1、前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。 ）2009-2010 年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题 5 分）1计算 16/15，其中区域 由直线 与两坐标yxyxDd1)ln()( D1yx轴所围成三角形区域.解: 令 ，则 ， ，vxuy, vuy, vuyxd10detvuyxDD1lnld1)ln()(10200d1)ln(l )ll(uu（*）102d令 ，则ut12t， ， ，dt242)1()(2ttu0142d(*)1042d)(tt 156320t2设 是
2、连续函数，且满足 , 则 _.)(xf 02d)(xfxf )(xf解: 令 ，则 ，20d)(xfA)A,A24283解得 。因此 。4310)(xf3曲面 平行平面 的切平面方程是_.22yxz2zy解: 因平面 的法向量为 ，而曲面 在0x)1,2(22yxz处的法向量为 ，故),(0yx),(0yxzzx与 平行，因此，由 ， 知1),(,0yzz2xy，000,2x即 ，又 ，于是曲面 在, 5)(z 02z处的切平面方程是 ，即曲面 )(00yz )5(1yx平行平面22x的切平面方程是 。z 02z4设函数 由方程 确定，其中 具有二阶导数，且 ，则)(y9ln)(yfef 1f
3、_.2dx解: 方程 的两边对 求导，得2l)(yfex29ln)(yexfy 因 ，故 ，即 ，因此)(29lnfye1)(1yf222 )()(dfxyyfxyx 322232 )(111)( yfxff 二、 （5 分）求极限 ，其中 是给定的正整数.xenxxe)(lim0解 :因 xenxxenxx ee )1(li)(li 2020 故 nxeexAxnx 20limenenxx 2121li2 因此 enAxenxxe2120)(li 三、 （15 分）设函数 连续， ，且 ， 为常数，求(f10d)(txfgAxf)(lim0并讨论 在 处的连续性.)(g)0x解 : 由 和函
4、数 连续知，Afx(lim0)(f 0)(li)(li)(00xfffxx因 ，故 ，1d)(tf d01tg因此，当 时， ，故xxuf0)( 0)(1limdli)(lim000 ffxfgxxx当 时，fufx)(d)(1)(02 2000 d)(lid1lili)( xtfxtfxggxx 2)(lim0Axf1)()(mli 002 ufffufx 这表明 在 处连续.)(四、 （15 分）已知平面区域 ， 为 的正向边界，试,|),(yxyDLD证：（1） ；LxyLxy eex ddsinsinsinsin（2） .2sinsin5yy证 :因被积函数的偏导数连续在 上连续，故由
5、格林公式知D（1） yxeyxeyexDLx d)()(dsinsinsinsin xydsisiLxyexdsinsin yxeyDd)()(sinsinxeydsisi而 关于 和 是对称的，即知xDxy)(sinsi yxeDyd)(sinsi因此 LxyLxyedsinsinsinsin（2）因 )1(2)!421(ttett 故 2cos5cssinsinsi xxxxx 由 DxyLDxyyy yeee d)(d)(d sinsisinsisinsin知 DxyLDxyyy yxx )(21)(21sinsisinsisinsin xxDyy yeee ddd)(21 sisisi
6、sisisi 200sinsi 52co5xx即 sisi dLyye五、 （10 分）已知 ， ， 是某二阶常系数x21xexxey23线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.解 设 ， ， 是二阶常系数线性非齐xey21 xyxx23次微分方程 )(fcb的三个解，则 和 都是二阶常系数线性齐次微分方程xey212xey130cb的解，因此 的特征多项式是 ，而 的 0)1(20cyb特征多项式是 2c因此二阶常系数线性齐次微分方程为 ，由 和y)(211xfy，xxeey21 xxeey214知， 1)(f )( 2xxeex)二阶常系数线性非齐次微分方程为 xxey2六、 （10
7、分）设抛物线 过原点.当 时, ,又已知该抛物cbaln10x0y线与 轴及直线 所围图形的面积为 .试确定 ,使此图形绕 轴旋转一周而成的x131cba旋转体的体积最小.解 因抛物线 过原点，故 ，于是cbxayln221233dt)(311002 bax即 )(ab而此图形绕 轴旋转一周而成的旋转体的体积x1022102 dt)(3(dt)() xaxbV 1021034 dt)(94xaa227)(315a即 22 )(4)(1)(aaV令，0)1(278)(35)( a得 04904aa即054a因此, , .423b1c七、 （15 分）已知 满足 , 且 , 求函数)(xun )2
8、1()(nexunn neu)1(项级数 之和.1n解 ，xnnneux1)(即 xy由一阶线性非齐次微分方程公式知 )d(1Cenx即 )(ynx因此 )()nCexun由 知， ，10于是 nexun)(下面求级数的和：令 11)()(nxneuxS则 xeSexSxenn 1)()() 11即 xSx)(由一阶线性非齐次微分方程公式知)d1()xCexS令 ，得 ，因此级数 的和01)(nxu)ln()(xexSx八、 （10 分）求 时, 与 等价的无穷大量.102n解 令 ，则因当 ， 时， ，故2)(txf 1x(0,)t2()ln0tfx在 上严格单调减。因此ttef1ln2)(
9、,)10 1000d(d()()d()dn nnftftfftft 即，0 00()()1()nftfft又，200()nnfx1lim1lixx，21lnd1lndd)( 001ln00 222 xtextettf xt 所以，当 时, 与 等价的无穷大量是 。1x02nx22010-2012 年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。 ）一、 （25 分，每小题 5 分）（1）设 其中 求22(1)(1),nnxaa |1,lim.nx（2）求 。2limxxe（3）设 ，求 。0s0(
10、1,2)sxnIed（4）设函数 有二阶连续导数， ，求 。()ft 21,()rxygfr2gxy（5）求直线 与直线 的距离。10:xylz213:4zl解：（1） =()(1)nnaa 22()()(1)/(nxaa= = =22()/na 12/n1limli()(/()nnx(2) 22211ln()ln()liimixxexxxee令 x=1/t,则原式= 21(ln1)1/()2()22000ililit t tt t teee（3）0001121()()|!sxnnsxnsxsxnnsnnnIddedseIII二、 （15 分）设函数 在 上具有二阶导数，并且()fx,)且存在
11、一点 ，使得 。()0,lim0li(0,xxf f0x0()fx证明：方程 在 恰有两个实根。()f(,)解： 二阶导数为正，则一阶导数单增，f(x)先减后增，因为 f(x)有小于 0 的值，所以只需在两边找两大于 0 的值。将 f(x)二阶泰勒展开： 2()()()ffxfx因为二阶倒数大于 0，所以，lim()xfli()xf证明完成。三、 （15 分）设函数 由参数方程 所确定，其中 具有二阶()yf2(1)xty()t导数，曲线 与 在 出相切，求函数 。()yt213tued1t()t解：（这儿少了一个条件 ）由 与 在 出相切得2yx()yt213tued1t，3(1)2e()e
12、/dytxt=。 。 。2 3()2(/)(/)()dxyxdtt上式可以得到一个微分方程，求解即可。四、 （15 分）设 证明：10,nnkaSa（1）当 时，级数 收敛；1n（2）当 且 时，级数 发散。()ns1naS解：（1） 0, 单调递增nas当 收敛时， ，而 收敛，所以 收敛；1n1nas1nanas当 发散时，1nalimn11nnssnsdx所以， 11121nnssnaadxsx而 ，收敛于 k。111limnsndxs所以， 收敛。1nas（2） limns所以 发散，所以存在 ，使得1na1k12kna于是，1111222kknnnkss依此类推，可得存在 2.使得
13、成立，所以12iiknas1Nknas当 时， ，所以 发散1n五、 （15 分）设 是过原点、方向为 ， （其中 的直线，均匀椭球l(,)221)，其中（ 密度为 1）绕 旋转。221xyzabc0,cbal（1）求其转动惯量；（2）求其转动惯量关于方向 的最大值和最小值。(,)解：（1）椭球上一点 P(x,y,z)到直线的距离2222()(1)()2dxyzxyzx0yVzdxV22 22 31 4(1)15c cxyzabczzdabdabc 由轮换对称性， 232344,1515xdVydVabc22323234()()(1)5I abc2224115abcbc（2） abc当 时，1
14、2max4()5Ibc当 时，in六、(15 分)设函数 具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线 上，曲()x C线积分 的值为常数。42cyd:（1）设 为正向闭曲线 证明L2()1,xy42()0;cxyd:（2）求函数 ；()（3）设 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求 。C42()cxyd解：（1） L 不绕原点，在 L 上取两点 A，B，将 L 分为两段 ， ，再从 A，B 作一曲线 ，12L3L使之包围原点。则有 13 23424242()()()LLLxydxydxyd:（2） 令 4242(),PQxyxy由（1）知 ，代入可得042352()()4xyxxy上式将两
15、边看做 y 的多项式，整理得24325()()()由此可得 ()x435()2x解得：（3） 取 为 ，方向为顺时针L424xy0QP 4242424()()()1c cLLLxydyxdyxdy :2011-2012 年 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。 ）一 计算下列各题（本题共 3 小题，每小题各 5 分，共 15 分）（1）.求 ；1cos0inlmxx解：（用两个重要极限）： 2000321 sincos i1co0sincos1lmlilimsin 11331co20iil
16、lxxxxxxxxxeee （2）.求 ；li.nn解：(用欧拉公式）令11.2nxln=C+o2111n 由 欧 拉 公 式 得 （ ） ，则 （ ） ，其中， 表示 时的无穷小量，o-l2onx两 式 相 减 ， 得 ： （ ） ,limln2.nx（3）已知 ，求 。2ln1arctttxey2dyx解：2 22211,1tt t ttedxeeyet dx22 24ttteyedxdxtt:二 （本题 10 分）求方程 的通解。2410yxyd解：设 ，则,PxQPQ是一个全微分方程，设1y0dzPxdy,0241xyzdxdx该曲线积分与路径无关,Py22002414xyzdxdyx
17、y三 （本题 15 分）设函数 f(x)在 x=0 的某邻域内具有二阶连续导数，且均不为 0，证明：存在唯一一组实数 ，使得“,ff 123,k。1230lim0hkhkff证明：由极限的存在性： 1230li 0hffhkff 即 ，又 ， 123k123由洛比达法则得1230 0limhkffhkffh由极限的存在性得 1230li 0hkffkf 即 ，又 ， 123k0123k再次使用洛比达法则得 30“12“23lim49090hfkfkfhhkff1由得 是齐次线性方程组 的解123,k123049k设 ，则 ，123,0149kAxbAxb增广矩阵 ，则*310:,3RAb所以，
18、方程 有唯一解，即存在唯一一组实数 满足题意，x123,k且 。123,1kk四 （本题 17 分）设 ，其中 ，221:1xyzabc0abc， 为 与 的交线，求椭球面 在 上各点的切平面到原点2:z21距离的最大值和最小值。解：设 上任一点 ，令 ，,Mxyz22,xyzFyzabc则 椭球面 在 上点 M 处的法向量为： 222,xyzFabc1在点 M 处的切平面为 ：,tc12220xyzXYZabc原点到平面 的距离为 ，令2244dxyzab则 ，2244, ,zGxyzc1,Gxyz现在求 在条件 ，2244, ,xyab22abc下的条件极值，2zxy令 222222144
19、, 1zxyzHxyzabcabc则由拉格朗日乘数法得：， 124 12422200xyzxHaybzcxabyz解得 或 ，220xbcyz220acxzy对应此时的 或422,Gxc422,acGxyz此时的 或14bdc24acd又因为 ，则0a1所以，椭球面 在 上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值分别为： 1，224cda214bcd五 （本题 16 分）已知 S 是空间曲线 绕 y 轴旋转形成的椭球面的上半部2310xz分（ ）取上侧， 是 S 在 点处的切平面， 是原点到切0z,Py,xz平面 的距离， 表示 S 的正法向的方向余弦。计算：,（1） ；（2）,Szdxy3Sz
20、xyzdS解：（1）由题意得：椭球面 S 的方程为 2210令 则 ，2231,Fz,6,xyzFF切平面 的法向量为 ，n的方程为 ，0xXyYZ原点到切平面 的距离 222231,99xyzzxyz221,SSzIddSxy将一型曲面积分转化为二重积分得：记 :1,0xzDxz2 2221 003344sinxzD rdrIdd22200si3i3rr4122:(2)方法一： 2222223,999xyzyzxzxy222 133S SIdzdSI六 （本题 12 分）设 f(x)是在 内的可微函数，且 ，其,fxmf、中 ，任取实数 ，定义 证明：01m0a1ln,2,.fa绝对收敛。1
21、na证明： 112llnnff由拉格朗日中值定理得： 介于 之间，使得,a1212lnlnnffaf，又 得112nnfafmf、fm11120.nnnaaa1级数 收敛， 级数 收敛，即01n11n绝对收敛。a七 （本题 15 分）是否存在区间 上的连续可微函数 f(x)，满足,2，021ff？请说明理由。0,xxd、解：假设存在，当 时，由拉格朗日中值定理得：,介于 0，x 之间，使得 ，110,fffx同理，当 时，由拉格朗日中值定理得：,2介于 x，2 之间，使得 2fxff即 1 2,0;1,12fxfxfxfx，1、 ,;3,f f显然， 20,xfxd1 212010013fxdxdxd，又由题意得2fxd2,f即 ，201f,1xf1111limli,limlixxxxff 不存在，又因为 f(x)是在区间 上的连续可微函数，即 存在，矛f 0,2f盾，故，原假设不成立，所以，不存在满足题意的函数 f(x)。
