1、第六章弯曲应力,回 顾,上一章任务：合力横截面上整体情况,本章任务：分力横截面上每一点情况,横力弯曲横截面上既存在弯矩，又存在横向剪力的梁的弯曲,称为横力弯曲纯弯曲横截面上仅存在弯矩的梁的弯曲,图示简直梁中BC 段为纯弯曲AB，CD段为横力弯曲,几个基本概念,内力的起因弯矩横截面上正应力的合力偶，此时，正应力称为弯曲正应力剪力横截面上切应力的合力，此时，切应力称为弯曲切应力,梁弯曲的应力特征纯弯曲横截面上仅存在正应力横力弯曲横截面上不仅有正应力，而且还存在切应力,几个基本概念,横截面上的正应力,研究梁横截面上应力的分布，必须从几何（变形）、物理（本构）和静力学（平衡）三方面进行综合分析下面依次
2、分析梁纯弯曲时，这三个方面的特征,变形几何关系,横截面上的正应力,纯弯曲试验及变形观察(表)纵向线aa，oo ，bb变为弧线aa ， oo ， bb aa aa ， oo = oo， bbbb 横向线mm, nn 仍然为直线，并且垂直于aa ， oo，bb 矩形截面上部变宽，下部变窄,变形几何关系,横截面上的正应力,变形假设(里)1、弯曲变形的平面假设 变形后，横截面仍保持为平面，并且仍与弯曲后的纵向线正交，各截面间作相对转动。,2、弯曲变形的单向受力假定 所有与轴线平行的纵向纤维处于轴向拉伸或轴向压缩，纤维之间不受力,横截面上的正应力,梁中纵向纤维长度不变的过渡层称为中性层。中性层和横截面的
3、交线称为中性轴,1、几何方面 取长度为dx的一段微梁，变形后的形状如图。记长度不变轴线oo(中性层）的曲率半径为r，两横截面的夹角为dq，则变形后，距oo为y处纤维的长度为,注意到oo= dx =r dq，于是，距oo为y处的纤维的线应变为,dx,横截面上的正应力,即纵向纤维的线应变与它到中性层的距离成正比,2、物理关系 由于纵向纤维仅受拉伸或压缩，于是在正应力不超过比例极限时，根据胡克定理，有,即对给定的横截面，其上任一点的正应力与该点到中性轴的距离成正比,横截面上的正应力,3、静力学关系,目前未解决问题:z轴-中性轴where? r=?与弯矩有何关系？,横截面上的正应力,r的确定,静矩：,
4、形心公式,坐标原点过形心C,附录：截面图形的几何性质,附录：截面图形的几何性质,惯性积,若图形有对称轴，则坐标轴含对称轴时,中性轴z的确定,中性轴通过横截面形心，并垂直于纵向对称轴y,横截面上正应力是线性分布 正比于Mz ，反比于 Iz 中性层两侧一拉一压存在,说明：适用于任意截面（推导中没有用矩形性质）成立条件(a) y，z轴须为形心主轴 (b)比例极限内 ssp,横截面上的正应力,最大正应力发生在离中性轴最远的点上，即,令 抗弯截面系数，则,抗弯截面系数综合反映了横截面形状和尺寸对弯曲正应力的影响。,横截面上的正应力,惯性矩,附录：截面图形的几何性质,常见横截面的惯性矩和抗弯截面系数,已知
5、：矩形截面b h求：Iy， Iz,解：取平行于x轴和y轴的微元面积,惯性矩、极惯性矩,图形对 y 轴的惯性半径,图形对 z 轴的惯性半径,惯性矩、惯性半径,已知：圆截面直径d求：Iy， Iz， IP,解：取圆环微元面积,y轴肯定是形心主轴,组合图形的惯性矩,(2)组合图形的惯性矩,Iyc=SIyci= Iy,组合图形的惯性矩,Izc=? 平行轴公式,Izc=S(Izci+di2Ai),惯性矩平行轴定理:,横截面上的正应力,横力弯曲 尽管公式 s = Mzy/Iz 是在纯弯曲条件下建立的。但弹性理论和实验表明：对于具有对称截面的一般细长梁（梁的跨度l与高度h之比l/h5），剪力对正应力的分布规律
6、影响很小，上述计算正应力的公式仍然可用，并且具有足够的精度,对于一般的弯曲梁，其弯矩是截面位置的函数。因此计算等截面直梁的最大正应力的公式为,即横截面上的最大正应力发生在全梁最大弯矩Mmax所在横截面的最外边缘各点处,正应力强度条件,对于变截面直梁，最大正应力不一定发生在弯矩为最大的截面上，必须综合考虑 M 和 Wmax 这两个因素，以确定全梁上的最大正应力，既确定一般应力表达式的最大值,正应力强度条件,对于塑性材料，由于其抗拉和抗压许用应力相同，梁的弯曲正应力强度条件为 smax s ,对于脆性材料，由于其抗拉和抗压许用应力不相同，梁的弯曲正应力强度条件为 s +max s + s -max
7、 s -,正应力强度条件,已知 d1=100mm，d2=120mm，P =30 kN， l1=600mm，l2=800mm，s =100 Mpa。,解 支座反力： FAy=FDy=P/2 =15 kN,B,例 对图示的阶梯形变截面圆直梁校核强度,EXAMPLE-1,画出弯矩图：关于荷载P对称，且为折线。AB(CD)段上的最大弯矩MB =MC =9 kNm，位于截面B和C。BC段上的最大弯矩Mmax=ME=15 kNm，位于截面E,EXAMPLE-1,校核强度：截面E：WzE = d23/32= 1.696105mm3故 smaxE=Mmax/ WzE = 88.4 MPa截面B (C) : W
8、zB= d13/32= 9.81104mm3故 smaxB=MB/ WzB = 91.7 MPa。可见，最危险点在B(C) 截面的上下边缘，且 smax =smaxB = 91.7 MPa s 因此，该轴是安全的。, 例 题,例 6-1 已知：梁用18 工字钢制成, Me=20 kNm, E=200 GPa。计算：最大弯曲正应力smax, 梁轴曲率半径 r,解：1. 工字钢,一种规范化、系列化的工字形截面的标准钢材（GB 706-88）,18 工字钢：,Me=20 kNm，E=200 GPa，求 smax 与 r,2. 应力计算,3. 变形计算, 例 题,例 6-2 已知：F=15kN, l=
9、400mm, b=120mm, d=20mm计算：截面 B-B 的最大拉应力st,max与压应力sc,max,解：1. 弯矩计算,2. 惯性矩计算,3. 最大弯曲正应力,例 3 已知：钢带厚d=2mm, 宽b=6mm, D=1400mm, E=200GPa。计算：带内的 smax 与 M,解：1. 问题分析, 应力变形关系：, 内力变形关系：,已知钢带变形，求钢带应力与内力,带厚 d=2 mm, 宽 b= 6mm, D = 1400mm, E = 200GPa，求 smax 与 M,2. 应力计算,3. 弯矩计算,若带厚 d=10 mm,4. 讨论,例 图示外伸梁由铸铁作成，横截面为T字形已知
10、 q=10 kN/m，P =20 kN， st =40 Mpa， sc =160 Mpa ，校核该梁的强度。,EXAMPLE-2,解 支座反力:,FBy= 30 kNFDy =10 kN,EXAMPLE-2,EXAMPLE-2,求 Izc,首先求形心C的位置,形心主惯性矩为：,EXAMPLE-2,校核强度：,B截面：,上边缘为拉应力下边缘为压应力,EXAMPLE-2,校核强度：,C截面：,上边缘为压应力下边缘为拉应力,所以仅对C截面拉应力校核。,梁满足强度要求。,例 图示槽形截面铸铁梁。已知 b=2 m，Iz =5493104 mm4 ，许用拉应力 st =30 MPa， sc =90 MPa
11、 ，确定此梁的许可荷载。,EXAMPLE-3,解: 支座反力,FAy= P/4 , FBy=7P/4,EXAMPLE-3,分析可知，不管是对截面C还是截面B，该梁的强度均由最大拉应力控制,最大正、负弯矩分别在C、B截面处，其值分别为 MC=Pb/4， MB=Pb/2,因此，只须计算C、B截面上的最大拉应力。,得,EXAMPLE-3,由C截面上的最大拉应力,由B截面上的最大拉应力,得,从而，许用荷载为,EXAMPLE-3,例 跨长l=2m的铸铁梁受力如图所示。已知材料的拉、压许用应力分别为 st=30MPa， sc=90MPa。根据截面最为合理的要求，确定T字形截面梁的横截面尺寸d，并校核梁的强
12、度。,EXAMPLE-4,解：截面最为合理， 应使梁同一危险截面上的最大拉应力与最大压应力之比stmax/ scmax与相应的许用应力之比 st/ sc相等，同时达到破坏。即,从而,EXAMPLE-4,中性轴的位置与截面的几何尺寸有关，根据形心的性质，有,由此求得,EXAMPLE-4,所以，截面对中性轴的惯性矩为,梁的最大弯矩为,EXAMPLE-4,于是，危险截面上的最大压应力为,此梁满足强度要求。,亦可按最大拉应力校核此梁的强度,EXAMPLE-4,例 6-5 铸铁梁， y1 = 45 mm，y2 = 95 mm，st = 35 MPa ，sc = 140 MPa，Iz =8.8410-6 m4，校核梁的强度,解：,MD最大正弯矩,MB最大负弯矩,危险截面,截面 D, B,危险点,a, b, c,谢 谢 ！,
