1、 16.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质一、复习引入1、复习（1）函数的概念在某个变化过程中有两个变量 、 ，若对于 在某个实数集合 内的每一个确定的xyxD值，按照某个对应法则 f， 都有唯一确定的实数值与它对应，则 就是 的函数，记作yx， 。xfyD（2）三角函数线设任意角 的顶点在原点 ，始边与 轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点Ox，过 作 轴的垂线，垂足为 ；过点 作单位圆的切线，设它与角 的(,)PxyxM(1,0)A终边（当 在 第一、四象限角时）或其反向延长线（当 为第二、三象限角时）相交于.T规定：当 与 轴同向时为正值，当 与 轴反向时为负值；OMx当 与 轴同向时
2、为正值，当 与 轴反向时为负值；yPy当 与 轴同向时为正值，当 与 轴反向时为负值；AT根据上面规定，则 ,x由正弦、余弦、正切三角比的定义有： 网；sin1yMPr；coxO；tayAT这几条与单位圆有关的有向线段 叫做角 的正弦线、余弦线、正切线。,POAT二、讲授新课【问题驱动 1】结合我们刚学过的三角比，就以正弦(或余弦)为例，对于每一个给定的角和它的正弦值(或余弦值)之间是否也存在一种函数关系？若存在，请对这种函数关系下一个定义；若不存在，请说明理由1、正弦函数、余弦函数的定义（1）正弦函数： ；Rxy,sin（2）余弦函数： co【问题驱动 2】如何作出正弦函数 、余弦函数 的函
3、数Rxy,sinRxy,cos图象？2、正弦函数 的图像xy,sin（1） 的图像20【方案 1】几何描点法步骤 1：等分、作正弦线将单位圆等分，作三角函数线（正弦线）得三角函数值；2步骤 2：描点平移定点，即描点 ；xsin,步骤 3：连线用光滑的曲线顺次连结各个点小结：几何描点法作图精确，但过程比较繁。【方案 2】五点法步骤 1：列表列出对图象形状起关键作用的五点坐标；步骤 2：描点定出五个关键点；步骤 3：连线用光滑的曲线顺次连结五个点3小结： 的五个关键点是 、 、 、 、 。2,0sinxy0,1,20,230,（2） 的图像R,i由 ，所以函数 在区间Zkxk,sis xysin,
4、k上的图像与在区间 上的图像形状一样,只是位置不同.0,Z20于是我们只要将函数 的图像向左、右平行移动(每次平行移动ny个单位长度)，就可以得到正弦函数 的图像。2 R,si3、余弦函数 的图像Rxy,cos（1） 的图像20（2） 的图像,图像平移法由 ，可知只须将 的图像向左平移 即可。xxcos2sinRxy,sin2三、例题举隅例、作出函数 的大致图像；2,0sin1xy【设计意图】考察利用“五点法”作正弦函数、余弦函数图像【解】列表 x0232sin10y11描点在直角坐标系中，描出五个关键点：、 、 、 、,02,1,0,23,连线4练习、作出函数 的大致图像2,0sin21xy
5、二、性质1定义域：正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集 R或( ， ) ，分别记作：ysinx ，xR y cosx，x R2值域因为正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以sinx1，cosx 1，即1sin x1，1cosx1也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是1，1 奎 屯王 新 敞新 疆其中正弦函数 y=sinx，xR当且仅当 x 2k，kZ 时， 取得最大值 1 奎 屯王 新 敞新 疆2当且仅当 x 2k，kZ 时，取得最小值1而余弦函数 ycos x，xR当且仅当 x2k，kZ 时，取得最大值 1 奎 屯王 新 敞新 疆当且仅当 x(2k1)，kZ 时，取得最小值1
6、3周期性由 sin(x2k)sinx，cos(x2k)cosx (kZ )知：正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的。一般地，对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有 f(xT ) f(x)，那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期。由此可知，2 ，4 ，2 ，4 ，2k (kZ 且 k0) 都是这两个函数5的周期 奎 屯王 新 敞新 疆对于一个周期函数 f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期。4奇偶性由 sin(x)sinx， cos(x) cosx可
7、知：ysinx 为奇函数， ycosx 为偶函数正弦曲线关于原点 O 对称 ,余弦曲线关于 y 轴对称5单调性结合上述周期性可知：正弦函数在每一个闭区间 2k， 2k(k Z)上都是增函数，其值从21 增大到 1；在每一个闭区间 2k， 2k(kZ)上都是减函数，其值23从 1 减小到1。余弦函数在每一个闭区间(2k1) ，2k(kZ)上都是增函数，其值从1 增加到 1；在每一个闭区间2k ，(2k1) ( kZ)上都是减函数，其值从 1 减小到1 奎 屯王 新 敞新 疆y=sinx y= cosx图 象定义域 R R值 域 1,1 1,1最 值当且仅当x 2k，k Z 时，取2得最大值 1
8、奎 屯王 新 敞新 疆当且仅当x 2k，kZ 时，取得最小值1当且仅当 x2k，kZ时，取得最大值 1 奎 屯王 新 敞新 疆当且仅当 x(2k1)，kZ 时，取得最小值1周期性 2 2奇偶性 奇函数 偶函数单调性 在闭区间 2k， 2k2(k Z)上单调递增，；在闭区间 2k， 2k3(k Z)上单调递减在闭区间(2k1)，2k(kZ )上单调递增；在每一个闭区间2k ，(2 k1) 6(kZ)上单调递减典型例题（3 个，基础的或中等难度）例 1：求使下列函数取得最大值的自变量 x 的集合，并说出最大值是什么。（1）ycosx1，xR； （2）ysin2x ，xR 奎 屯王 新 敞新 疆解：
9、（1）使函数 ycos x1，xR 取得最大值的 x 的集合，就是使函数 ycosx ，xR取得最大值的 x 的集合xx 2k ，kZ 。函数 ycos x1，x R 的最大值是 112。（2）令 Z2x，那么 xR 必须并且只需 ZR ，且使函数 ysinZ ，ZR 取得最大值的 Z 的集合是ZZ 2k，kZ 由 2xZ 2k，得 x k24即 使函数 ysin2x，xR 取得最大值的 x 的集合是xx k，kZ4函数 ysin2x，xR 的最大值是 1。例 2：求下列函数的单调区间（1）ycosx （2）y= sin(4x- ) （3）y=3sin( -2x)43解：（1）由 ycosx
10、的图象可知：单调增区间为2k，(2k 1)(kZ)单调减区间为(2k1)，2k(kZ)（2）当 2k- 4x- 2k+ ，232函数的递增区间是 - ， + (kZ)k45当 2k+ 4x- 2k+函数的递减区间是 + , + (kZ)2k21（3）当 2k- -2x2k+ 时，函数单调递减，3 函数单调递减区间是k- ，k+ (kZ)15当 2k+ -2x2k+ 时，函数单调递增，223 函数单调递减区间是k+ ，k+ (kZ )例 3：求下列三角函数的周期：(1) y=sin(x+ ) (2) y=cos2x (3) y=3sin( + )3 2x57解：(1) 令 z= x+ 而 sin
11、(2+z)=sinz 即：f (2+z)= f (z)3f (x+2)+ =f (x+ ) 周期 T=2.3(2)令 z=2x f (x)=cos2x=cosz=cos(z+2 )=cos(2x+2)=cos2(x+)即：f (x +)=f (x) 周期 T=。(3)令 z= + 则25f (x)=3sinz=3sin(z+2)=3sin( + +2)=3sin( )=f (x+4) 2x5524x周期 T=4。 注：yAsin( x )的周期 T= 。|（四）课堂练习（2 个，基础的或中等难度）1、求使下列函数 y=3-cos 取得最大值的自变量 x 的集合，并说出最大值是什么。2x解：当
12、cos =-1，即 =2k+，kZ ，x|x=4k+2 ，kZ ，xy=3-cos 取得最大值。2、求 y= 的周期。x2sin1解：y= = (1-cos2x)= - cos2x，T=。4143、求函数 y=3cos(2x+ )的单调区间。3解：当 2k2x+ 2k+ 时，函数单调递减， 函数的单调递减区间是k- ，k+ (kZ )63当 2k-2x+ 2k 时，函数单调递增，3 函数的单调递增区间是k- ，k- (kZ )2（五）拓展探究（2 个）1、求下列函数的周期： （1）y=sin(2x+ )+2cos(3x- ) （2）y=|sinx| （3）y=2 sinxcosx+2cos2x
13、-146解：（1）y 1=sin(2x+ ) 最小正周期 T1=y2=2cos(3x- ) 最小正周期 T2=638T 为 T1 ,T2 的最小公倍数 2 T=2（2）T= （3） y= sin2x+cos2x=2sin(2x+ ) T=62、求下列函数的最值：（1）y=sin(3x+ )-1 （2）y=sin 2x-4sinx+5 （3）y=4 xcos解：（1） 当 3x+ =2k+ 即 x= (kZ)时，y max=013k当 3x+ =2k- 即 x= (kZ)时，y min=-2424（2） y=(sinx-2)2+1 当 x=2k- kZ 时，y max=102当 x=2k- kZ
14、 时，y min= 2（3） y=-1+ 当 x=2k+ kZ 时，y max=2xcos1当 x=2k kZ 时， ymin= 21作业一、填空题1、函数 y=cos(x- )的奇偶性是 _。22、函数 y=-5sinx+1 的最大值是_，此时相应的 x 的值是_。3、函数 y=sinxcosx 的最小正周期是_。4、函数 y=sinxcos(x+ )+cosxsin(x+ )的最小正周期是_。445、函数 y=3cos(2x+ )的单调递减区间是 _。36、函数 y=sinx 和 y=cosx 都为减函数的区间是_。7、函数 y=sin( -2x)的单调递增区间是 _。68、已知函数 y=
15、f(x)是以 为周期，且最大值为 3，最小值为-1，则这个函数的解析式3可以是_。二、选择题1、函数 y=sinx，x ， 的值域是 （ ）62（A）-1，1 （B） ，1 （C ） ， （D） ，12132392、下列函数中，周期是 的函数是 （ ）21（A）y=sinx （B）y=cos2x （C）y=sin （D）y=sin4k2x3、下列函数是奇函数的是 （ ）（A）y=sin|x| （B）y=xsin|x| （C）y=-|sinx| （D ）y=sin(-|x|)4*、函数 y=sin(2x+ )+cos(2x+ )的最小正周期和最大值分别为 （ ）63（A），1 （B）， （C）2
16、，1 （D）2，三、解答题1、已知函数 y=acosx-2b 的最小值为 -2，最大值为 4，求 a 和 b 的值。2、求函数 y=2 +5cosx-1 的值域。x2sin3、判断下列函数的奇偶性：（1）y=cos(2x- )； （2）y=xsinx+cos3x254、求函数 y= -sinxcosx 的单调区间。x2sin10一、填空题1、 奇函数； 2、 6， x|x=2k- ，kZ ； 3、；24、； 5、k- ，k + (kZ )； 6、2k+ ,2k+ (kZ )327、k+ ，k+ (kZ)； 8、y=2sin6x+1（答案不唯一）36二、1、B； 2、D； 3、B； 4、A（y= sin2x+ cos2x+ cos2x- sin2x23123=cos2x）三、解答题1、当 a0 时， 42ba213ba当 a0 时，2、y=2(1- )+5cosx-1=-2 ,x2cos 83)45(cos2xcosx-1,1，y -6，43、 （1）奇函数；（2）偶函数。4、解：y= - sin2x= - (sin2x+cos2x)= - sin(2x+ )2cosx12214当 2k- 2x+ 2k+ 时，函数单调递减，4 函数单调递减区间是k- ，k+ (kZ)83当 2k+ 2x+ 2k+ 时，函数单调递增，22 函数单调递减区间是k+ ，k+ (kZ )511
