－ z2在复平面内对应的点位于第四象限．2．已知复数 z1＝( a2－2)－3 ai， z2＝ a＋( a2＋2)i，若 z1＋ z2是纯虚数，那么实数 a 的值为( )A．1 B．2C．－2 D．－2 或 1考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的运算法则6答案 C解析 由 z1＋ z2＝ a2－2＋ a＋( a2－3 a＋2)i 是纯虚数，得Error!得 a＝－2.3．在复平面内， O 是原点， ， ， 表示的复数分别为－2＋i，3＋2i,1＋5i，则 表示的OA→ OC→ AB→ BC→ 复数为( )A．2＋8i B．4－4iC．6－6i D．－4＋2i考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法与向量的对应答案 B解析 ＝ － ＝ －( ＋ )＝4－4i.BC→ OC→ OB→ OC→ AB→ OA→ 4．设 f(z)＝| z|， z1＝3＋4i， z2＝－2－i，则 f(z1－ z2)等于( )A. B．510 5C. D．52 2考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的综合应用答案 D解析 因为 z1－ z2＝5＋5i，所以 f(z1－ z2)＝ f(5＋5i)＝|5＋5i|＝5 .25．设平行四边形 ABCD 在复平面内， A 为原点， B， D 两点对应的复数分别是 3＋2i 和2－4i，则点 C 对应的复数是__________．考点 复数加减法的几何意义及应用题点 与加减法几何意义有关的综合应用答案 5－2i解析 设 AC 与 BD 的交点为 E，则 E 点坐标为 ，设点 C 坐标为( x， y)，则(52， － 1)x＝5， y＝－2，故点 C 对应的复数为 5－2i.1．复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算．2．复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则.7一、选择题1．若复数 z 满足 z＋(3－4i)＝1，则 z 的虚部是( )A．－2 B．4C．3 D．－4考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的运算法则答案 B解析 ∵ z＋(3－4i)＝1，∴ z＝－2＋4i，故 z 的虚部是 4.2．实数 x， y 满足 z1＝ y＋ xi， z2＝ yi－ x，且 z1－ z2＝2，则 xy 的值是( )A．1 B．2C．－2 D．－1考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的综合应用答案 A解析 z1－ z2＝( y＋ x)＋( x－ y)i＝2，即Error! ∴ x＝ y＝1，则 xy＝1.3．若 z1＝2＋i， z2＝3＋ ai(a∈R)，且 z1＋ z2所对应的点在实轴上，则 a 的值为( )A．3 B．2C．1 D．－1考点 复数加减法运算法则题点 复数加减法与点的对应答案 D解析 z1＋ z2＝2＋i＋3＋ ai＝(2＋3)＋(1＋ a)i＝5＋(1＋ a)i.∵ z1＋ z2所对应的点在实轴上，∴1＋ a＝0，∴ a＝－1.4．设复数 z 满足关系式 z＋| z|＝2＋i，那么 z 等于( )A．－ ＋i B. －i34 34C．－ －i D. ＋i34 34考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的运算法则答案 D8解析 设 z＝ a＋ bi(a， b∈R)，则 z＋| z|＝( a＋ )＋ bi＝2＋i，a2＋ b2则Error! 解得Error!∴ z＝ ＋i.345．已知复数 z 对应的向量如图所示，则复数 z＋1 所对应的向量正确的是( )考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法与向量的对应答案 A解析 由图知 z＝－2＋i，则 z＋1＝－1＋i，由复数的几何意义可知，A 是正确的．6．复数 z1＝ a＋4i， z2＝－3＋ bi，若它们的和 z1＋ z2为实数，差 z1－ z2为纯虚数，则a， b 的值为( )A． a＝－3， b＝－4 B． a＝－3， b＝4C． a＝3， b＝－4 D． a＝3， b＝4考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的综合应用答案 A解析 因为 z1＋ z2＝( a－3)＋(4＋ b)i 为实数，所以 4＋ b＝0， b＝－4.因为 z1－ z2＝( a＋4i)－(－3＋ bi)＝( a＋3)＋(4－ b)i 为纯虚数，所以 a＝－3 且 b≠4.故 a＝－3， b＝－4.7．在复平面内点 A， B， C 所对应的复数分别为 1＋3i，－i，2＋i，若 ＝ ，则点 D 表示AD→ BC→ 的复数是( )A．1－3i B．－3－iC．3＋5i D．5＋3i考点 复数加减法的几何意义及应用题点 与加减法几何意义有关的综合应用答案 C解析 ∵点 A， B， C 对应的复数分别为 1＋3i，－i,2＋i，9∴ 对应的复数为 2＋2i.设 D(x， y)，BC→ ∵ ＝ ，∴( x－1， y－3)＝(2,2)，AD→ BC→ ∴Error! 解得Error!∴点 D 表示的复数为 3＋5i.二、填空题8．已知 z1＝(3 x＋ y)＋( y－4 x)i(x， y∈R)， z2＝(4 y－2 x)－(5 x＋3 y)i(x， y∈R)．设z＝ z1－ z2，且 z＝13－2i，则 z1＝________， z2＝________.考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的综合应用答案 5－9i －8－7i解析 ∵ z＝ z1－ z2＝(3 x＋ y－4 y＋2 x)＋( y－4 x＋5 x＋3 y)i＝(5 x－3 y)＋( x＋4 y)i＝13－2i，∴Error! 解得Error!∴ z1＝5－9i， z2＝－8－7i.9．设 z＝3－4i，则复数 z－| z|＋(1－i)在复平面内的对应点在第________象限．考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法与点的对应答案 三解析 因为 z＝3－4i，所以| z|＝5，所以 z－| z|＋(1－i)＝3－4i－5＋(1－i)＝－1－5i.复数 z＝－1－5i 在复平面内的对应点 Z(－1，－5)位于第三象限．10．已知| z|＝4，且 z＋2i 是实数，则复数 z＝________.考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的综合应用答案 ±2 －2i3解析 因为 z＋2i 是实数，可设 z＝ a－2i( a∈R)，由| z|＝4 得 a2＋4＝16，所以 a2＝12，所以 a＝±2 ，3所以 z＝±2 －2i.311.如图所示，在复平面内的四个点 O， A， B， C 恰好构成平行四边形，其中 O 为原点，A， B， C 所对应的复数分别是 zA＝4＋ ai， zB＝6＋8i， zC＝ a＋ bi(a， b∈R)，则zA－ zC＝________.10考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法与向量的对应答案 2－4i解析 因为 ＋ ＝ ，OA→ OC→ OB→ 所以 4＋ ai＋( a＋ bi)＝6＋8i.因为 a， b∈R，所以Error! 所以Error!所以 zA＝4＋2i， zC＝2＋6i，所以 zA－ zC＝(4＋2i)－(2＋6i)＝2－4i.三、解答题12．设 m∈R，复数 z1＝ ＋( m－15)i， z2＝－2＋ m(m－3)i，若 z1＋ z2是虚数，求 m 的m2＋ mm＋ 2取值范围．考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的运算法则解 因为 z1＝ ＋( m－15)i，m2＋ mm＋ 2z2＝－2＋ m(m－3)i，所以 z1＋ z2＝ ＋[( m－15)＋ m(m－3)]i(m2＋ mm＋ 2－ 2)＝ ＋( m2－2 m－15)i.m2－ m－ 4m＋ 2因为 z1＋ z2是虚数，所以 m2－2 m－15≠0 且 m≠－2，所以 m≠5 且 m≠－3 且 m≠－2，所以 m 的取值范围是(－∞，－3)∪(－3，－2)∪(－2,5)∪(5，＋∞)．13．(1)若 f(z)＝ z＋1－i， z1＝3＋4i， z2＝－2＋i，求 f(z1－ z2)；(2)若 z1＝2cos θ －i， z2＝－ ＋2isin θ (0≤ θ ≤2π)，且 z1＋ z2在复平面内对应的点2位于第二象限，求 θ 的取值范围．考点 复数加减法的几何意义及应用题点 与加减法几何意义有关的综合应用解 (1) z1－ z2＝(3＋4i)－(－2＋i)＝5＋3i，11f(z1－ z2)＝ f(5＋3i)＝(5＋3i)＋1－i＝6＋2i.(2)z1＋ z2＝(2cos θ － )＋(2sin θ －1)i，2由题意得Error!即Error!又 θ ∈[0,2π]，所以 θ ∈ .(π 4， 5π6)四、探究与拓展14．复数 z1＝1＋icos θ ， z2＝sin θ －i，则| z1－ z2|的最大值为( )A．3－2 B. －12 2C．3＋2 D. ＋12 2考点 复数加减法的几何意义及应用题点 与加减法几何意义有关的模的问题答案 D解析 | z1－ z2|＝|(1－sin θ )＋(cos θ ＋1)i|＝ 1－ sin θ 2＋ 1＋ cos θ 2＝ 3＋ 2cos θ － sin θ ＝ .3＋ 22cos(θ ＋ π 4)∵ max＝1，|cos(θ ＋π 4)|∴| z1－ z2|max＝ ＝ ＋1.3＋ 22 215．已知复平面内平行四边形 ABCD， A 点对应的复数为 2＋i，向量 对应的复数为 1＋2i，BA→ 向量 对应的复数为 3－i，求：BC→ (1)点 C， D 对应的复数；(2)平行四边形 ABCD 的面积．考点 复数加减法的几何意义及应用题点 与加减法几何意义有关的综合应用解 (1)因为向量 对应的复数为 1＋2i，向量 对应的复数为 3－i，BA→ BC→ 所以向量 对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.AC→ 又 ＝ ＋ ，OC→ OA→ AC→ 所以点 C 对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i. 因为 ＝ ，AD→ BC→ 12所以向量 对应的复数为 3－i，AD→ 即 ＝(3，－1)．AD→ 设 D(x， y)，则 ＝( x－2， y－1)＝(3，－1)，AD→ 所以Error! 解得Error!所以点 D 对应的复数为 5.(2)因为 · ＝| || |cos B，BA→ BC→ BA→ BC→ 所以 cos B＝ ＝ ＝ .BA→ ·BC→ |BA→ ||BC→ | 3－ 25×10 210所以 sin B＝ .7210所以 S＝| || |sin B＝ × × ＝7，BA→ BC→ 5 10 7210所以平行四边形 ABCD 的面积为 7.13.2.2 复数代数形式的乘除运算学习目标 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3.理解共轭复数的概念．知识点一 复数的乘法及其运算律思考 怎样进行复数的乘法运算？答案 两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的 i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．梳理 (1)复数的乘法法则设 z1＝ a＋ bi， z2＝ c＋ di 是任意两个复数，那么它们的积(a＋ bi)(c＋ di)＝( ac－ bd)＋( ad＋ bc)i.(2)复数乘法的运算律对于任意 z1， z2， z3∈C，有交换律 z1z2＝ z2z1结合律 (z1z2)z3＝ z1(z2z3)乘法对加法的分配律 z1(z2＋ z3)＝ z1z2＋ z1z3知识点二 共轭复数当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数， z 的共轭复数用 表示．即 z＝ a＋ bi，则 ＝ a－ bi.z z知识点三 复数的除法法则2思考 类比根式除法的分母有理化，比如 ＝ ，你能写出复数的除法法则1＋ 33－ 2 1＋ 33＋ 23－ 23＋ 2吗？答案 设 z1＝ a＋ bi， z2＝ c＋ di(c＋ di≠0)，则 ＝ ＝ ＋ i.z1z2 a＋ bic＋ di ac＋ bdc2＋ d2 bc－ adc2＋ d21．复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，再加减．( √ )2．两个共轭复数的和与积是实数．( √ )3．若 z1， z2∈C，且 z ＋ z ＝0，则 z1＝ z2＝0.( × )21 2类型一 复数代数形式的乘除运算例 1 计算：(1) (1＋i) ；(－12＋ 32i)(32＋ 12i)(2) ；1＋ 2i2＋ 31－ i2＋ i(3) .1－ 4i1＋ i＋ 2＋ 4i3＋ 4i考点 复数的乘除法运算法则题点 乘除法的运算法则解 (1) (1＋i)(－12＋ 32i)(32＋ 12i)＝ (1＋i)[(－34－ 34)＋ (34－ 14)i]＝ (1＋i)(－32＋ 12i)＝ ＋ i(－32－ 12) (12－ 32)＝－ ＋ i.1＋ 32 1－ 32(2) ＝1＋ 2i2＋ 31－ i2＋ i － 3＋ 4i＋ 3－ 3i2＋ i＝ ＝ ＝ ＋ i.i2＋ i i2－ i5 15 253(3) ＝1－ 4i1＋ i＋ 2＋ 4i3＋ 4i 5－ 3i＋ 2＋ 4i3＋ 4i＝ ＝7＋ i3＋ 4i 7＋ i3－ 4i3＋ 4i3－ 4i＝ ＝ ＝1－i.21－ 28i＋ 3i＋ 425 25－ 25i25反思与感悟 (1)按照复数的乘法法则，三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一致，在计算时，若符合乘法公式，则可直接运用公式计算．(2)根据复数的除法法则，通过分子、分母都乘以分母的共轭复数，使“分母实数化” ，这个过程与“分母有理化”类似．跟踪训练 1 计算：(1)(4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i)；(2) ＋ ；3＋ 2i2－ 3i 3－ 2i2＋ 3i(3) .i－ 2i－ 11＋ ii－ 1＋ i考点 复数的乘除法运算法则题点 乘除法的运算法则解 (1)(4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i)＝(24＋8i－6i＋2)－(28＋21i－4i＋3)＝(26＋2i)－(31＋17i)＝－5－15i.(2) ＋3＋ 2i2－ 3i 3－ 2i2＋ 3i＝ ＋ ＝i－i＝0.i2－ 3i2－ 3i － i2＋ 3i2＋ 3i(3) ＝i－ 2i－ 11＋ ii－ 1＋ i i2－ i－ 2i＋ 2i－ 1＋ i2－ i＋ i＝ ＝1－ 3i－ 2＋ i 1－ 3i－ 2－ i－ 2＋ i－ 2－ i＝ ＝ ＝－1＋i.－ 2－ i＋ 6i＋ 3i25 － 5＋ 5i5类型二 i 的运算性质例 2 计算：(1) ＋ 2 016；2＋ 2i1－ i2 ( 21＋ i)(2)i＋i 2＋…＋i 2 017.4考点 虚数单位 i 及其性质题点 虚数单位 i 的运算性质解 (1)原式＝ ＋ 1 00821＋ i－ 2i (22i)＝i(1＋i)＋(－i) 1 008＝i＋i 2＋(－1) 1 008·i1 008＝i－1＋i 4×252＝i－1＋1＝i.(2)方法一 原式＝ ＝i1－ i2 0171－ i i－ i2 0181－ i＝ ＝i－ i4504·i21－ i i＋ 11－ i＝ ＝ ＝i.1＋ i1＋ i1－ i1＋ i 2i2方法二 因为 in＋i n＋1 ＋i n＋2 ＋i n＋3 ＝i n(1＋i＋i 2＋i 3)＝0( n∈N *)，所以原式＝(i＋i 2＋i 3＋i 4)＋(i 5＋i 6＋i 7＋i 8)＋…＋(i 2 013＋i 2 014＋i 2 015＋i 2 016)＋i 2 017＝i 2 017＝(i 4)504·i＝1 504·i＝i.反思与感悟 (1)等差、等比数列的求和公式在复数集 C 中仍适用，i 的周期性要记熟，即in＋i n＋1 ＋i n＋2 ＋i n＋3 ＝0( n∈N *)．(2)记住以下结果，可提高运算速度①(1＋i) 2＝2i，(1－i) 2＝－2i；② ＝－i， ＝i；1－ i1＋ i 1＋ i1－ i③ ＝－i.1i跟踪训练 2 (1) 2 017＝________.(1＋ i1－ i)考点 虚数单位 i 及其性质题点 虚数单位 i 的运算性质答案 i解析 2 017＝ 2 017＝ 2 017(1＋ i1－ i) [1＋ i1＋ i1－ i1＋ i] (2i2)＝i 2 017＝(i 4)504·i＝1 504·i＝i.(2)化简 i＋2i 2＋3i 3＋…＋100i 100.考点 虚数单位 i 及其性质5题点 虚数单位 i 的运算性质解 设 S＝i＋2i 2＋3i 3＋…＋100i 100，①所以 iS＝i 2＋2i 3＋…＋99i 100＋100i 101，②①－②得(1－i) S＝i＋i 2＋i 3＋…＋i 100－100i 101＝ －100i 101＝0－100i＝－100i.i1－ i1001－ i所以 S＝ ＝ ＝－ 100i1－ i － 100i1＋ i1－ i1＋ i － 100－ 1＋ i2＝50－50i.所以 i＋2i 2＋3i 3＋…＋100i 100＝50－50i.类型三 共轭复数及其应用例 3 把复数 z 的共轭复数记作 ，已知(1＋2i) ＝4＋3i，求 z.z z考点 共轭复数的定义与应用题点 利用定义求共轭复数解 设 z＝ a＋ bi(a， b∈R)，则 ＝ a－ bi，z由已知得(1＋2i)( a－ bi)＝( a＋2 b)＋(2 a－ b)i＝4＋3i，由复数相等的定义知，Error!得 a＝2， b＝1，所以 z＝2＋i.引申探究 例 3 条件改为 (z＋2)＝4＋3i，求 z.z解 设 z＝ x＋ yi(x， y∈R)．则 ＝ x－ yi，z由题意知，( x－ yi)(x＋ yi＋2)＝4＋3i.得Error!解得Error! 或Error!所以 z＝ － i 或 z＝ － i.(－ 1－112) 32 (－ 1＋ 112) 32反思与感悟 当已知条件出现复数等式时，常设出复数的代数形式，利用复数相等的充要条件转化为实数问题求解．跟踪训练 3 已知复数 z 满足| z|＝1，且(3＋4i) z 是纯虚数，求 z 的共轭复数 .z考点 共轭复数的定义与应用题点 利用定义求共轭复数解 设 z＝ a＋ bi(a， b∈R)，则| z|＝ ＝1，a2＋ b2即 a2＋ b2＝1.①6因为(3＋4i) z＝(3＋4i)( a＋ bi)＝(3 a－4 b)＋(3 b＋4 a)i 是纯虚数，所以 3a－4 b＝0，且3b＋4 a≠0.②由①②联立，解得Error!或Error!所以 ＝ － i 或 ＝－ ＋ i.z45 35 z 45 351．设复数 z 满足 iz＝1，其中 i 为虚数单位，则 z 等于( )A．－i B．iC．－1 D．1考点 复数的乘除法运算法则题点 利用乘除法求复数中的未知数答案 A解析 z＝ ＝－i.1i2．若 z＝4＋3i(i 为虚数单位)，则 等于( )z|z|A．1 B．－1C. ＋ i D. － i45 35 45 35考点 复数的乘除法运算法则题点 乘除法的运算法则答案 D解析 z＝4＋3i，| z|＝5， ＝ － i.z|z| 45 353．已知 ＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数 z 等于( )1－ i2zA．1＋i B．1－iC．－1＋i D．－1－i考点 复数四则运算的综合应用题点 复数的混合运算答案 D解析 因为 ＝1＋i，1－ i2z7所以 z＝ ＝ ＝ ＝－1－i.1－ i21＋ i － 2i1＋ i － 2i1－ i24．设 i 是虚数单位， 是复数 z 的共轭复数，若 z＝ ，则 ＝________.z2i31＋ i z考点 共轭复数的定义与应用题点 利用定义求共轭复数答案 －1＋i解析 z＝ ＝ ＝－1－i，2i31＋ i － 2i1－ i1＋ i1－ i所以 ＝－1＋i.z5．已知复数 z 满足： z· ＋2 zi＝8＋6i，求复数 z 的实部与虚部的和．z考点 共轭复数的定义与应用题点 与共轭复数有关系的综合问题解 设 z＝ a＋ bi(a， b∈R)，则 z· ＝ a2＋ b2，z∴ a2＋ b2＋2i( a＋ bi)＝8＋6i，即 a2＋ b2－2 b＋2 ai＝8＋6i，∴Error! 解得Error!∴ a＋ b＝4，∴复数 z 的实部与虚部的和是 4.1．复数代数形式的乘除运算(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化．2．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题．3．复数问题实数化思想．复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数 z＝ a＋ bi(a， b∈R)，利用复数相等的充要条件转化.一、选择题81．i 为虚数单位， ＋ ＋ ＋ 等于( )1i 1i3 1i5 1i7A．0 B．2iC．－2i D．4i考点 虚数单位 i 及其性质题点 虚数单位 i 的运算性质答案 A解析 ＝－i， ＝i， ＝－i， ＝i，1i 1i3 1i5 1i7∴ ＋ ＋ ＋ ＝0.1i 1i3 1i5 1i72．复数(1＋i) 2(2＋3i)的值为( )A．6－4i B．－6－4iC．6＋4i D．－6＋4i考点 复数的乘除法运算法则题点 乘除法的运算法则答案 D解析 (1＋i) 2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i.3．已知复数 z 满足( z－1)i＝1＋i，则 z 等于( )A．－2－i B．－2＋iC．2－i D．2＋i考点 复数的乘除法运算法则题点 利用乘除法求复数中的未知数答案 C解析 由( z－1)i＝1＋i，两边同乘以－i，则有 z－1＝1－i，所以 z＝2－i.4．已知复数 z1＝3－ bi， z2＝1－2i，若 是实数，则实数 b 等于( )z1z2A．6 B．－6C．0 D.16考点 复数的乘除法运算法则题点 利用乘除法求复数中的未知数答案 A解析 ∵ ＝ ＝z1z2 3－ bi1－ 2i 3－ bi1＋ 2i1－ 2i1＋ 2i9＝ 是实数，3＋ 2b＋ 6－ bi5∴6－ b＝0，∴实数 b 的值为 6，故选 A.105．已知 i 为虚数单位，图中复平面内的点 A 表示复数 z，则表示复数 的点是( )z1＋ iA． M B． NC． P D． Q考点 复数的乘除法运算法则题点 运算结果与点的对应关系答案 D解析 由图可知 z＝3＋i，所以复数 ＝ ＝ ＝ ＝2－i 表示的点是 Q(2，－1)．故选 D.z1＋ i 3＋ i1＋ i 3＋ i1－ i1＋ i1－ i 4－ 2i26．设复数 z 满足 ＝i，则| z|等于( )1＋ z1－ zA．1 B. 2C. D．23考点 复数的乘除法运算法则题点 利用乘除法求复数中的未知数答案 A解析 由 ＝i，1＋ z1－ z得 z＝ ＝ ＝ ＝i，－ 1＋ i1＋ i － 1＋ i1－ i2 2i2|z|＝|i|＝1.7．若 z＋ ＝6， z· ＝10，则 z 等于( )z zA．1±3i B．3±iC．3＋i D．3－i考点 共轭复数的定义与应用题点 与共轭复数有关的综合问题答案 B解析 设 z＝ a＋ bi(a， b∈R)，则 ＝ a－ bi，z所以Error! 解得Error! 则 z＝3±i.118．计算 ＋ 的值是( )－ 1＋ 3i31＋ i6 － 2＋ i1＋ 2iA．0 B．1C．2i D．i考点 复数四则运算的综合应用题点 复数的混合运算答案 C解析 原式＝ ＋－ 1＋ 3i3[1＋ i2]3 － 2＋ i1－ 2i1＋ 2i1－ 2i＝ ＋－ 1＋ 3i32i3 － 2＋ 4i＋ i＋ 25＝ ＋i＝ ＋i(－ 12＋ 32i)3－ i 1－ i＝ ＋i＝2i.i－ ii二、填空题9．已知 a， b∈R，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－ bi)＝ a，则 的值为________．ab考点 复数的乘除法运算法则题点 利用乘除法求复数中的未知数答案 2解析 因为(1＋i)(1－ bi)＝1＋ b＋(1－ b)i＝ a，又 a， b∈R，所以 1＋ b＝ a 且 1－ b＝0，得 a＝2， b＝1，所以 ＝2.ab10．若复数 z 满足(3－4i) z＝4＋3i(i 是虚数单位)，则| z|＝________.考点 复数的乘除法运算法则题点 利用乘除法求复数中的未知数答案 1解析 因为(3－4i) z＝4＋3i，所以 z＝ ＝ ＝ ＝i.4＋ 3i3－ 4i 4＋ 3i3＋ 4i3－ 4i3＋ 4i 25i25则| z|＝1.11．定义一种运算： ＝ ad－ bc.则复数[a bc d] [1＋ i － 12 3i]12的共轭复数是________．考点 共轭复数的定义与应用题点 利用定义求共轭复数答案 －1－3i解析 ＝3i(1＋i)＋2＝－1＋3i，[1＋ i － 12 3i]∴其共轭复数为－1－3i.三、解答题12．已知 z， ω 为复数，(1＋3i) z 为纯虚数， ω ＝ ，且| ω |＝5 ，求 ω .z2＋ i 2考点 复数的乘除法运算法则题点 乘除法的综合应用解 设 z＝ a＋ bi(a， b∈R)，则(1＋3i) z＝ a－3 b＋(3 a＋ b)i.由题意得 a－3 b＝0,3 a≠－ b.因为| ω |＝ ＝5 ，|z2＋ i| 2所以| z|＝ ＝5 ，a2＋ b2 10将 a＝3 b 代入，解得 a＝15， b＝5 或 a＝－15， b＝－5，故 ω ＝± ＝±(7－i)．15＋ 5i2＋ i13．已知复数 z＝1＋i.(1)设 ω ＝ z2＋3 －4，求 ω ；z(2)若 ＝1－i，求实数 a， b 的值．z2＋ az＋ bz2－ z＋ 1考点 复数四则运算的综合应用题点 与混合运算有关的未知数求解解 (1)因为 z＝1＋i，所以 ω ＝ z2＋3 －4＝(1＋i) 2＋3(1－i)－4＝－1－i.z(2)因为 z＝1＋i，所以 ＝ ＝1－i，z2＋ az＋ bz2－ z＋ 1 1＋ i2＋ a1＋ i＋ b1＋ i2－ 1＋ i＋ 1即 ＝1－i，a＋ b＋ a＋ 2ii所以( a＋ b)＋( a＋2)i＝(1－i)i＝1＋i，所以Error! 解得Error!13四、探究与拓展14．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为 m 和 n，则复数( m＋ ni)(n－ mi)为实数的概率为________．考点 复数的乘除法运算法则题点 乘除法的综合应用答案 16解析 易知( m＋ ni)(n－ mi)＝ mn－ m2i＋ n2i＋ mn＝2 mn＋( n2－ m2)i.若复数( m＋ ni)(n－ mi)为实数，则 m2＝ n2，即( m， n)共有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，6 种情况，所以所求概率为 ＝ .636 1615．设 z 是虚数， ω ＝ z＋ 是实数，且－1 ω 2.1z(1)求| z|的值及 z 的实部的取值范围；(2)设 μ ＝ ，求证： μ 为纯虚数．1－ z1＋ z考点 复数四则运算的综合应用题点 与四则运算有关的问题(1)解 因为 z 是虚数，所以可设 z＝ x＋ yi(x， y∈R，且 y≠0)，则 ω ＝ z＋ ＝( x＋ yi)＋ ＝ x＋ yi＋ ＝ ＋ i.1z 1x＋ yi x－ yix2＋ y2 (x＋ xx2＋ y2) (y－ yx2＋ y2)因为 ω 是实数，且 y≠0，所以 y－ ＝0，yx2＋ y2即 x2＋ y2＝1.所以| z|＝1，此时 ω ＝2 x.又－1 ω 2，所以－12 x2.所以－ x1，12即 z 的实部的取值范围是 .(－12， 1)(2)证明 μ ＝ ＝1－ z1＋ z 1－ x＋ yi1＋ x＋ yi＝1－ x－ yi1＋ x－ yi1＋ x2＋ y214＝ .1－ x2－ y2－ 2yi1＋ 2x＋ x2＋ y2又 x2＋ y2＝1，所以 μ ＝－ i.y1＋ x因为 y≠0，所以 μ 为纯虚数．