1、辽宁大学数学系主讲人：何睿,高等数学教学课件,欢迎,教学课程设计,导数相关知识介绍拉格朗日中值定理导数在函数单调性中的应用导数在函数极值中的应用导数在函数最值中的应用小结,一、导数的相关知识,定义:,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理,几何解释:,注意：拉格朗日中值定理是导数与函数联系的桥梁。,例1 试证当,有,则yf(x)在a，b是增函数。,任意,，由于,说明可用中值定理有,其中,由已知,，,故,，,证得f(x)在a，b递增。,证,在a，b存在；,三、函数的单调性,基本定义：,导数不存在的点叫做函数的奇点.,驻点(稳定点)和奇点(不可导的点)统称为临界点.,函数单调性的判定法,例2 求
2、函数,的单调区间。,令,得到驻点,，,解：,函数的定义域为,在数轴上讨论，如图,在区间,在区间,上，有,得 函数在,和,上递增；在,上递减.,上，有,和区间,1.求已知函数的一阶导数；,2.根据一阶导函数求驻点和奇点；,注意：首先求出函数的定义域，因为要把函数的 定义域讨论完，定义域以外不讨论单调性.,3.依据临界点（驻点、奇点可统称为分界点）将函数的定义域分区间，进而讨论一阶导函数的正负号，最后求出单调区间。,单调性的解题步骤：,定义：,四、 函数的极值,函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.,注意
3、: （1） 极值是局部概念-局部最大或最小；一个函数在一个区间内只可能有一个最大值、一个最小值，但可能有多个极大值和极小值。 （2）可导函数的极值点必是它的驻点.反之，函数的驻点不一定是极值点。,如何求函数的极值？ 如下图所示： 可见，极值与函数的单调性密切联系，极值就是函数单调区间的分界点。因而可以通过求单调区间来求极值。,x,y,0,y=f(x),x1,x2,x3,x4,理：,我们知道，函数的驻点不一定是函数的极值点，那么在求出函数驻点之后，怎样判断它们是不是函数的极值点呢？如果是极值点又如何进一步判断是极大值点还是极小值点呢？联系前面用导数符号判定函数单调性的方法，这一问题是不难解决的。
4、,例3 求函数,的极值。,f(x)的定义域为,令,解,得驻点,讨论如图,得，当x=1时，函数有极大值f(1)=2； 当x=2时，函数有极小值f(2)=1。,求极值的步骤:,五、函数的最值,我们知道，如果函数,在闭区间,上连续，则必在,上有最大值和最小值。函数在闭区间上的最大值和最小值一般只能在区间内的极值点和区间的端点处取得。,例4 求,在-3，3上的最大值和最小值。,解:,令,得驻点,，,，,计算得f(-2)=f(2)=-15，f(0)=1，f(-3)=f(3)=10。,比较 得函数在-3，3上的最大值为f(-3)=f(3)=10，最小值为f(-2)=f(2)=-15。,求最值的步骤:,1.
5、求驻点和不可导点;,2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大的就是最大值,那个小的就是最小值;,注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值),求出某些量的最大值和最小值对于许多实际问题都显得十分重要。 例如求时间最短、利润最大、成本最低等等。相应，大学生数学建模竞赛题几乎都是优化问题，或说必须用优化思想、方法去分析解决。初等数学中用二次函数、三角函数、不等式等等方法可以求函数最值，这里我们将看到，高等数学用导数如何提供一种更有效的方法来解决许多最优化问题。,谢谢欣赏,在开区间上如何求最值？有这样的结论，实际问题中：可知有最小（大）值存在而函数只有一个极小（大）值则这个极小（大）就是最小（大）值。,注意：最值与极值的关系,
