1、.1.4.2（1）正弦、余弦函数的性质(教学设计)教学目的：知识目标：要求学生能理解周期函数，周期函数的周期和最小正周期的定义；能力目标：掌握正、余弦函数的周期和最小正周期，并能求出正、余弦函数的最小正周期。 德育目标：让学生自己根据函数图像而导出周期性，领会从特殊推广到一般的数学思想，体会三角函数图像所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。 教学重点：正、余弦函数的周期性教学难点：正、余弦函数周期性的理解与应用授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学.教学过程：一、创设情境,导入新课：1现实生活中的“周而复始”现象：（1）今天是星期二，则过了七天是星期几？过了十四天呢？ （2）现在下午 2
2、 点 30，那么每过 24 小时候是几点？（3）路口的红绿灯（贯穿法律意识）2数学中是否存在“周而复始”现象，观察正（余）弦函数的图象总结规律正弦函数 性质如下：()sinfx（观察图象） 1正弦函数的图象是有规律不断重复出现的；222525 Oxy11.2规律是：每隔 2重复出现一次（或者说每隔 2k,kZ 重复出现）3这个规律由诱导公式 sin(2k+x)=sinx 可以说明结论：象这样一种函数叫做周期函数。文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得；符号语言：当 增加 （ ）时，总有 x2kZ(2)sin(2)sin()fxkxkxf也即：（1）当自变量 增加 时，正弦函数的值又重
3、复出现；（2）对于定义域内的任意 ， 恒成立。xsini余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。二、师生互动，新课讲解： 1周期函数定义：对于函数 f (x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有： f (x+T)=f (x)那么函数 f (x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。问题：（1）正 弦 函 数 ， 是 不 是 周 期 函 数 ， 如 果 是 ， 周 期 是 多 少 ？ （ ， 且sinyxR 2kZ）余弦函数呢？0k（2）观察等式 是否成立？如果成立，能不能说 是 y=sinx 的周4sin)2i(期？（3）若函数 的周期为
4、 ，则 ， 也是 的周期吗？为什么？ ()fxTk*Z()fx（是，其原因为： ）()(2)fxfxTkT2.最小正周期：T 往往是多值的（如 y=sinx 2,4,-2,-4,都是周期）周期 T 中最小的正数叫做 f (x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）y=sinx, y=cosx 的最小正周期为 2 （一般称为周期） 从图象上可以看出 ， ； ， 的最小正周期为 ；sinyRcosyxR23、例题讲解 例 1（课本 P35 例 2） 求下列三角函数的周期： （3） ， xycosxysin12sin()6yxR解：（1） ，3()co自变量 只要并且至少要增加到 ，函数 ， 的
5、值才能重复出现，3cosyx所以，函数 ， 的周期是 csyxR（2） ，sin(2)in2()sin2x自变量 只要并且至少要增加到 ，函数 ， 的值才能重复出现，x sin2R.所以，函数 ， 的周期是 sin2yxR（3） ，),621sin(6)4(21sin)61( xx自变量 只要并且至少要增加到 ，函数 ， 的值才能重复出现，sin2yxR所以，函数 ， 的周期是 )2sin(xy变式训练 1：求下列三角函数的周期：（1）y=sin3x （2）y=cos （3）y=3sin x4x(4) y=sin(x+ ) (5) y=cos(2x+ )10解：1 sin(3x+2)=sin3
6、x 又 sin(3x+2)=sin3(x+ )32即： f (x+ )=f (x) 周期 T=32322 cos =cos( )=cos)6(31x即： f (x+6)=f (x) T=63 3sin =3sin( +2)=3sin( )=f (x+8) 4）（ 841x即：f(x+8 )=f(x) T=8 4 sin(x+ )=sin(x+ +2) 即 f(x)=f(x+2)1010T=25 cos(2x+ )=cos(2x+ )+2=cos2(x+)+ 333即：f(x+)=f(x) T=由以上练习，请同学们自主探究 T 与 x 的系数之间的关系。小结：形如 y=Asin(x+) (A,
7、为常数,A0, xR) 周期 2|Ty=Acos(x+)也可同法求之一般结论：函数 及函数 ， 的周期sin()yAxbcos()yAxbxR2|T.课堂巩固练习 2 快速求出下列三角函数的周期(1)y=sin （2） y=cos4x+1 (3) y= (4)y=sin( )x43 )5cos(21x431x(5)y=3cos(- )-15三、课堂小结：1.周期函数定义：对定义域内任意 x,都有 f(x+T)=f(x).2.y=sin x 与 y=cos x 的周期都是 2k,最小正周期是 2.3. 及 的周期sin()yAbcos()yAxb2|T4、作业布置 1、P52 3 2、金太阳导学
8、案与固学案4 奇偶性 请同学们观察正、余弦函数的图形，说出函数图象有怎样的对称性？其特点是什么？(1)余弦函数的图形当自变量取一对相反数时，函数 y 取同一值。例如：f(- )= ,f( )= ,即 f(- )=f( )；3213由于 cos(x)=cosx f(-x)= f(x). 以上情况反映在图象上就是：如果点（x,y）是函数 y=cosx 的图象上的任一点,那么,与它关于 y 轴的对称点(-x,y)也在函数 y=cosx 的图象上，这时，我们说函数 y=cosx是偶函数。定义：一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(-x)= f(x)，那.么函数 f(x)就叫做
9、偶函数。(2)正弦函数的图形观察函数 y=sinx 的图象，当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值有什么关系？这个事实反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？函数的图象关于原点对称。也就是说，如果点（x,y）是函数 y=sinx 的图象上任一点，那么与它关于原点对称的点（-x,-y）也在函数 y=sinx 的图象上，这时，我们说函数 y=sinx 是奇函数。定义：一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f( x)= f(x) ，那么函数 f(x)就叫做奇函数。如果函数 f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数 f(x)具有奇偶性。注意：从函数奇偶性的定义可以看出，
10、具有奇偶性的函数：（1）其定义域关于原点对称；（2）f(-x)= f(x)或 f(-x)=- f(x)必有一成立。因此，判断某一函数的奇偶性时。首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算 f(-x)，看是等于 f(x)还是等于- f(x)，然后下结论；若定义域关于原点不对称，则函数没有奇偶性。例 2： 判断下列函数的奇偶性(1)y=sinxcosx (2)y=cos2x变式训练 2：判断下列函数的奇偶性（1）y=sinx+cosx (2)y=sin2x5.单调性.从 ysin x， x 的图象上可看出：23,当 x ， 时，曲线逐渐上升，sin x 的值由1 增大到 1.2当 x ， 时，
11、曲线逐渐下降，sin x 的值由 1 减小到1.3结合上述周期性可知：正弦函数在每一个闭区间 2 k ， 2 k ( kZ)上都是增函数，其值从1 增大到 1；在每一个闭区间 2 k ， 2 k ( kZ)上都是减函数，其值从31 减小到1.余弦函数在每一个闭区间(2 k1) ，2 k ( kZ)上都是增函数，其值从1增加到 1；在每一个闭区间2 k ，(2 k1) ( kZ)上都是减函数，其值从 1 减小到1.例 3：求函数 y= 的单调递增区间。1sin()23x变式训练 3：求函数 y= 的单调递减区间。1sin()23x6最大值与最小值。正弦函数 y=sinx 当 x= 时取最大值 1
12、，当 x= 时取最小值-1。2k32k余弦函数 y=cosx 当 x= 时取最大值 1，当 x= 最取最小值-1。 （以上 ）kZ例 4：（课本 P38 例 3）下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时的自变量 x 的集合，并说出最大值、最小值分别是什么？.（1）y=cosx+1 (2)y= -3sin2x变式训练 4：（课本 P39 例 4）利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小。 ； sin()si()180与 2317cos()cos()54与课堂巩固练习 2（课本 P40 练习 NO：1；2；3）三、课堂小结，巩固反思1、正弦函数与余弦函数的周期性，最小正周期的
13、求法。2、正弦函数与余弦函数的奇偶性，会判定三角函数的奇偶性。3、会求 的单调区间。sin()yAxb4、会求 的最值。四、课时必记：1、一般结论：函数 及函数 ， 的周期sin()yAxbcos()yAxbxR2|T2、y=sinx 为奇函数，图象关于原点对称；y=cosx 是偶函数，图象关于 y 轴对称。3、正弦函数 y=sinx 每一个闭区间 2 k ， 2 k ( kZ)上都是增函数，其值从1 增大到 1；在每一个闭区间 2 k ， 2 k ( kZ)上都是减函数，其3值从 1 减小到1.余弦函数 y=cosx 在每一个闭区间(2 k1) ，2 k ( kZ)上都是增函数，其值从1 增
14、加到 1；在每一个闭区间2 k ，(2 k1) ( kZ)上都是减函数，其值从 1减小到1.4、正弦函数 y=sinx 当 x= 时取最大值 1，当 x= 时取最小值-1。2k32k余弦函数 y=cosx 当 x= 时取最大值 1，当 x= 最取最小值-1。 （以上 ）kZ五、分层作业：A 组：1、 （课本 P46 习题 1.4 A 组 NO：2）2、 （课本 P46 习题 1.4 A 组 NO：3）3、 （课本 P46 习题 1.4 A 组 NO：4）4、 （课本 P46 习题 1.4 A 组 NO：5（1） ）.B 组：1、 （课本 P46 习题 1.4 A 组 NO：5（2） ）2、(tb0135302)函数 y=Asin(wx+ )+C 中，A、w、 、C 为常数，且 A0，w0，则这个函数的最小值是（C） 。（A）A+C （B）A-C （C）-A+C （D）-A-CC 组：1、作出下列函数的图象，若是周期函数，请写出它的周期（1）y=|sinx| (2)y=|cosx|2、函数 y=ksinx+b 的最大值为 2, 最小值为-4，求 k,b 的值。
