1、1第 20 讲 平行四边形与多边形重难点 1 与平行四边形性质有关的计算在ABCD 中，AD10，AB7.(1)如图 1，BCD 的平分线 CE 交 AD 于点 E，则 AE3；(2)在(1)的条件下，若CED65，则A130；图 1 图 2 图 3(3)在(1)的条件下，延长 CE 交 BA 的延长线于点 F，如图 2 所示，则 AEAF 的值等于 6；(4)如图 3，若 BF 平分ABC 交 AD 于点 F，CE 平分BCD 交 AD 于点 E，则 EF 的长为 4【拓展问题】 问题(4)中，CE 与 BF 的位置关系是垂直方 法 指 导利用平行四边形的性质进行相关计算，一般运用平行四边形
2、性质转化角度或线段之间的等量关系：(1)对边平行可得相等的角，进而得到相似三角形；(2)对边相等、对角线互相平分可得相等的线段；(3)当有角平分线的条件时，可利用“平行角平分线等腰三角形”的结论得到等角、等边如：例 1，图1 中CED，图 2 中BCF，CED 均是等腰三角形(4)当有一条线段过对角线的交点和一边的中点时，可利用三角形中位线的性质进行计算如：例 2 中 OE是BCD 或ACD 的中位线当有一条线段过对角线的交点且与其中的一条对角线垂直时，得到线段的垂直平分线、等腰三角形，进而可以用线段垂直平分线、等腰三角形的性质进行计算如：例 2 中拓展问题 2，OF 是线段 AC 的垂直平分
3、线，AFC 是等腰三角形平行四边形中常涉及整体思想，如ABCD，已知 ABBC 的长，则 CABCD2(ABBC)提 示【变式训练 1】 如图，四边形 ABCD 是平行四边形，P 是 CD 上的一点，且 AP 和 BP 分别平分DAB 和CBA，且AD5 cm，AP8 cm，则APB90，DC10 cm，APB 的周长是 24cm.【变式训练 2】 在ABCD 中，AE 平分BAD 交边 BC 于点 E，DF 平分ADC 交边 BC 于点 F.若 AD11，EF5，则AB8 或 3如图 1，ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，E 是 CD 的中点，且 DEEO4，则ABCD 的周长为
4、( B)A20 B. 16 C. 12 D8图 1 图 2【拓展问题 1】 如图 1，若ABC60，BAC80，则1 的度数为 40【拓展问题 2】 如图 2，OFAC，交 AD 于点 F，连接 CF.若CDF 的周长是 8，则ABCD 的周 长是 16重难点 2 平行四边形的 性质与判定的综合如图 1，点 E，F 是ABCD 对角线 AC 上的两点，AECF.2图 1 图 2 图 3(1)求证：DFBE；如图 2，连接 DE，BF，求证 ：四边形 DFBE 是平行四边形(请至少用两种判定方法证明)(2)如图 3，若 BEAC，DFAC，延长 BE，DF 分别交 CD，AB 于点 N，M.求证
5、：四边形 DMBN 是平行四边形；已知 CE4，FM3，求 AM 的长【自主解答】 解：(1)证明：四边形 ABCD 是平行四边形，ADCB，ADBC.DAFBCE.AECF，AEEFCFEF，即 AFCE.ADFCBE.DFBE.解法 1：已证ADFCBE，AFDCEB.DFCBEA.DFBE.又DFBE，四边形 DFBE 是平行四边形解法 2：同(1)中的方法可证CDEABF.DEBF.又DFBE，四边形 DFBE 是平行四边形解法 3：连接 BD 交 AC 于点 O.四边形 ABCD 是平行四边形DOOB，AOOC.又AECF，AEAOCFOC，即 OEOF.四边形 DFBE 是平行四边
6、形(2)证明BEAC，DFAC，BEDF.四边形 ABCD 是平行四边形，DCAB.四边形 DMBN 是平行四边形四边形 DMBN 是平行四边形，DNBM.四边形 ABCD 是平行四边形，DCAB.CNAM.ABCD，DCABAC.又BEAC，DFAC，CENAFM90.AFMCEN.AFCE4.3在 RtAFM 中，AM 5.AF2 FM2判定平行四边形的基本思路：方 法 指 导(1)若已知一组对边平行，可以证这一组对边相等或另一组对边平行；(2)若已知一组对边相等，可以证这一组对边平行或另一组对边相等；(3)若已知一组对角相等，可以证另一组对角相等；(4)若已知条件与对角线有关，可以证明对
7、角线互相平分【变式训练 3】 (2018永州)如图，在ABC 中，ACB90，CAB30，以线段 AB 为边向外作等边ABD，点 E 是线段 AB 的中点，连接 CE 并延长交线段 AD 于点 F.(1)求证：四边形 BCFD 为平行四边形；(2)若 AB6，求平行四边形 BCFD 的面积解：(1)证明：在ABC 中，ACB90，CAB30，ABC60.在等边ABD 中，BAD60，BADABC60.BCAD.在ABC 中，ACB90，E 为 AB 的中点，CEAEBE.EACECA30.BECEACECA60.又ABD60，CFBD.四边形 BCFD 是平行四边形(2)在 RtABC 中，B
8、AC30，AB6，BC AB3，AC BC3 .12 3 3S BCFD33 9 .3 3考点 1 多边形1(2018福建)一个 n 边形的内角和为 360，则 n 等于( B)A3 B4 C5 D62(2018菏泽)若正多边形的每一个内角为 135，则这个正多边形的边数是 83.(2018宿迁)一个多边形的内角和是其外角和的 3 倍，则这个多边形的边数是 8. 4(2018山西)图 1 是古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消融，形状无一定规则，代表一种自然和谐美，图 2 是从图 1 冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则123453604图 1 图 25(2
9、018陕西)如图，在正五边形 ABCDE 中，AC 与 BE 相交于点 F，则AFE 的度数为 726.(2018聊城)如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是 360或 540考点 2 平行四边形的性质7(2017眉山) 如图，EF 过ABCD 对角线的交点 O，交 AD 于点 E，交 BC 于点 F.若ABCD 的周长为18，OE1.5，则四边形 EFCD 的周长为( C)A14 B13 C12 D108(2018台州)如图，在ABCD 中，AB2，BC3.以点 C 为圆心，适当长为半径画弧，交 BC 于点 P，交 CD 于点Q，再分别以点 P，Q 为圆心，大
10、于 PQ 的长为半径画弧，两弧相交于点 N，射线 CN 交 BA 的延长线于点 E，则 AE12的长是( B)A. B1 C. D. 12 65 329(2018 兰州)如图，将ABCD 的对角线 BD 折叠，使点 A 落在点 E 处，交 BC 于点 F.若ABD48，CFD40，则E 为( B)A102 B112 C122 D9210如图，在ABCD 中，BEAB 交对角线 AC 于点 E.若120，则2 的度数是 110511(2018临沂)如图，在ABCD 中，AB10，AD6，ACBC，则 BD4 . 1312.(2018大连)如图，ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E
11、，F 在 AC 上，且 AFCE.求证：BEDF.证明：四边形 ABCD 是平行四边形，OAOC，ODOB，AFCE，OEOF.在BEO 和DFO 中，OB OD， BOE DOF，OE OF， )BEODFO( SAS)BEDF.13(2018曲靖)如图，在ABCD 的边 AB，CD 上截取 AF，CE，使得 AFCE，连接 EF，点 M，N 是线段 EF 上两点，且 EMFN，连接 AN，CM.(1)求证：AFNCEM；(2)若CMF107，CEM72，求NAF 的度数解：(1)证明：四边形 ABCD 是平行四边形，CDAB.AFNCEM.FNEM，AFCE，AFNCEM( SAS)(2)
12、AFNCEM，NAFECM.CMFCEMECM，610772ECM.ECM35.NAF35.考点 3 平行四边形的判定14(2018呼和浩特)顺次连接平面上 A，B，C，D 四点得到一个四边形，从ABCD；DCAD；AC；BD.四个条件中任取两个，可以得出“四边形 ABCD 是平行四 边形”这一结论的情况共有( C)A5 种 B4 种 C3 种 D1 种15(2018岳阳)如图，在ABCD 中，AECF，求证：四边形 BFDE 是平行四边形证明：四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD，且 ABCD.又A ECF，BEDF.BEDF 且 BEDF.四边形 BFDE 是平行四边形16 (2018
13、济宁)如图，在五边形 ABCDE 中，ABE300，DP，CP 分别 平分EDC 和BCD，则P 的度数是( C)A50 B55 C60 D6517(2018通辽)如图，ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，DE 平分ADC 交 AB 于点 E，BCD60，AD AB，连接 OE.下列结论：S ABCDADBD；DB 平分CDE；AODE；S ADE 5S OFE .其中正确的个数有12(B)A1 个 B2 个 C3 个 D4 个18(2018哈尔滨)如图，在ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，ABOB，点 E，点 F 分别是 OA，OD 的中点，连接 EF，CEF45，E
14、MBC 于点 M，EM 交 BD 于点 N，FN ，则该线段 BC 的长为 4 10 2719(2018兰州)如图，在ABC 中，过点 C 作 CDAB，E 是 AC 的中点，连接 DE 并延长交 AB 于点 F，交 CB 的延长线于点 G，连接 AD，CF.(1)求证：四边形 AFCD 是平行四边形；(2)若 GB3，BC6，BF ，求 AB 的长32解：(1)证明：CDAB，DCAFAC.又E 是 AC 的中点，AEEC.在CDE 和AFE 中， DCE FAE，EC EA， AEF CED， )CDEAFE( ASA)CDAF.又 CDAB，四边形 AFCD 是平行四边形(2)ABCD， ，即 .解得 DC .GBGC FBDC 33 6 32DC 92ABAFBFCDBF 6.92 32
